일상 언어에서 대칭(symmetry) (그리스어(Greek) συμμετρία symmetria로부터 "비례, 배열에 기인한, 차원에서 일치")은 조화와 아름다운 비례 및 균형의 의미를 참조합니다.. 수학(mathematics)에서, "대칭"은 보다 정확한 정의를 가지고, 보통 일부 변환(transformations) 아래에서 불변(invariant)인 대상을 참조하기 위해 사용됩니다; 변환은 평행이동(translation), 반사(reflection), 회전(rotation) 또는 스케일링(scaling)을 포함합니다. 비록 "대칭"의 이들 두 가지 의미가 때때로 별개로 이야기될 수 있을지라도, 그것들은 관련되어 있고, 따라서 이 기사에서 함께 논의됩니다.
수학적 대칭은 시간(time)의 경과의 관점에서; 공간적 관계(spatial relationship)로서; 기하학적 변환(geometric transformation)을 통해; 함수형 변환의 다른 종류를 통해; 및 이론적 모델(theoretic models), 언어(language)와 음악(music)을 포함하여, 추상적인 대상(abstract object)의 관점으로 관찰될 수 있습니다.
이 기사는 세 가지 관점; 기하학(geometry)을 포함하여, 많은 사람들에게 대칭의 가장 친숙한 유형, 수학에서; 과학(science)과 자연(nature)에서; 및 건축(architecture), 미술(art)과 음악(music)을 다루는 예술에서 대칭을 설명합니다.
대칭의 반대는 비대칭(asymmetry)이며, 이는 대칭의 부재 또는 위반을 참조합니다.
In mathematics
In geometry
기하학적 모양 또는 대상은 만약 그것이 조직화된 방식에서 배열된 둘 이상의 동일한 조각으로 나눌 수 있으면 대칭입니다. 이것은 대상이 만약 그것의 개별적인 조작을 이동하는 변형이 있지만, 전체 모양을 변경하지 않으면 대칭이라는 것을 의미합니다. 대칭의 유형은 조각이 구성되는 방법에 의해, 또는 변형의 유형에 의해 결정됩니다:
- 대상은 만약 그것을 서로 거울 이미지인 두 조각으로 나누는 그것을 통과하는 직선 (또는 3D에서 평면)이 있으면 반사 대칭(reflectional symmetry) (선 또는 거울 대칭)을 가집니다.
- 대상은 만약 그것이 전체 모양을 변경 없이 고정된 점을 중심으로 (또는 3D에서 직선에 대해) 회전될 수 있으면 회전 대칭(rotational symmetry)을 가집니다.
- 대상은 만약 그것이 전체 모양을 변경 없이 (대상의 모든 각 점을 같은 거리만큼 이동하는) 평행이동(translated)될 수 있으면 평행이동적 대칭(translational symmetry)을 가집니다.
- 대상은 만약 그것이 나사 축(screw axis)으로 알려진 직선을 따라 삼-차원 공간에서 동시에 평행이동되고 회전될 수 있으면 나선형 대칭(helical symmetry)을 가집니다.
- 대상은 만약 그것이 확장 또는 축소될 때 모양을 변경하지 않으면 스케일 대칭(scale symmetry)을 가집니다. 프랙탈(Fractals)은 역시 스케일 대칭의 한 형식을 나타내며, 여기서 프랙탈의 더 작은 부분은 모양에서 더 큰 부분과 닯음(similar)입니다.
- 다른 대칭은 미끄럼 반사(glide reflection) 대칭 (반사 후 평행이동) 및 회전반사(rotoreflection) 대칭 (회전과 반사의 조합)을 포함합니다.
In logic
이원적 관계(dyadic relation) R = S × S는 만약 S에서 각 원소 a, b에 대해, Rab가 참일 때마다, 역시 Rba가 참이면 대칭입니다. 따라서, 관계 "~와 같은 나이입니다"는 대칭인데, 왜냐하면 만약 바울이 마리아와 같은 나이이면, 마리아는 바울과 같은 나이이기 때문입니다.
명제 논리에서, 대칭적 이항 논리적 연결(logical connectives)은 그리고(and) (∧, 또는 &), 또는(or) (∨, 또는 |) 및 필요충분(iff) (↔)을 포함하지만, 연결자 만약(if) (→)은 대칭이 아닙니다. 다른 대칭 논리적 연결은 nand (not-and, 또는 ⊼), xor (not-biconditional, 또는 ⊻), 및 nor (not-or, 또는 ⊽)을 포함합니다.
