수학(mathematics), 특히 순서 이론(order theory)에서, 일부 준순서화된 집합(preordered set) (K, ≤)의 부분집합(subset) S의 위쪽 경계(upper bound 또는 majorant)는 S의 모든 각 원소보다 크거나 같은 K의 원소입니다. 이중적(Dually)으로, S의 아래쪽 경계(lower bound 또는 minorant)는 S의 모든 각 원소보다 작거나 같은 K의 원소로 정의됩니다. 위쪽 (각각 아래쪽) 경계를 갖는 집합은 해당 경계에 의해 위에서 경계진(bounded from above 또는 majorized) (각각 아래에서 경계진(bounded from below or minorized)) 것이라고 말합니다. 용어 위에서 경계진 (아래에서 경계진)은 역시 위쪽 (각각 아래쪽) 경계를 가지는 집합에 대해 수학적 문헌에서 사용됩니다.
Examples
예를 들어, 5는 집합 S = {5, 8, 42, 34, 13934} (정수(integers) 또는 실수(real numbers), 등의 부분집합일 때)에 대해 아래쪽 경계이고, 4도 마찬가지입니다. 다른 한편으로, 6은 S에 대해 아래쪽 경계가 아닌데 왜냐하면 그것은 S에서 모든 각 원소보다 작지 않기 때문입니다.
집합 S = {42}는 위쪽 경계와 아래쪽 경계 둘 다로 42를 가집니다; 모든 다른 숫자는 해당 S에 대해 위쪽 경계 또는 아래쪽 경계 중 하나입니다.
자연수(natural number)의 모든 각 부분집합은 아래쪽 경계를 가지는데 왜냐하면 자연수는 가장 작은 원소 (관례에 의존하여, 0 또는 1)을 가지기 때문입니다. 자연수의 무한 부분집합은 위로부터 경계질 수 없습니다. 정수(integer)의 무한 부분집합은 아래로부터 경계질 수 있거나 위로부터 경계질 수 있지만, 둘 다는 아닙니다. 유리수(rational number)의 무한 부분집합은 아래로부터 경계질 수 있거나 없을 수 있고, 위로부터 경계질 수 있거나 없을 수 있습니다.
비-빈 전체적으로 순서화된 집합(totally ordered set)의 모든 각 유한 부분집합은 위쪽과 아래쪽 경계 둘 다를 가집니다.
Bounds of functions
정의는 함수(functions)와 심지어 함수의 집합으로 일반화될 수 있습니다.
도메인(domain) D와 준순서화된 집합 (K, ≤)을 [[codomain|코도메인(codomain)]으로 갖는 함수 f가 주어지면, K의 원소 y는 D에서 각 x에 대해 y ≥ f(x)이면 f의 위쪽 경계입니다. 위쪽 경계는 만약 상등이 적어도 x의 하나의 값에 대해 유지되면 날카로운(sharp) 것으로 불립니다. 그것은 구속조건이 최적이고, 따라서 부등식을 무효화하는 것없이 더 이상 줄일 수 없음을 나타냅니다.
유사하게, 도메인 D와 같은 코도메인 (K, ≤)을 가지는 것 위에 정의된 함수 g는 D에서 각 x에 대해 g(x) ≥ f(x)이면 f의 아래쪽 경계입니다. 함수 g는 만약 그것이 해당 집합에서 각 함수의 위쪽 경계이면, 함수의 집합의 위쪽 경계라고 나아가서 말합니다.
함수(의 집합)에 대해 아래쪽 경계의 개념은 ≥를 ≤로 대체함으로써 유사하게 정의됩니다.
Tight bounds
위쪽 경계가 만약 더 작은 값이 위쪽 경계가 아니면 빠듯한 위쪽 경계, 최소 위쪽 경계 또는 상한(supremum)이라고 말합니다. 유사하게, 아래쪽 경계가 만약 더 큰 값이 아래쪽 경계가 아니면 빠듯한 아래쪽 경계, 최대 아래쪽 경계 또는 하한(infimum)이라고 말합니다.
See also
References
- Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8. New York, NY: Springer New York Imprint Springer. p. 3. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
- Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1991). Algebra. Providence, RI: American Mathematical Society. p. 145. ISBN 0-8218-1646-2.
- "Upper Bound Definition (Illustrated Mathematics Dictionary)". www.mathsisfun.com. Retrieved 2019-12-03.
- Weisstein, Eric W. "Upper Bound". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-12-03.
- "The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Sharp". Math Vault. 2019-08-01. Retrieved 2019-12-03.
