기하학(geometry)에서, 스튜어트의 정리(Stewart's theorem)는 삼각형에서 변의 길이와 체바선(cevian)의 길이 사이의 관계를 산출합니다. 그 이름은, 1746년에 정리를 출판한, 스코틀랜드의 수학자 매슈 스튜어트(Matthew Stewart)를 기리는 의미입니다.
Statement
\(a\), \(b\), 및 \(c\)를 삼각형의 변의 길이로 놓습니다. \(d\)를 길이 \(a\)의 변에 대한 체바선(cevian)의 길이로 놓습니다. 만약 체바선이 길이 \(a\)의 변을 길이 \(m\) 및 \(n\)으로 나누는데, 여기서 \(m\)은 \(c\)에서 가깝고 \(n\)은 \(b\)에 가까우면, 스튜어트의 정리는 다음을 말합니다:
\(\quad b^2m + c^2n = a(d^2 + mn).\)
정리는 선분의 부호화된 길이를 사용하여 보다 대칭적으로 쓸 수 있습니다. 즉, A가 직선의 어떤 고정된 방향에서 B의 왼쪽 또는 오른쪽에 있는지 여부에 따라 길이 AB를 양수 또는 음수로 취합니다. 이 공식에서, 정리는 만약 A, B, 및 C가 같은-직선 위의 점이고 P가 임의의 점이면, 다음임을 말합니다:
\(\quad PA^2\cdot BC+PB^2\cdot CA+PC^2\cdot AB + AB\cdot BC\cdot CA =0.\)
체바선이 중선(median)인 특별한 경우에서 (즉, 그것은 대변을 같은 길이의 선분으로 나눕니다), 결과는 아폴로니우스의 정리(Apollonius' theorem)로 알려져 있습니다.
공통적인 니마닉은 학생들에게 그 정리를 기억하기 좋도록 사용됩니다: 한 남자와 그의 아빠가 싱크대에 폭탄을 넣었습니다 (man+dad=bmb+cnc).
Proof
정리는 코사인 법칙(law of cosines)의 적용으로 입증될 수 있습니다.
θ를 m과 d 사이의 각도 및 θ′을 n과 d 사이의 각으로 놓습니다. 그런-다음 θ′는 θ의 보충-각(supplement)이고, 그래서 cos θ′ = −cos θ입니다. 각도 θ 및 θ′를 사용하여 두 작은 삼각형에서 코사인의 법칙을 적용하여 다음을 생성합니다:
\(\quad
\begin{align}
c^2 &= m^2 + d^2 - 2dm\cos\theta \\
b^2 &= n^2 + d^2 - 2dn\cos\theta' \\
&= n^2 + d^2 + 2dn\cos\theta.\, \end{align}
\)
첫 번째 방정식에 n을 곱하고 세 번째 방정식에 m을 곱하고 그들을 더하여 cos θ를 제거합니다. 우리는 다음을 얻습니다:
\(\quad
\begin{align}
&b^2m + c^2n \\
&= nm^2 + n^2m + (m+n)d^2 \\
&= (m+n)(mn + d^2) \\
&= a(mn + d^2), \\
\end{align}
\)
이것은 요구된 방정식입니다.
대안적으로, 정리는 삼각형의 꼭짓점으로부터 밑변으로 수선의 발을 그리고 고도의 관점에서 거리 b, c, 및 d를 적어서 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)를 사용함으로써 입증될 수 있습니다. 방정식의 왼쪽 및 오른쪽 변은 그런-다음 대수적으로 같은 표현으로 줄입니다.
History
Hutton & Gregory (1843, p. 220)에 따르면, 스튜어트는 1746년에 에딘버러 대학교에서 수학 교수로 콜린 매클로린(Colin Maclaurin)을 대신할 후보가 되었을 때 그 결과를 출판했습니다. Coxeter & Greitzer (1967, p. 6)는, 그 결과는 아마도 기원전 300년경에 아르키메데스(Archimedes)에게 알려졌을 것이라고 말합니다. 그들은, 최초의 알려진 증명이 1751년에 심슨(R. Simson)에 의해 제공되었다고 (실수로) 계속 말합니다. Hutton & Gregory (1843)는, 그 결과는 1748년에 심슨 및 1752년에 심프슨에 의해 사용되었고, 유럽에서 첫 번째 등장은 1803년에 라자르 카르노(Lazare Carnot)에 의해 제공되었다고 말합니다.
References
- Coxeter, H.S.M.; Greitzer, S.L. (1967), Geometry Revisited, New Mathematical Library #19, The Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-619-0
- Hutton, C.; Gregory, O. (1843), A Course of Mathematics, vol. II, Longman, Orme & Co.
- Russell, John Wellesley (1905), "Chapter 1 §3: Stewart's Theorem", Pure Geometry, Clarendon Press, OCLC 5259132
Further reading
- I.S Amarasinghe, Solutions to the Problem 43.3: Stewart's Theorem (A New Proof for the Stewart's Theorem using Ptolemy's Theorem), Mathematical Spectrum, Vol 43(03), pp. 138 – 139, 2011.
- Ostermann, Alexander; Wanner, Gerhard (2012), Geometry by Its History, Springer, p. 112, ISBN 978-3-642-29162-3
External links