Other areas of mathematics
이전 섹션에서 기하학적 대칭에서 일반화하면, 수학적 대상(mathematical object)이, 만약, 대상에 적용될 때, 이 연산이 대상의 일부 속성을 보존하면, 주어진 수학적 연산(mathematical operation)에 관해 대칭이라고 말할 수 있습니다. 대상의 주어진 속성을 보존하는 연산의 집합이 그룹(group)을 형성합니다.
일반적으로, 수학에서 모든 각 종류의 구조는 그 자체의 종류의 대칭을 가질 것입니다. 예제는 미적분(calculus)에서 짝수와 홀수 함수(even and odd functions), 추상 대수(abstract algebra)에서 대칭 그룹(symmetric groups), 선형 대수(linear algebra)에서 대칭 행렬(symmetric matrices), 및 갈루아 이론(Galois theory)에서 갈루아 그룹(Galois groups)을 포함합니다. 통계(statistics)에서, 대칭은 역시 대칭 확률 분포(symmetric probability distribution)와 기울어짐(skewness)–분포의 비대칭–으로 나타납니다.
In science and nature
In physics
물리학에서 대칭은 예를 들어 임의적인 좌표 변환(arbitrary coordinate transformations)과 같은 임의의 종류의 변환 아래에서 불변성(invariance)—즉 변화가 없음—을 의미하도록 일반화되어 왔습니다. 이 개념은 사실상 모든 자연 법칙이 대칭에서 비롯된다는 것이 분명해지기 때문에 이론 물리학(theoretical physics)의 가장 강력한 도구 중 하나가 되었습니다. 사실, 이 역할은 노벨상 수상자인 PW Anderson이 1972년에 널리 읽힌 기사 More is Different에서 "물리학이 대칭에 대한 연구라고 말하는 것은 단지 약간 과장된 것일 뿐입니다"라는 글을 쓰도록 영감을 주었습니다; 뇌터의 정리(Noether's theorem)를 참조하십시오 (이것은 매우 단순화된 형태로 모든 연속적인 수학적 대칭에 대해 에너지 또는 운동량과 같은 상응하는 보존량이 있음을 나타냅니다; 뇌터의 원래 언어에서, 보존된 경향.) 그리고 역시, 위그너의 분류(Wigner's classification_를 참조하십시오 (이것은 물리 법칙의 대칭이 자연에서 발견되는 입자의 특성을 결정한다고 말합니다.)
물리학에서 중요한 대칭에는 연속 대칭(continuous symmetries)과 시공간(spacetime)의 이산 대칭(discrete symmetries); 입자의 내부 대칭(internal symmetries); 및 물리적 이론의 초월-대칭(supersymmetry)을 포함합니다.
In biology
생물학에서, 대칭의 개념은 몸체 모양을 설명하기 위해 대부분 명시적으로 사용됩니다. 인간을 포함한 양측 동물(Bilateral animals)은 몸체를 왼쪽과 오른쪽 절반으로 나누는 시상 평면(sagittal plane)에 대해 다소 대칭적입니다. 한 방향으로 움직이는 동물은 반드시 위쪽과 아래쪽, 머리와 꼬리 끝이 있고, 따라서 왼쪽과 오른쪽을 가져야 합니다. 머리는 입과 감각 기관으로 전문화되고, 몸체는 움직임을 위해 좌우 대칭이 되며, 근육과 골격 요소의 대칭 쌍이 있지만, 내부 장기는 종종 비대칭으로 남아 있습니다.
말미잘과 같은 식물과 고착된 (부착된) 동물은 종종 방사형 또는 회전 대칭(rotational symmetry)을 가지며, 이는 음식이나 위협이 모든 방향에서 도착할 수 있기 때문에 적합합니다. 불가사리, 성게, 및 바다 백합을 포함하는 그룹인 극피 동물(echinoderms)에서 5중 대칭이 발견됩니다.
생물학에서, 대칭의 개념은 물리학과 마찬가지로 사용됩니다. 즉 말하자면, 그것들의 상호 작용을 포함하여 연구 대상의 속성을 설명하기 위해 사용됩니다. 생물학적 진화의 놀라운 속성은 새로운 부분과 역학의 출현에 상응하는 대칭의 변화입니다.
