수학(mathematics)과 이론적 물리학(theoretical physics)에서, 초월-행렬(supermatrix)은 보통 행렬(matrix)의 \(\mathbf{Z}_2\)-등급화된 아날로그입니다. 구체적으로, 초월행렬은 초월대수 (또는 초월링)에 엔트리를 갖는 2×2 블록 행렬입니다. 가장 중요한 예제는 교환 초월대수 (예를 들어, 그라스만 대수) 또는 보통의 필드 (순전히 짝수 교환 초월대수로 생각됨)에 엔트리를 갖는 것들입니다.
수학(mathematics)과 이론적 물리학(theoretical physics)에서, 초월-행렬(supermatrix)은 보통 행렬(matrix)의 \(\mathbf{Z}_2\)-등급화된 아날로그입니다. 구체적으로, 초월행렬은 초월대수 (또는 초월링)에 엔트리를 갖는 2×2 블록 행렬입니다. 가장 중요한 예제는 교환 초월대수 (예를 들어, 그라스만 대수) 또는 보통의 필드 (순전히 짝수 교환 초월대수로 생각됨)에 엔트리를 갖는 것들입니다.
Definitions and notation
R을 고정된 초월대수(superalgebra)라고 놓습니다 (단위적(unital)과 결합적(associative)이라고 가정됩니다). 종종 R을 마찬가지로 초월교환적(supercommutative)이어야 함을 요구합니다 (본질적으로 비-등급화된 경우와 같은 이유로).
p, q, r, 및 s를 비-음의 정수라고 놓습니다. 차원 (r|s)×(p|q)의 초월행렬(supermatrix)은 다음과 같은 2×2 블록 구조(block structure)로 분할된 R에서 엔트리를 갖는 행렬입니다:
\(\quad X = \begin{bmatrix}X_{00} & X_{01} \\ X_{10} & X_{11}\end{bmatrix}\)
이때 r+s 총 행과 p+q 총 열을 가집니다 (부분행렬 \(X_{00}\)는 차원 r×p를 가지고 \(X_{11}\)은 차원 s×q를 가지도록 합니다). 보통의 (비-등급화된) 행렬은 q와 s가 모두 영인 초월행렬로 생각될 수 있습니다.
정사각(square) 초월행렬은 (r|s) = (p|q)인 것입니다. 이것은 비-분할된 행렬 X가 정사각일 뿐만 아니라, 대각선 블록 \(X_{00}\) 및 \(X_{11}\)도 마찬가지임을 의미합니다.
짝수 초월행렬(even supermatrix)은 대각 블록 (\(X_{00}\) 및 \(X_{11}\))이 R의 짝수 원소 (즉, 패리티 0의 동차 원소)로만 구성되고 비-대각선 블록 (\(X_{01}\) 및 \(X_{10}\))이 R의 홀수 원소로만 구성되는 초월행렬입니다.
\(\quad \begin{bmatrix}\mathrm{even} & \mathrm{odd} \\ \mathrm{odd}& \mathrm{even} \end{bmatrix}\)
홀수 초월행렬(odd supermatrix)은 그 반대가 성립하는 초월행렬입니다: 대각선 블록은 홀수이고 비-대각선 블록은 짝수입니다.
\(\quad \begin{bmatrix}\mathrm{odd} & \mathrm{even} \\ \mathrm{even}& \mathrm{odd} \end{bmatrix}\)
만약 스칼라 R은 비-영 홀수 원소가 없는 순수하게 짝수이므로, 짝수 초월행렬은 블록 대각(block diagonal)인 것이고 홀수 초월행렬은 비-대각인 것입니다.
초월행렬은 만약 그것이 짝수이거나 홀수이면 동차(homogeneous)입니다. 비-영 동차 초월행렬 X의 패리티(parity), |X|는 그것이 짝수인지 홀수인지에 따라 0 또는 1입니다. 모든 각 초월행렬은 짝수 초월행렬과 홀수 초월행렬의 합으로 고유하게 쓸 수 있습니다.
Algebraic structure
호환-가능한 차원의 초월행렬은 보통의 행렬과 마찬가지로 더하거나 곱할 수 있습니다. 이들 연산은 블록이 호환-가능한 차원을 가질 때만 정의된다는 제한을 갖는 보통의 연산과 정확히 같습니다. (왼쪽 또는 오른쪽에) R의 원소에 의해 초월행렬을 곱할 수도 있지만, 이 연산은 R에 홀수 원소의 존재로 인해 비-등급화된 경우와 다릅니다.
