수학(mathematics), 특히 수학적 해석학(functional analysis)에서, 급수가 만약 급수의 모든 재순서화가 같은 값으로 수렴하면 무조건적으로 수렴(unconditionally convergent)입니다. 대조적으로, 급수는 만약 그것이 수렴이지만 다른 순서화가 모두 같은 값으로 수렴하지는 않으면 조건적으로 수렴(conditionally convergent)입니다. 무조건적 수렴은 유한-차원(finite-dimensional) 벡터 공간(vector space)에서 절대 수렴(absolute convergence)과 동등하지만, 무한 차원에서 더 약한 속성입니다.
Definition
\(X\)를 토폴로지적 벡터 공간(topological vector space)으로 놓습니다. \(I\)를 인덱스 집합(index set)으로 놓고 모든 \(i \in I\)에 대해 \(x_i \in X\)라고 놓습니다.
급수 \(\textstyle \sum_{i \in I} x_i\)는 만약 다음이면 \(x \in X\)로 무조건적으로 수렴이라고 불립니다:
- 인덱싱 집합 \(I_0 := \{i \in I \mid x_i\ne 0\}\)는 셀-수-있는 것입니다, 그리고
- 모든 각 순열(permutation) (전단사(bijection)) \(\sigma:I_0\to I_0\) of \(I_0=\{i_k\}_{k=1}^\infty\)에 대해 다음 관계가 유지됩니다: \(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty x_{\sigma(i_k)} = x\)
Alternative definition
무조건적 수렴은 종종 다음 동등한 방법에서 정의됩니다: 급수가 만약 \(\varepsilon_n\in\{-1, +1\}\)을 갖는 모든 각 수열 \((\varepsilon_n)_{n=1}^\infty\)에 대해, 다음 급수가 수렴이면 무조건적으로 수렴입니다:
\(\quad\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \varepsilon_n x_n\).
만약 X가 바나흐 공간(Banach space)이면, 모든 각 절대적으로 수렴(absolutely convergent) 급수는 무조건적으로 수렴이지만, 그 전환(converse) 명제는 일반적으로 유지되지 않습니다. 실제로, 만약 X가 무한-차원 바나흐 공간이면, 보레츠키–로저스 정리(Dvoretzky–Rogers theorem)에 의해, 이 공간에서 절대적으로 수렴하지 않는 무조건적으로 수렴하는 급수가 항상 존재합니다. 어쨌든, \(X=\mathbf{R}^n\)일 때, 리만 급수 정리(Riemann series theorem)에 의해, 급수 \(\sum_n x_n\)가 무조건적으로 수렴인 것과 그것이 절대적으로 수렴인 것은 필요충분 조건입니다.
See also
- Absolute convergence – Mode of convergence of an infinite series. – Mode of convergence of an infinite series.
- Rearrangements and unconditional convergence/Dvoretzky–Rogers theorem – Mode of convergence of an infinite series. – Mode of convergence of an infinite series.
- Riemann series theorem
References
- Ch. Heil: A Basis Theory Primer
- Knopp, Konrad (1956). Infinite Sequences and Series. Dover Publications. ISBN 9780486601533.
- Knopp, Konrad (1990). Theory and Application of Infinite Series. Dover Publications. ISBN 9780486661650.
- Wojtaszczyk, P. (1996). Banach spaces for analysts. Cambridge University Press. ISBN 9780521566759.