In chemistry
대칭은 본질적으로 자연에서 분자 사이의 모든 특정(specific) 상호 작용을 (즉, 자연과 인간이 만든 키랄 분자와 본질적으로 키랄 생물학적 시스템의 상호작용을 통해) 뒷받침하기 때문에 화학(chemistry)에서 중요합니다. 현대 화학 합성(chemical synthesis)에서 생성된 분자의 대칭(symmetry)의 제어는 과학자들에게 부작용(side effects)을 최소화하면서 치료적 개입을 제공하도록 기여합니다. 대칭에 대한 철저한 이해는 양자 화학(quantum chemistry)에서, 및 분광학(spectroscopy)과 결정학(crystallography)의 응용 분야에서 기본적인 관찰을 설명합니다. 물리적 과학(physical science)의 이들 영역에 대한 대칭 이론과 응용은 그룹 이론(group theory)의 수학적 영역에 크게 의존합니다.
In psychology and neuroscience
인간 관찰자에 대해, 일부 대칭 유형은 다른 유형보다 더 두드러지며, 특히 가장 두드러지는 것은 인간의 얼굴에 있는 것과 같은 수직 축을 갖는 반사입니다. Ernst Mach는 그의 책 "The analysis of sensations(감각의 분석)" (1897)에서 이러한 관찰을 만들었고, 이것은 대칭에 대한 인식이 모든 유형의 규칙성에 대한 일반적인 반응이 아님을 의미합니다. 행동과 신경 생리학적 연구 모두 인간과 다른 동물의 반사 대칭에 대한 특별한 민감성을 확인했습니다. 게슈탈트(Gestalt) 전통 내의 초기 연구는 양측 대칭이 지각 그룹화(grouping)의 핵심 요소 중 하나임을 시사했습니다. 이것은 대칭의 법칙(Law of Symmetry)으로 알려져 있습니다. 그룹화와 도형/바닥 구성에서 대칭의 역할은 많은 연구에서 확인되어 왔습니다. 예를 들어, 반사 대칭의 감지는 이것이 단일 대상의 속성일 때 더 빠릅니다. 인간의 지각과 정신 물리학에 대한 연구는 대칭의 탐지가 빠르고, 효율적이고 교란에 강하다는 것을 보여주었습니다. 예를 들어, 대칭은 100에서 150밀리초 사이의 연출로 감지될 수 있습니다.
보다 최근의 신경-영상 연구는 대칭을 인지하는 동안 어떤 뇌 영역이 활성화되는지 문서화했습니다. Sasaki et al.은 대칭 또는 무작위 점을 갖는 패턴에 대한 응답을 비교하기 위해 기능적 자기 공명 영상(Functional magnetic resonance imaging, 줄여서 fMRI)를 사용했습니다. 강한 활동성은 후두 피질의 여분의-줄무늬(extrastriate) 영역에 존재했지만 일차 시각 피질에는 없었습니다. 여분의-줄무늬(extrastriate) 영역은 V3A, V4, V7, 및 측면 후두 복합체(lateral occipital complex, 줄여서 LOC)를 포함했습니다. 전기-생리학적 연구는 같은 영역에서 기원하는 후기 후부 부정성을 발견했습니다. 일반적으로, 시각 시스템의 많은 부분이 시각 대칭 처리에 관여하는 것으로 보이고, 이들 영역은 물체를 감지하고 인식하는 것과 유사한 네트워크를 포함합니다.
In social interactions
사람들은 다양한 맥락에서 사회적 상호 작용의, 종종 비대칭적 균형을 포함하여, 대칭적인 본성을 관찰합니다. 이것들은 호혜, 공감, 동정, 사과, 대화, 존중, 정의, 및 복수에 대한 평가를 포함합니다. 반사적 평형(Reflective equilibrium)은 일반 원칙과 구체적인 판단 사이에서 숙고된 상호 조정을 통해 얻을 수 있는 균형입니다. 대칭적 상호 작용은 "우리는 모두 똑같다"라는 도덕적 메시지를 보내지만 비-대칭적 상호 작용은 "나는 특별하다; 너희들보다 낫다"라는 메시지를 보낼 수 있습니다. 황금률(golden rule)의 지배를 받을 수 있는 것과 같은 동료 관계는 대칭을 기반으로 하지만, 권력 관계는 비대칭을 기반으로 합니다. 대칭 관계는 tit for tat와 같은 대칭 게임(symmetric games)에서 볼 수 있는 간단한 (게임 이론) 전략에 의해 어느 정도 유지될 수 있습니다.
