수학(mathematics)에서. 위쪽 절반-평면(upper half-plane), \(\,\mathcal{H}\,\)는 y > 0을 갖는 데카르트 평면(Cartesian plane)에서 점 (x, y)의 집합입니다.
Complex plane
수학자들은 때때로 데카르트 평면을 복소 평면(complex plane)으로 식별하고, 그런-다음 위쪽 절반-평면은 양의 허수 부분(imaginary part)을 갖는 복소수(complex numbers)의 집합에 해당합니다:
\(\quad \mathcal{H} \equiv \{x + iy \mid y > 0; x, y \in \mathbb{R} \} ~.\)
그 용어는 데카르트 좌표(Cartesian coordinates)를 갖춘 평면에서 점 (x, y)로 복소수 x + iy의 공통적인 시각화에서 발생합니다. y-축이 세로 방향일 때, "위쪽 절반-평면"은 x-축 위의 영역에 해당하고 따라서 y > 0에 대한 복소수입니다.
그것은 복소 해석학(complex analysis), 특히 모듈러 형식(modular forms)에서 관심을 갖는 많은 함수의 도메인(domain)입니다. 아래쪽 절반-평면은, y < 0에 의해 정의되며, 똑같이 유용하지만, 관습적으로 덜 사용됩니다. 열린 단위 디스크(open unit disk) \(\,\mathcal{D}\,\) (일보다 작은 절댓값의 모든 복소수의 집합)는 \(\,\mathcal{H}\,\)에 대한 등각 매핑(conformal mapping, "푸앵카레 메트릭"을 참조)과 동등하며, 이는 보통 \(\,\mathcal{H}\,\)와 \(\,\mathcal{D}\;\)사이를 통과할 수 있음을 의미합니다.
그것은 역시 푸앵카레 절반-평면(Poincaré half-plane model) 모델이 쌍곡선 운동(hyperbolic motions)을 조사하는 방법을 제공하는 쌍곡선 기하학(hyperbolic geometry)에서 중요한 역할을 합니다. 푸앵카레 메트릭은 그 공간 위에 쌍곡선 메트릭(metric)을 제공합니다.
표면(surfaces)에 대한 균등화 정리(uniformization theorem)는 위쪽 절반-평면(upper half-plane)이 일정한 음의 가우스 곡률(Gaussian curvature)을 갖는 표면의 보편적 덮는 공간(universal covering space)이라고 말합니다.
닫힌 위쪽 절반-평면(closed upper half-plane)은 위쪽 절반-평면과 실수 축의 합집합(union)입니다. 그것은 위쪽 절반-평면의 클로저(closure)입니다.
Affine geometry
위쪽 절반-평면의 아핀 변환(affine transformations)은 다음을 포함합니다:
- 이동 (x,y) → (x + c, y), c ∈ R, 그리고
- 팽창 (x, y) → (λ x, λ y), λ > 0.
Proposition: A와 B를 경계 위에 중심을 갖는 위쪽 절반-평면에서 반-원(semicircles)이라고 놓습니다. 그런-다음 A에서 B로 가는 아핀 매핑이 있습니다.
- Proof: 먼저 A의 중심을 (0,0)으로 이동합니다. 그런-다음 λ = (B의 지름)/(A의 지름)을 취하고 팽창시킵니다. 그런-다음 (0,0)을 B의 중심으로 이동합니다.
Definition: \(\mathcal{Z} \equiv \left\{ \,\left( \cos^2 \theta \, , \;\tfrac{1}{2} \sin 2 \theta \, \right) \; | \; 0 < \theta < \pi \,\right\} ~.\)
\(\mathcal{Z}\)는 (1⁄2, 0)에 중심을 둔 반지름 1⁄2의 원으로 인식되고 \(\rho(\theta) = \cos \theta~\)의 극 그림(polar plot)으로 인식될 수 있습니다.
Proposition: \( \mathcal{Z} \,\)에서 (0,0), \( \rho(\theta) \), 및 \((\,1, \tan \theta\,)\)는 공선형 점(collinear points)입니다.
사실, \(\mathcal{Z}\)는 단위 원(unit circle)에서 직선 \(\bigl\{(\,1, y\,) \mid y > 0 \bigr\}\)의 반사입니다. 실제로, (0,0)에서 \((\,1, \tan \theta\,)\)로의 대각선은 \(\rho (\theta) = \cos \theta\)가 해당 길이의 역수가 되도록 제곱 길이 \(1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta\, \)를 가집니다.
Metric geometry
위쪽 절반-평면에서 임의의 임의의 두 점 p와 q 사이의 거리는 다음과 같이 일관되게 정의될 수 있습니다: p에서 q까지의 선분의 수직 이등분선(perpendicular bisector)은 경계와 교차하거나 그것과 평행입니다. 후자의 경우에서, p와 q는 경계에 수직인 반직선 위에 놓이고 로그 측정(logarithmic measure)이 팽창 아래에서 불변인 거리를 정의하기 위해 사용될 수 있습니다. 전자의 경우에서, p와 q는 그것들의 수직 이등분선과 경계의 교차점에 중심을 둔 원 위에 놓입니다. 위의 제안에 의해, 이 원은 \(\mathcal{Z} \;\)에 대한 아핀 운동에 의해 이동될 수 있습니다. \(\mathcal{Z} \;\)위에 거리는 \(\bigl\{(\,1, y\,)\mid y > 0 \bigr\}\) 위에 점과 이 반직선 위에 로그 측정과의 대응을 사용하여 정의될 수 있습니다. 결과로써, 위쪽 절반-평면은 메트릭 공간(metric space)이 됩니다. 이 메트릭 공간의 일반적인 이름은 쌍곡선 평면(hyperbolic plane)입니다. 쌍곡선 기하학(hyperbolic geometry)의 모델 측면에서, 이 모델은 자주 푸앵카레 절반-평면 모델(Poincaré half-plane model)로 지정됩니다.
Generalizations
미분 기하학(differential geometry)에서 하나의 자연스러운 일반화는 쌍곡선 n-공간 \(\, \mathcal{H}^n \, ,\) 최대적으로 대칭, 단순 연결된(simply connected), 상수 단면 곡률(sectional curvature) −1을 갖는 n-차원 리만 매니폴드(Riemannian manifold)입니다. 이 용어에서, 위쪽 절반-평면은 그것이 실수 차원 2를 가지기 때문에 \(\, \mathcal{H}^2 \,\)입니다.
숫자 이론(number theory)에서, 힐베르트 모듈러 형식(Hilbert modular forms)의 이론은 위쪽 절반-평면의 n 복사본의 직접 곱 \(\, \mathcal{H}^n \,\) 위의 특정 함수의 연구와 관련이 있습니다. 숫자 이론가들에게 흥미로운 또 다른 공간은 지겔 모듈러 형식(Siegel modular forms)의 도메인인 지겔 위쪽 잘반-공간(Siegel upper half-space) \(\, \mathcal{H}_n \,\)입니다.
See also
References
