수학(mathematics)과 이론 물리학(theoretical physics)에서 초월-대수(superalgebra)는 \(\mathbf{Z}_2\)-등급화된 대수(graded algebra)입니다. 즉, "짝수" 및 "홀수" 조각으로의 분해와 등급을 존중하는 곱셈 연산자를 갖는 교환 링(commutative ring) 또는 필드(field)에 걸쳐 대수(algebra)입니다.
접두사 super-는 이론적 물리학에서 초월-대칭(supersymmetry)의 이론에서 유래합니다. 초월대수와 그것들의 표현, 초월모듈(supermodules)은 초월대칭을 공식화하기 위한 대수적 틀을 제공합니다. 그러한 대상에 대한 연구는 때때로 초월 선형 대수(super linear algebra)라고 불립니다. 초월대수는 역시 등급화된 매니폴드(graded manifolds), 초월매니폴드(supermanifolds), 및 초월스킴(superschemes)의 정의에 들어가는 관련된 초월기하학(supergeometry) 분야에서 중요한 역할을 합니다.
Formal definition
K를 교환 링(commutative ring)이라고 놓습니다. 대부분의 응용에서, K는 R 또는 C와 같은 특성(characteristic) 0의 필드(field)입니다.
K에 걸쳐 초월-대수(superalgebra)는 직접 합(direct sum) 분해를 갖는 K-모듈(K-module) A입니다:
\(\quad A = A_0\oplus A_1\)
함께 다음임을 만족하는 쌍선형(bilinear) 곱셈 A × A → A를 가집니다:
\(\quad A_iA_j \sube A_{i+j}\)
여기서 아래첨자는 모듈로(modulo) 2라고 읽습니다, 즉, 그것들은 \(\mathbf{Z}_2\)의 원소로 생각될 수 있습니다.
초월링(superring), 또는 \(\mathbf{Z}_2\)-등급화된 링(graded ring)은 정수(integers) Z의 링에 걸쳐 초월대수입니다.
각 \(A_i\)의 원소는 동차(homogeneous)라고 말합니다. |x|에 의해 표시되는 동차 원소 x의 패리티(parity)는 \(A_0\)에 있느냐 \(A_1\)에 있느냐에 따라 0 또는 1입니다. 패리티 0의 원소는 짝수(even)라고 말하고 패리티 1의 원소는 홀수(odd)라고 말합니다. 만약 x와 y가 모두 동차이면 곱 xy와 \(|xy| = |x| + |y|\)도 마찬가지입니다.
결합 초월대수(associative superalgebra)는 곱셈이 결합적(associative)이고 단위 초월대수(unital superalgebra)는 곱셈 항등 원소(identity element)를 갖는 것입니다. 단위 초월대수에서 항등 원소는 반드시 짝수입니다. 달리 명시되지 않은 한, 이 기사에서 모든 초월대수는 결합적이고 단위적인 것으로 가정됩니다.
교환 초월대수(commutative superalgebra 또는 초월교환 대수)는 교환성(commutativity)의 등급화된 버전을 만족시키는 것입니다. 구체적으로, A는 만약 다음이면 A의 모든 동차 원소 x와 y에 대해 교환적입니다:
\(\quad yx = (-1)^{|x||y|}xy\,\)
보통의 의미에서 교환적이지만 초월대수 의미에서 그렇지 않은 초월대수가 있습니다. 이러한 이유로, 교환 초월대수는 혼동을 피하기 위해 종종 초월교환(supercommutative)이라고 불립니다.
Examples
- 교환 링 K에 걸쳐 임의의 대수는 K에 걸쳐; 즉, \(A_1\)을 자명한 것으로 취함으로써 순전히 짝수 초월대수로 여길 수 있습니다
- 임의의 Z- 또는 N-등급화된 대수(graded algebra)는 등급화 모듈로 2를 읽음으로써 초월대수로 여길 수 있습니다. 여기에는 텐서 대수(tensor algebras)와 K에 걸쳐 다항식 링(polynomial rings)과 같은 예제가 포함됩니다.