In the arts
적어도 부분적으로는 대칭과 예술을 다루는 것으로 알려진 저널과 신문의 목록이 존재합니다.
In architecture
대칭은 고딕 성당 및 백악관과 같은 건물의 전반적인 외부 전망에서 개별 평면도의 레이아웃, 타일 모자이크와 같은 개별 건물 요소의 디자인에 이르기까지 모든 규모의 건축물에 적용됩니다. 타지 마할(Taj Mahal)과 로트폴라 모스크(Lotfollah mosque)와 같은 이슬람 건물은 구조와 장식 모두에서 대칭을 정교하게 사용합니다. 알함브라(Alhambra) 궁전과 같은 무어식 건물은 회전과 마찬가지로 평행이동과 반사 대칭을 사용하여 만든 복잡한 패턴으로 장식되어 있습니다.
나쁜 건축가만이 "벽돌, 덩어리 및 구조의 대칭적인 배치"에 의존한다고 회자되어 왔습니다; 국제 스타일로 시작하는, 모더니스트 건축은 대신 "날개와 덩어리의 균형"에 의존합니다.
In pottery and metal vessels
도자기 바퀴(pottery wheels)를 처음 사용하여 점토 그릇 모양을 만든 이후로, 도자기는 대칭과 강한 관계를 유지해 왔습니다. 바퀴를 사용하여 만든 도자기는 횡단면에서 완전한 회전 대칭을 얻으면서 수직 방향으로 모양의 상당한 자유를 허용합니다. 이 본질적으로 대칭적인 시작 점에서, 고대부터 도예가는 시각적 목표를 달성하기 위해 회전 대칭을 수정하는 패턴을 추가했습니다.
주조 금속 용기는 바퀴로 만든 도자기의 고유한 회전 대칭이 없었지만, 그렇지 않으면 그것들을 사용했던 사람들이 좋아하는 패턴을 갖는 표면을 장식할 수 있는 유사한 기회를 제공했습니다. 고대 중국인들은, 예를 들어, 기원전 17세기에 청동 주물에 대칭 패턴을 사용했습니다. 청동 선박은 양측의 주요 모티브와 반복적으로 번역된 국경 디자인을 모두 전시했습니다.
In carpets and rugs
카펫과 깔개 패턴에서 대칭을 사용하는 오랜 전통은 다양한 문화권에 걸쳐 있습니다. 미국 나바호 인디언들은 대담한 대각선과 직사각형 모티브를 사용했습니다. 많은 동양 양탄자는 패턴을 번역하는 복잡한 반사 중심과 테두리를 가지고 있습니다. 놀랍지도 않게, 직사각형 깔개는 전형적으로 직사각형의 대칭을 가지고 있습니다—즉, 수평과 수직 축 모두에 걸쳐 반영되는 모티브입니다 (see Klein four-group § Geometry).
In quilts
이불은 정사각형 블록 (대개 한 블록에 9, 16 또는 25개 조각)으로 만들어지고 각각의 작은 조각은 보통 직물 삼각형으로 구성되므로, 이 공예는 대칭을 적용하는 데 쉽게 적합합니다.
In other arts and crafts
대칭은 모든 종류의 물체의 디자인에 나타납니다. 예제는 비즈 세공, 가구, 모래 그림, 매듭 세공, 마스크 및 악기를 포함합니다. 대칭은 M.C. Escher의 예술과 벽지, 이슬람 기하학적 장식과 같은 세라믹 타일, 바틱, 이캇, 카펫 만들기, 다양한 종류의 직물 및 자수 패턴과 같은 예술과 공예 형태의 테셀레이션의 많은 응용 분야의 핵심입니다.
대칭은 로고 디자인에도 사용됩니다. 격자 위에 로고를 만들고 대칭 이론을 사용하여 디자이너는 작업을 구성하고, 대칭 또는 비대칭 디자인을 만들고, 문자 사이의 간격을 결정하고, 디자인에 필요한 음수 공간의 양을 결정하고, 로그를 돋보이게 만들기 위해 부분을 강조하는 방법을 결정할 수 있습니다.