\(M_{r|s \times p|q}(R)\)가 차원 (r|s)×(p|q)을 갖는 R에 걸쳐 모든 초월행렬의 집합을 나타낸다고 놓습니다. 이 집합은 초월행렬 덧셈과 스칼라 곱셈 아래에서 R에 걸쳐 초월모듈(supermodule)을 형성합니다. 특히, 만약 R이 필드 K에 걸쳐 초월대수이면, \(M_{r|s \times p|q}(R)\)은 K에 걸쳐 초월 벡터 공간(super vector space)을 형성합니다.
\(M_{p|q}(R)\)가 차원 (p|q)×(p|q)을 갖는 R에 걸쳐 모든 정사각 초월행렬의 집합을 나타낸다고 놓습니다. 이 집합은 초월행렬 덧셈과 곱셈 아래에서 초월링(superring)을 형성합니다. 게다가, 만약 R이 교환적 초월대수(commutative superalgebra)이면, 초월행렬 곱셈은 \(M_{p|q}(R)\)이 R에 걸쳐 초월대수를 형성하도록 쌍선형 연산입니다.
Addition
차원 (r|s)×(p|q)의 두 개의 초월행렬은 같은 크기의 초월행렬을 얻기 위해 비-등급화된 경우와 마찬가지로 더할 수 있습니다. 덧셈은 블록이 호환-가능한 크기를 가지기 때문에 블록-별로 수행될 수 있습니다. 두 개의 짝수 초월행렬의 합이 짝수이고 두 개의 홀수 초월행렬의 합이 홀수임을 쉽게 알 수 있습니다.
Multiplication
차원 (r|s)×(p|q)을 갖는 초월행렬에 비-등급화된 경우와 마찬가지로 차원 (p|q)×(k|l)를 갖는 초월행렬을 곱하여 차원 (r|s)×(k|l)의 행렬을 얻을 수 있습니다. 곱셈은 다음과 같은 명백한 방식으로 블록 수준에서 수행될 수 있습니다:
\(\quad \begin{bmatrix}X_{00} & X_{01} \\ X_{10} & X_{11}\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}Y_{00} & Y_{01} \\ Y_{10} & Y_{11}\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}X_{00}Y_{00} + X_{01}Y_{10} & X_{00}Y_{01} + X_{01}Y_{11} \\
X_{10}Y_{00} + X_{11}Y_{10} & X_{10}Y_{01} + X_{11}Y_{11}\end{bmatrix}.
\)
곱 초월행렬 Z = XY의 블록은 다음과 같이 지정됨에 주목하십시오:
\(\quad Z_{ij} = X_{i0}Y_{0j} + X_{i1}Y_{1j}.\,\)
만약 X와 Y가 패리티 |X|와 |Y|와 동차이면 XY는 패리티 |X| + |Y|와 동차입니다. 즉, 2개의 짝수 또는 2개의 홀수 초월행렬의 곱은 짝수이고 짝수와 홀수 초월행렬의 곱은 홀수입니다.
Scalar multiplication
초월행렬에 대한 스칼라 곱셈(Scalar multiplication)은 R에 홀수 원소의 존재로 인해 비-등급화된 경우와 다릅니다. X를 초월행렬이라고 놓습니다. α ∈ R에 의한 왼쪽 스칼라 곱셈은 다음과 같이 정의됩니다:
\(\quad \alpha\cdot X = \begin{bmatrix}
\alpha\,X_{00} & \alpha\,X_{01}\\
\hat\alpha\,X_{10} & \hat\alpha\,X_{11}
\end{bmatrix}\)
여기서 내부 스칼라 곱셈은 보통의 비-등급화된 곱셈이고 \(\hat\alpha\)는 R에서 등급 인볼루션을 나타냅니다. 이것은 동차 원소에 대해 다음과 같이 제공됩니다:
\(\quad \hat\alpha = (-1)^{|\alpha|}\alpha.\)
\(\alpha\)에 의한 오른쪽 스칼라 곱셈은 유사하게 정의됩니다:
