수학(mathematics)에서, 다음수 함수 또는 다음수 연산(successor function 또는 successor operation)은 자연수(natural number)를 다음 자연수로 보냅니다. 다음수 함수는 S에 의해 표시되므로, S(n) = n + 1입니다. 예를 들어, S(1) = 2이고 S(2) = 3입니다. 다음수 함수는 원시 재귀 함수(primitive recursive function)를 구축하기 위해 사용되는 기본 구성 요소 중 하나입니다.
다음수 연산은 영 번째 초연산(hyperoperation): H0(a, b) = 1 + b의 문맥에서 영화(zeration)로도 알려져 있습니다. 이러한 맥락에서, 영화의 확장은 덧셈(addition)이며, 이는 반복된 다음수로 정의됩니다.
Overview
다음수 함수는 자연수의 구조를 공식화하는 페아노 공리(Peano axioms)를 설명하기 위해 사용되는 형식 언어(formal language)의 일부입니다. 이 형식화에서, 다음수 함수는 표준 자연수와 덧셈이 정의되는 자연수의 관점에서 자연수의 원시 연산입니다. 예를 들어, 1은 S(0)으로 정의되고, 자연수에 대한 덧셈은 다음에 의해 재귀적으로 정의됩니다:
\(\quad\)\(\begin{align}
m+0& = m, \\
m+S(n)& = S(m+n)
\end{align}\)
이것은 임의의 두 자연수의 덧셈을 계산하기 위해 사용될 수 있습니다. 예를 들어, 5 + 2 = 5 + S(1) = S(5 + 1) = S(5 + S(0)) = S(S(5 + 0)) = S(S(5)) = S(6) = 7.
집합 이론 내에서 몇 가지 자연수의 구성이 제안되어 왔습니다. 예를 들어, 존 폰 노이만(John von Neumann)은 숫자 0을 빈 집합(empty set) {}으로 구성하고, n의 다음수, S(n)을 집합 n ∪ {n}으로 구성합니다. 무한대의 공리(axiom of infinity)는 그런-다음 0을 포함하고 S에 관해 닫혀 있는 집합의 존재를 보장합니다. 이러한 집합 중 가장 작은 집합은 N으로 표시되고, 그것의 구성원은 자연수라고 불립니다.
다음수 함수는 덧셈(addition), 곱셈(multiplication), 지수화(exponentiation), 테트레이션(tetration), 등을 만들기 위해 사용되는 초연산(hyperoperations)의 무한 그르체고르치크 계층 구조(Grzegorczyk hierarchy)의 수준-0 토대입니다. 그것은 1986년에 초연산에 대해 패턴의 일반화와 관련된 조사에서 연구되었습니다.
그것은 역시 재귀 함수(recursive functions)에 의해 계산-가능성(computability)의 특성화에 사용되는 원시 함수 중 하나입니다.