In music
대칭은 시각 예술에만 국한되지 않습니다. 음악의 역사에서 그것의 역할은 음악의 창조와 인식의 많은 측면에 영향을 미칩니다.
Musical form
대칭은 Steve Reich, Béla Bartók, 및 James Tenney에 의해 사용된 아치 (팽창) 형식 (ABCBA)과 같은 많은 작곡가에 의해 형식적 제약으로 사용되었습니다. 클래식 음악에서 바흐는 순열과 불변의 대칭 개념을 사용했습니다.
Pitch structures
대칭은 음계와 화음, 온음계 또는 장조와 같은 비대칭 피치 그룹으로 구성된 전통 음악 또는 음조 음악의 형성에 있어서도 중요한 고려 사항입니다. 전체 음계, 증가된 화음 또는 감소된 7화음 (감소-감소 7도)과 같은 대칭 음계 또는 화음은 방향이 없거나 앞으로 움직이는 감각이 없다고 말하고, 키 또는 음조 중심과 관련하고 모호하고, 덜 구체적인 온음 기능을 가집니다. 어쨌든, Alban Berg, Béla Bartók, 및 George Perle와 같은 작곡가는 대칭 축 및/또는 음정 주기를 키 또는 비음조 중심과 유사한 방식으로 사용했습니다. George Perle는 표현합니다 "C–E, D–F♯, [및] Eb–G는 같은 음정의 다른 인스턴스입니다 ... 다른 종류의 동일성. ... 대칭 축과 관련해야 합니다. C–E는 다음과 같이 대칭적으로 관련된 쌍의 계열에 속합니다:"
따라서 C–E는 음정-4 계열의 일부일 뿐만 아니라 숨-4 계열의 일부이기도 합니다 (C는 0과 같음).
음정 순환은 대칭이므로 온음이 없습니다. 어쨌든, C5의 7 피치 세그먼트 (4도 순환과 조화를 이루는 5도 순환)는 온음 장조를 생성합니다. Gustav Mahler와 Richard Wagner와 같은 낭만주의 작곡가의 작품에서 순환적인 음조 진행은 Bartok, Alexander Scriabin, Edgard Varèse, 및 비엔나 학교와 같은 모더니스트의 무조음 음악에서 순환적인 음높이 계승과 연결됩니다. 동시에, 이 진행은 음조의 끝을 알립니다.
대칭적인 피치 관계에 지속적으로 기반을 둔 최초의 확장된 구성은 아마도 Alban Berg의 Quartet, Op. 3 (1910)이었습니다.
Equivalency
역행에서 변하지 않는 음조 또는 음조 클래스 집합은 수평으로 대칭이고 반전에서는 수직입니다. 비대칭 리듬(Asymmetric rhythm)도 참조하십시오.
In aesthetics
대칭과 미학(aesthetics)의 관계는 복잡합니다. 인간은 얼굴의 양측 대칭(bilateral symmetry)을 신체적으로 매력적으로 생각합니다; 이는 건강과 유전적 적합성을 나타냅니다. 이에 반대되는 것은 과도한 대칭이 지루하거나 흥미롭지 않은 것으로 인식되는 경향입니다. Rudolf Arnheim은 사람들이 약간의 대칭성을 가지고 있고 그것들을 흥미롭게 만들기에 충분한 복잡성을 가진 모양을 선호한다고 제안했습니다.
In literature
대칭은 문헌에서 다양한 형태로 발견될 수 있으며, 간단한 예는 짧은 텍스트가 앞뒤로 같은 내용을 읽는 회문입니다. 이야기는 베오울프(Beowulf)의 흥망성쇠 패턴과 같이 대칭적인 구조를 가질 수 있습니다.
See also
- Automorphism
- Even and odd functions
- Fixed points of isometry groups in Euclidean space – center of symmetry
- Isotropy
Further reading
- The Equation That Couldn't Be Solved: How Mathematical Genius Discovered the Language of Symmetry, Mario Livio, Souvenir Press 2006, ISBN 0-285-63743-6
External links
- Dutch: Symmetry Around a Point in the Plane Archived 2004-01-02 at the Wayback Machine
- Chapman: Aesthetics of Symmetry
- ISIS Symmetry
- Symmetry, BBC Radio 4 discussion with Fay Dowker, Marcus du Sautoy & Ian Stewart (In Our Time, Apr. 19, 2007)