\(\quad X\cdot\alpha = \begin{bmatrix}
X_{00}\,\alpha & X_{01}\,\hat\alpha \\
X_{10}\,\alpha & X_{11}\,\hat\alpha
\end{bmatrix}.\)
만약 \(\alpha\)가 짝수이면 \(\hat\alpha = \alpha\)이고 이들 두 연산은 비-등급화된 버전과 같습니다. 만약 \(\alpha\)와 X가 동차이면, α·X와 X·α는 둘 다 패리티 |α| + |X|와 동차입니다. 게다가, 만약 R이 초월교환적이면 다음을 가집니다:
\(\quad \alpha\cdot X = (-1)^{|\alpha||X|}X\cdot\alpha.\)
As linear transformations
보통의 행렬은 벡터 공간 (또는 자유 모듈) 사이의 선형 맵의 좌표 표현으로 생각될 수 있습니다. 마찬가지로, 초월행렬은 초월 벡터 공간 (또는 자유 초월모듈) 사이의 선형 맵의 좌표 표현으로 생각될 수 있습니다. 어쨌든, 등급화된 경우에서 중요한 차이점이 있습니다. 하나의 초월 벡터 공간에서 또 다른 수퍼 벡터 공간으로의 준동형은, 정의에 의해, 등급화를 보존하는 것입니다 (즉, 짝수 원소를 짝수 원소로, 홀수 원소를 홀수 원소로 매핑합니다). 그러한 변환의 좌표 표현은 항상 짝수 초월행렬입니다. 홀수 초월행렬은 등급화를 반전시키는 선형 변환에 해당합니다. 일반적인 초월행렬은 임의적인 비-등급화된 선형 변환을 나타냅니다. 그러한 변환은 등급화된 경우에도 여전히 중요하지만, 등급화된 (짝수) 변환보다 덜 중요합니다.
초월대수(superalgebra) R에 걸쳐 초월모듈(supermodule) M은 만약 그것이 자유 동차 기저를 가지면 자유(free)입니다. 만약 그러한 기저가 p개의 짝수 원소와 q개의 홀수 원소로 구성되면, M은 랭크 p|q를 가진다고 말합니다. 만약 R이 초월교환적이면, 랭크는 비-등급화된 경우와 마찬가지로 기저의 선택과 독립적입니다.
\(R^{p|q}\)를 열 초월벡터의 공간—차원 (p|q)×(1|0)의 초월행렬이라고 놓습니다. 이것은 자연스럽게 오른쪽 좌표 공간이라고 불리는 오른쪽 R-초월모듈입니다. 차원 (r|s)×(p|q)의 초월행렬 T는 오른쪽 R-선형 맵으로 생각될 수 있습니다:
\(\quad T:R^{p|q}\to R^{r|s}\,\)
여기서 \(R^{p|q}\) 위의 T의 동작은 단지 초월행렬 곱셈입니다 (이 동작은 일반적으로 왼쪽 R-선형이 아니며, 이는 우리가 \(R^{p|q}\)를 오른쪽 초월모듈로 생각하는 이유입니다).
M을 랭크 p|q의 자유 오른쪽 R-초월모듈이라고 놓고 N을 랭크 r|s의 자유 오른쪽 R-초월모듈이라고 놓습니다. \((e_i)\)를 M에 대한 자유 기저라고 놓고 \((f_k)\)를 N에 대한 자유 기저라고 놓습니다. 그러한 기저의 선택은 M에서 \(R^{p|q}\)로 그리고 N에서 \(R^{r|s}\)로 동형의 선택과 동등합니다. 임의의 (비등급화된) 선형 맵은
\(\quad T : M\to N\,\)
선택된 기저에 상대적인 (r|s)×(p|q) 초월행렬로 쓸 수 있습니다. 결합된 초월행렬의 구성 요소는 다음 공식에 의해 결정됩니다:
\(\quad T(e_i) = \sum_{k=1}^{r+s}f_k\,{T^k}_i.\)
초월행렬 T의 블록 분해는 M과 N을 짝수 부분모듈과 홀수 부분모듈로 분해하는 것에 해당합니다:
\(\quad M = M_0\oplus M_1\qquad N = N_0\oplus N_1.\)
Operations
보통의 행렬에 대한 많은 연산은 초월행렬로 일반화될 수 있지만, 일반화가 항상 명확하거나 간단하지는 않습니다.
