(번역) Van Schooten's theorem

Original article: w:Van Schooten's theorem

 

네덜란드 수학자 프란스 반 슈텐(Frans van Schooten)의 이름을 따서 지은 반 슈텐의 정리는 등변 삼각형(equilateral triangle)의 속성을 설명합니다. 그것은 다음을 말합니다:

• 그것의 둘레원 위에 점 $P$ 갖는 등변 삼각형 $\mathrm{△}ABC$에 대해, 삼각형의 꼭짓점과 $P$를 연결하는 세 선분 $PA,PB,PC$의 가장 긴 것의 길이는 다른 둘의 길이의 합과 같습니다.

그 정리는 일치순환 사변형(concyclic quadrilateral)에 대해 프톨레마이오스의 정리(Ptolemy's theorem)의 결과입니다. $a$를 등변 삼각형 $\mathrm{△}ABC$의 한 변의 길이로 놓고 $PA$를 가장 긴 선분이라고 놓습니다. 삼각형의 꼭짓점은 $P$와 함께 일치순환 사변형을 형성하고 따라서 프톨레마이오스의 정리는 다음을 산출합니다:

$\begin{array}{rl}& |BC|\cdot |PA|=|AC|\cdot |PB|+|AB|\cdot |PC|\\ ⟺& a\cdot |PA|=a\cdot |PB|+a\cdot |PC|\end{array}$

마지막 방정식을 $a$로 나누면 반 슈텐의 정리가 됩니다.

References

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. MAA, 2010, ISBN 9780883853481, pp. 102–103
• Doug French: Teaching and Learning Geometry. Bloomsbury Publishing, 2004, ISBN 9780826434173 , pp. 62–64
• Raymond Viglione: Proof Without Words: van Schooten′s Theorem. Mathematics Magazine, Vol. 89, No. 2 (April 2016), p. 132
• Jozsef Sandor: On the Geometry of Equilateral Triangles. Forum Geometricorum, Volume 5 (2005), pp. 107–117

External links

• Van Schooten's theorem at cut-the-knot.org