- 특히, K에 걸쳐 임의의 외부 대수(exterior algebra)는 초월대수입니다. 외부 대수는 초월교환 대수(supercommutative algebra)의 표준 예제입니다.
- 대칭 다항식(symmetric polynomials)과 교대 다항식(alternating polynomials)은 각각 짝수 부분과 홀수 부분으로 함께 초월대수를 형성합니다. 이것은 차수에 의한 등급화와는 다른 등급화임을 유의하십시오.
- 클리퍼드 대수(Clifford algebra)는 초월대수입니다. 그것들은 일반적으로 비교환적입니다.
- 초월 벡터 공간(super vector space)의 모든 자기-사상(endomorphism) (\(\mathbf{End} (V) \equiv \mathbf{Hom}(V,V)\)으로 표시되며, 여기서 굵은 글씨 \(\mathrm {Hom}\)은 모든 선형 맵으로 합성된 내부 \(\mathrm {Hom}\)으로 참조됨)의 집합은 합성 아래에서 초월대수를 형성합니다.
- K에서 엔트리를 갖는 모든 정사각 초월행렬(supermatrices)의 집합은 \(M_{p|q}(K)\)에 의해 표시되는 초월대수를 형성합니다. 이 대수는 랭크 p|q의 K에 걸쳐 자유 초월모듈의 자기사상의 대수로 식별될 수 있고 이 공간에 대한 위의 내부 Hom입니다.
- 리 초월대수(Lie superalgebras)는 리 대수(Lie algebras)의 등급화된 아날로그입니다. 리 초월대수는 비-단위(nonunital)이고 비결합적(nonassociative)입니다; 어쨌든, 단일하고 결합적 초월대수학인 리 초월대수의 보편적 포락 대수(universal enveloping algebra)의 아날로그를 구성할 수 있습니다.
Further definitions and constructions
Even subalgebra
A를 교환 링 K에 걸쳐 초월대수라고 놓습니다. 모든 짝수 원소로 구성된 부분모듈(submodule) \(A_0\)은 곱셈 아래에서 닫혀 있고 A의 항등원을 포함하고 따라서 자연스럽게 짝수 부분대수(even subalgebra)라고 불리는 A의 부분대수(subalgebra)를 형성합니다. 그것은 K에 걸쳐 보통의 대수(algebra)를 형성합니다.
모든 홀수 원소의 집합 \(A_1\)은 스칼라 곱셈이 단지 A에서 곱셈인 \(A_0\)-쌍모듀(bimodule)입니다. A에서 곱은 \(A_1\)에 다음 쌍선형 형식(bilinear form)을 갖춥니다:
\(\quad \mu:A_1\otimes_{A_0}A_1 \to A_0\)
이때 \(A_1\)에서 모든 x, y, 및 z에 대해 다음임을 만족합니다:
\(\quad \mu(x\otimes y)\cdot z = x\cdot\mu(y\otimes z)\)
이것은 A에서 곱의 결합성에서 따릅니다.
Grade involution
임의의 초월대수에서 등급 인볼루션(grade involution)라고 불리는 정식의 인볼루션적 자기동형(automorphism)이 있습니다. 그것은 다음에 의해 동차 원소에 주어집니다:
\(\quad \hat x = (-1)^{|x|}x\)
그리고 다음에 의해 임의적인 원소에 주어집니다:
\(\quad \hat x = x_0 - x_1\)
여기서 \(x_i\)는 x의 동차 부분입니다. 만약 A가 2-토션(2-torsion)을 가지지 않으면 (특히, 만약 2가 역가능이면), 등급 인볼루션은 A의 짝수 부분과 홀수 부분을 구별하기 위해 사용될 수 있습니다:
\(\quad A_i = \{x \in A : \hat x = (-1)^i x\}.\)
Supercommutativity
A 위에 초월교환자(supercommutator)는 선형성에 의해 모든 A로 확장된 동차 원소 위에 다음에 의해 제공된 이항 연산자입니다:
\(\quad [x,y] = xy - (-1)^{|x||y|}yx\)
A의 원소 x와 y는 [x, y] = 0이면 초월교환한다(supercommute)고 말합니다.
