선형 대수(linear algebra)에서, 역-가능 복소수 정사각 행렬 U는 그것의 켤레 전치(conjugate transpose) U*가 역시 그것의 역(inverse)이면, 즉 다음이면 유니태리(unitary)입니다:
\(\quad U^* U = UU^* = UU^{-1} = I,\)
여기서 I는 항등 행렬(identity matrix)입니다.
물리학, 특히 양자 역학에서, 켤레 전치는 행렬의 에르미트 인접(Hermitian adjoint)이라고 참조되고 단검(dagger, †)으로 표시하므로, 위의 방정식은 다음과 같이 쓰입니다:
\(\quad U^\dagger U = UU^\dagger = I.\)
실수에 대해, 유니태리 행렬의 아날로그는 직교 행렬(orthogonal matrix)입니다. 유니태리 행렬은 노름(norms)과 따라서 확률 진폭(probability amplitudes)을 보존하기 때문에 양자 역학에서 매우 중요합니다.
Properties
유한 크기의 임의의 유니태리 행렬 U에 대해, 다음이 성립합니다.
- 두 복소 벡터 x와 y가 주어졌을 때, U에 의한 곱셈은 안의 곱(inner product)을 보존합니다; 즉, ⟨Ux, Uy⟩ = ⟨x, y⟩.
- U는 정규(normal)입니다 (\(U^* U = UU^*\)).
- U는 대각화-가능(diagonalizable)입니다; 즉, U는 스펙트럼 정리(spectral theorem)의 결과로 대각 행렬과 유니태리적으로 닮았습니다(unitarily similar). 따라서, U는 \(U = VDV^*\)형식의 분해를 가지며, 여기서 V는 유니태리이고, D는 대각이고 유니태리입니다.
- \(\left|\det(U)\right| = 1\).
- 그것의 고유공간(eigenspaces)은 직교입니다.
- U는 \(U=e^{iH}\)으로 쓸 수 있으며, 여기서 e는 행렬 지수(matrix exponential)를 나타내고, i는 허수 단위이고, H는 에르미트 행렬(Hermitian matrix)입니다.
임의의 비-음의 정수(integer) n에 대해, 행렬 곱셈을 갖는 모든 n × n 유니태리 행렬의 집합은 유니태리 그룹(unitary group) U(n)이라고 불리는 그룹(group)을 형성합니다.
단위 유클리드 노름을 갖는 임의의 정사각 행렬은 두 유니태리 행렬의 평균입니다.
Equivalent conditions
만약 U가 정사각, 복소수 행렬이면, 다음 조건은 동등합니다:
- \(U\)는 유니태리입니다.
- \(U^*\)는 유니태리입니다.
- \(U\)는 \(U^{-1} = U^*\)와 함께 역가능입니다.
- \(U\)의 열은 보통의 안의 곱에 관해 \(\mathbb{C}^n\)의 직교-정규 기저(orthonormal basis)를 형성합니다. 다시 말해서, \(U^*U = I\).
- \(U\)의 행은 보통의 안의 곱에 관해 \(\mathbb{C}^n\)의 직교-정규 기저를 형성합니다. 다른 말로, \(UU^* = I\).
- \(U\)는 보통의 노름에 관해 등거리-변환(isometry)입니다. 즉, 모든 \(x \in \mathbb{C}^n\)에 대해 \(\|Ux\|_2 = \|x\|_2\)이며, 여기서 \(\|x\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i|^2}\).
- \(U\)는 단위 원(unit circle) 위에 놓이는 고윳값(eigenvalues)을 갖는 정규 행렬(normal matrix)입니다 (동등하게, \(U\)의 고유벡터에 의해 형성된 직교정규 기저가 있습니다).
Elementary constructions
2 × 2 unitary matrix
2 × 2 유니태리 행렬의 하나의 일반적인 표현은 다음과 같습니다
\(\quad U = \begin{bmatrix}
a & b \\
-e^{i\varphi} b^* & e^{i\varphi} a^* \\
\end{bmatrix},
\qquad
\left| a \right|^2 + \left| b \right|^2 = 1\ ,\)
이는 4개의 실수 매개변수 (a의 위상, b의 위상, a와 b 사이의 상대 크기, 각도 φ)에 따라 달라집니다. 그 형식이 구성되었으므로 그러한 행렬의 행렬식(determinant)은 다음과 같습니다:
\(\quad \det(U) = e^{i \varphi} ~. \)
\(\det(U) = 1 \)를 갖는 그들 원소 \(U \)의 부분-그룹은 특수 유니태리 그룹(special unitary group) SU(2)이라고 불립니다.
여러 대안적인 형식 중에서, 행렬 U는 다음 형식으로 작성될 수 있습니다:
\(\quad U = e^{i\varphi / 2} \begin{bmatrix}
e^{i\alpha} \cos \theta & e^{i\beta} \sin \theta \\
-e^{-i\beta} \sin \theta & e^{-i\alpha} \cos \theta \\
\end{bmatrix}\ ,\)
여기서 \(e^{i\alpha} \cos \theta = a \)및 \(e^{i\beta} \sin \theta = b\)이고, 각도 \(\varphi, \alpha, \beta\, \theta \)는 임의의 값을 취할 수 있습니다.
\(\alpha = \psi + \delta \)와 \(\beta = \psi - \delta\)를 도입함으로써, 다음 인수분해를 가집니다:
\(\quad U = e^{i\varphi /2} \begin{bmatrix}
e^{i\psi} & 0 \\
0 & e^{-i\psi}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
e^{i\Delta} & 0 \\
0 & e^{-i\Delta}
\end{bmatrix} ~.
\)
이 표현은 각도 θ의 2 × 2 유니태리 행렬과 2 × 2 직교 행렬(orthogonal matrices) 사이의 관계를 강조합니다.
또 다른 인수분해는 다음과 같습니다:
\(\quad U = \begin{bmatrix}
\cos \rho & -\sin \rho \\
\sin \rho & \;\cos \rho \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
e^{i\xi} & 0 \\
0 & e^{i\zeta}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\;\cos \sigma & \sin \sigma \\
-\sin \sigma & \cos \sigma \\
\end{bmatrix} ~.
\)
기본 행렬에서 유니태리 행렬의 많은 다른 인수분해가 가능합니다.
See also
- Hermitian matrix and Skew-Hermitian matrix
- Matrix decomposition
- Orthogonal matrix
- Semi-orthogonal matrix
External links
- Weisstein, Eric W. "Unitary Matrix". MathWorld. Todd Rowland.
- Ivanova, O. A. (2001) [1994], "Unitary matrix", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
- "Show that the eigenvalues of a unitary matrix have modulus 1". Stack Exchange. March 28, 2016.
