수학(mathematics)에서, 유니태리 변환(unitary transformation)은 안의 곱(inner product)을 보존하는 변환(transformation)입니다: 변환 전 두 벡터의 안의 곱은 변환 후 안의 곱과 같습니다.
Formal definition
보다 정확하게, 유니태리 변환(unitary transformation)은 두 개의 안의 곱 공간 (예를 들어, 힐베르트 공간) 사이의 동형(isomorphism)입니다. 다시 말해서, 유니태리 변환은 다음임을 만족하는
\(\quad \langle Ux, Uy \rangle_{H_2} = \langle x, y \rangle_{H} \quad \text{ for all } x, y \in H,\)
두 개의 안의 곱 공간, \(H\)과 \(H_2\) 사이의 다음과 같은 전단사 함수(bijective function)입니다:
\(\quad U : H \to H_2\,\)
Properties
이 수식에서 \(x=y\)를 설정하면 알 수 있듯이 유니태리 변환은 등거리-변환(isometry)입니다.
Unitary operator
\(H_1\)과 \(H_2\)가 같은 공간일 때의 경우에서, 유니태리 변환은 그 힐베르트 공간의 자기동형(automorphism)이고, 유니태리 연산자(unitary operator)라고도 불립니다.
Antiunitary transformation
밀접하게 관련된 개념은 반-유니태리 변환(antiunitary transformation)의 개념이며, 이는 \(H_1\)에서 \(x\)와 \(y\)에 대해 다음임을 만족하는
\\quad (\langle Ux, Uy \rangle = \overline{\langle x, y \rangle}=\langle y, x \rangle\)
여기서 수평 막대는 복소수 켤레(complex conjugate)를 나타내며, 두 개의 복소 힐베르트 공간 사이의 다음 전단사 함수입니다:
\(\quad U:H_1\to H_2\,\)
See also