A의 초월중심(supercenter)은 A의 모든 원소와 초월교환하는 A의 모든 원소의 집합입니다:
\(\quad \mathrm{Z}(A) = \{a\in A : [a,x]=0 \text{ for all } x\in A\}.\)
A의 초월중심은 일반적으로 비-등급화된 대수로서 A의 중심(center)과 다릅니다. 교환적 초월대수는 그의 초월중심이 모두 A인 것입니다.
Super tensor product
두 초월수학 A와 B의 등급화된 텐서 곱(tensor product)은 다음에 의해 결정된 곱셈 규칙을 갖는 초월대수 A ⊗ B로 고려될 수 있습니다:
\(\quad (a_1\otimes b_1)(a_2\otimes b_2) = (-1)^{|b_1||a_2|}(a_1a_2\otimes b_1b_2).\)
만약 A 또는 B가 순전히 짝수이면, 이것은 보통의 비-등급화된 텐서 곱과 동등합니다 (결과가 등급화된 경우 제외). 어쨌든, 일반적으로, 초월 텐서 곱은 보통의 비-등급화된 대수로 고려되는 A와 B의 텐서 곱과 구별됩니다.
Generalizations and categorical definition
교환적 초월링에 걸쳐 초월대수를 포함하도록 초월대수의 정의를 쉽게 일반화할 수 있습니다. 위에 주어진 정의는 그런-다음 기본 링이 순전히 짝수인 경우로의 특수화입니다.
R을 교환 초월링이라고 놓습니다. R에 걸쳐 초월대수(superalgebra)는 등급화를 존중하는 R-쌍선형 곱셈 A × A → A을 갖는 R-초월모듈(R-supermodule) A입니다. 쌍선형성은 여기서 모든 동차 원소 r ∈ R 및 x, y ∈ A에 대해 다음임을 의미합니다:
\(\quad r\cdot(xy) = (r\cdot x)y = (-1)^{|r||x|}x(r\cdot y)\)
동등하게, 이미지가 A의 초월중심에 놓이는 초월링 준동형 R → A와 함께 초월링 A로 R에 걸쳐 초월대수를 정의할 수 있습니다.
초월대수를 카테고리적으로 정의할 수도 있습니다. 모든 R-초월모듈의 카테고리(category)는 R이 단위 대상으로 역할을 하는 초월 텐서 곱 아래에서 모노이드 카테고리(monoidal category)를 형성합니다. R에 걸쳐 결합, 단위 초월대수는 R-초월모듈의 카테고리에서 모노이드(monoid)로 정의될 수 있습니다. 즉, 초월대수는 2개의 (짝수) 사상을 갖는 R-초월모듈 A입니다.
\(\quad \begin{align}\mu &: A\otimes A \to A\\ \eta &: R\to A\end{align}\)
이에 대해 보통의 다이어그램은 교환합니다.
References
- Deligne, P.; Morgan, J. W. (1999). "Notes on Supersymmetry (following Joseph Bernstein)". Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematicians. Vol. 1. American Mathematical Society. pp. 41–97. ISBN 0-8218-2012-5.
- Kac, V. G.; Martinez, C.; Zelmanov, E. (2001). Graded simple Jordan superalgebras of growth one. Memoirs of the AMS Series. Vol. 711. AMS Bookstore. ISBN 978-0-8218-2645-4.
- Manin, Y. I. (1997). Gauge Field Theory and Complex Geometry ((2nd ed.) ed.). Berlin: Springer. ISBN 3-540-61378-1.
- Varadarajan, V. S. (2004). Supersymmetry for Mathematicians: An Introduction. Courant Lecture Notes in Mathematics. Vol. 11. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3574-6.