Supertranspose
초월행렬의 초월전치(supertranspose)는 전치(transpose)의 \(\mathbf{Z}_2\)-등급화된 아날로그입니다. 다음을
\(\quad X = \begin{bmatrix}A & B \\ C & D\end{bmatrix}\)
동차 (r|s)×(p|q) 초월행렬이라고 놓습니다. X의 초월전치는 (p|q)×(r|s) 초월행렬입니다:
\(\quad X^{st} = \begin{bmatrix}A^t & (-1)^{|X|}C^t \\ -(-1)^{|X|}B^t & D^t\end{bmatrix}\)
여기서 \(A^t\)는 A의 보통의 전치를 나타냅니다. 이것은 선형성에 의해 임의적인 초월행렬로 확장될 수 있습니다. 보통의 전치와 달리, 초월전치는 일반적으로 인볼루션(involution)이 아니라 오히려 차수 4를 가집니다. 초월행렬 X에 초월전치를 두 번 적용하면 다음이 제공됩니다:
\(\quad (X^{st})^{st} = \begin{bmatrix}A & -B \\ -C & D\end{bmatrix}.\)
만약 R이 초월교환적이면, 초월전치는 다음 항등식을 만족시킵니다:
\(\quad (XY)^{st} = (-1)^{|X||Y|}Y^{st}X^{st}.\,\)
Parity transpose
초월행렬의 패리티 전치(parity transpose)는 비-등급화된 아날로그 없이 새로운 연산입니다. 다음을
\(\quad X = \begin{bmatrix}A & B \\ C & D\end{bmatrix}\)
(r|s)×(p|q) 초월행렬이라고 놓습니다. X의 패리티 전치는 (s|r)×(q|p) 초월행렬입니다:
\(\quad X^\pi = \begin{bmatrix}D & C \\ B & A\end{bmatrix}.\)
즉, 전치된 행렬의 (i,j) 블록은 원래 행렬의 (1−i,1−j) 블록입니다.
패리티 전치 연산은 다음 항등식을 준수합니다:
- \((X+Y)^\pi = X^\pi + Y^\pi\,\)
- \((XY)^\pi = X^\pi Y^\pi\,\)
- \((\alpha\cdot X)^\pi = \hat\alpha\cdot X^\pi\)
- \((X\cdot\alpha)^\pi = X^\pi\cdot\hat\alpha\)
마찬가지로
- \(\pi^2 = id\,\)
- \(\pi\circ st \circ \pi = (st)^4\)
여기서 st는 초월전치 연산을 나타냅니다.
Supertrace
정사각 초월행렬의 초월-대각합(supertrace)은 대각합(trace)의 \(\mathbf{Z}_2\)-등급화된 아날로그입니다. 그것은 다음 공식에 의해 동차 초월행렬 위에 정의됩니다:
\(\quad \mathrm{str}(X) = \mathrm{tr}(X_{00}) - (-1)^{|X|}\mathrm{tr}(X_{11})\,\)
여기서 tr은 보통의 대각합을 나타냅니다.
만약 R이 초월교환적이면, 초월대각합은 동차 초월행렬 X와 Y에 대해 다음 항등식을 만족시킵니다:
\(\quad \mathrm{str}(XY) = (-1)^{|X||Y|}\mathrm{str}(YX)\,\)
Berezinian
정사각 초월행렬의 비리이즘(Berezinian, 또는 초월행렬식(superdeterminant))은 행렬식(determinant)의 \(\mathbf{Z}_2\)-등급화된 아날로그입니다. 비리이즘은 교환 초월대수 R에 걸쳐 짝수, 역가능 초월행렬 위에만 잘-정의됩니다. 이 경우에서 다음 공식에 의해 제공됩니다:
\(\quad \mathrm{Ber}(X) = \det(X_{00} - X_{01}X_{11}^{-1}X_{10})\det(X_{11})^{-1}.\)
여기서 det는 (교환 대수 \(R_0\)에서 엔트리를 갖는 정사각 행렬의) 보통의 행렬식을 나타냅니다.
비리이즘은 보통의 행렬식과 유사한 속성을 만족시킵니다. 특히, 그것은 초월전치 아래에서 덧셈적이고 불변입니다. 그것은 다음 공식에 의해 초월행렬과 관련됩니다:
\(\quad \mathrm{Ber}(e^X) = e^{\mathrm{str(X)}}.\,\)
References
- Varadarajan, V. S. (2004). Supersymmetry for Mathematicians: An Introduction. Courant Lecture Notes in Mathematics 11. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3574-2.
- Deligne, Pierre; Morgan, John W. (1999). "Notes on Supersymmetry (following Joseph Bernstein)". Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematicians. Vol. 1. American Mathematical Society. pp. 41–97. ISBN 0-8218-2012-5.