수학(mathematics)에서, 실수(real number)에 대한 함수(function)가, 만약 그것이 구간(interval)의 지시 함수(indicator function)의 유한(finite) 선형 조합(linear combination)으로 쓸 수 있으면, 계단 함수(step function, 또는 staircase function)라고 불립니다. 비공식적으로 말해서, 계단 함수는 단지 유한하게 많은 조각을 가지는 조각별(piecewise) 상수 함수(constant function)입니다.
Definition and first consequences
함수 \(f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)는 만약 그것이 다음으로 쓸 수 있으면, 계단 함수라고 불립니다:
\(\quad\displaystyle f(x) = \sum\limits_{i=0}^n \alpha_i \chi_{A_i}(x)\), for all real numbers \(x\)
여기서 \(n\ge 0\), \(\alpha_i\) are real numbers, \(A_i\)는 정수이고, \(\chi_A\)는 \(A\)의 지시 함수(indicator function)입니다:
\(\quad \chi_A(x) = \begin{cases}
1 & \text{if } x \in A \\
0 & \text{if } x \notin A \\
\end{cases}\)
이 정의에서, 구간 \(A_i\)는 다음 두 속성을 가지는 것으로 가정될 수 있습니다:
- 구간은 쌍별 서로소(pairwise disjoint)입니다: \(i \neq j\)에 대해 \(A_i \cap A_j = \emptyset\)
- 구간의 합집합(union)은 전체 실수 직선입니다: \(\bigcup_{i=0}^n A_i = \mathbb R.\)
사실, 만약 그것이 시작하는 경우가 아니면, 구간의 다른 집합이 이들 가정을 유지하는 것에 대해 선택될 수 있습니다. 예를 들어, 다음 계단 함수는
\(\quad f = 4 \chi_{[-5, 1)} + 3 \chi_{(0, 6)}\)
다음으로 쓸 수 있습니다:
\(\quad f = 0\chi_{(-\infty, -5)} +4 \chi_{[-5, 0]} +7 \chi_{(0, 1)} + 3 \chi_{[1, 6)}+0\chi_{[6, \infty)}.\)
Variations in the definition
때때로, 구간이 오른쪽-열린 것이 요구되거나 한원소인 것이 허용됩니다. 구간의 모음이 유한이어야 한다는 조건은 종종 버려지며, 특히 학교 수학에서, 비록 그것이 여전히 국부적으로 유한해야 할지라도, 조각마다 상수 함수의 정의를 초래합니다.
Examples
- 상수 함수(constant function)는 계단 함수의 자명한 예제입니다. 그런-다음 오직 하나의 구간, \(A_0=\mathbb R\)이 있습니다.
- 부호 함수(sign function) \(\text{sgn}(x)\), 이것은 음수에 대해 −1, 양수에 대해 +1이고 가장-간단한 비-상수 계단 함수입니다.
- 헤비사이드 함수(Heaviside function) H(x), 이것은 음수에 대해 0, 양수에 대해 1이고, 영역의 이동과 스케일까지, 부호 함수와 동등합니다 (\(H = (\text{sgn} + 1)/2\)). 동역학적 시스템(dynamical system)의 계단 응답(step response)을 결정하기 위해 사용되는 것과 같은, 일부 테스트 신호(signals) 뒤에 있는 수학적 개념입니다.
- 직사각형 함수(rectangular function), 정규화된 상자-차 함수(boxcar function)는 단위 펄스를 모델링하기 위해 사용됩니다.
Non-examples
- 정수 부분(integer part) 함수는 이 가사의 정의에 따른 계단 함수가 아닌데, 왜냐하면 그것은 무한 숫자의 구간을 갖기 때문입니다. 어쨌든, 일부 저자는 무한 숫자의 구간을 갖는 계단 함수를 역시 정의합니다.
Properties
- 두 계단 함수의 합과 곱은 다시 계산 함수입니다. 숫자와 함께 계단 함수의 곱은 역시 계단 함수입니다. 이를테면, 계단 함수는 실수에 걸쳐 대수(algebra)를 형성합니다.
- 계단 함수는 오직 유한 숫자의 값을 취합니다. 만약 단계 함수의 위의 정의에서 \(i=0, 1, \dots, n\)에 대해 구간 \(A_i\)가 서로소이고 그들의 합집합이 실수 직선이면, 모든 \(x\in A_i\)에 대해 \(f(x)=\alpha_i\)입니다.
- 계단 함수의 한정 적분(definite integral)은 조각별 선형 함수(piecewise linear function)입니다.
- 계단 함수 \(\textstyle f = \sum\limits_{i=0}^n \alpha_i \chi_{A_i}\)의 르베그 적분(Lebesgue integral)은 \(\textstyle \int f\,dx = \sum\limits_{i=0}^n \alpha_i \ell(A_i)\,\)이며, 여기서 \(\textstyle\ell(A)\)는 구간 \(A\)의 길이이고 모든 구간 \(A_i\)는 유한 길이를 가지는 것을 가정됩니다. 사실, (정의로써 보이는) 이 상등은 르베그 적분을 구성하는 것에서 첫 번째 단계일 수 있습니다.
- 이산 확률 변수(discrete random variable)는 때때로 그의 누적 분포 함수(cumulative distribution function)가 조각별 상수인 확률 변수(random variable)로 정의됩니다. 이 경우에서, 그것은 지역적으로 계단 함수입니다 (전역적으로, 그것은 무한 숫자의 계단을 가질 수 있습니다). 보통 어쨌든, 오직 셀-수-있게 많은 가능한 값을 갖는 임의의 확률 변수는 이산 확률 변수라고 불리며, 이 경우에서 그것의 누적 분포 함수는 반드시 지역적으로 계단 함수일 필요는 없는데, 왜냐하면 무한하게 많은 구간은 유한 영역에서 축적될 수 있기 때문입니다.
See also
