(번역) Square root

Original article: w:Square root

 

수학(mathematics)에서, 숫자 x의 제곱 근(square root)은 $y^2=x$를 만족하는 숫자 y입니다; 다시 말해서, 그의 제곱(square) (숫자와 그 자체 숫자를 곱한 결과, 또는 y⋅y)은 x인 숫자 y입니다. 예를 들어, 4와 −4는 16의 제곱 근인데, 왜냐하면 $4^2=(-4{)}^2=16$이기 때문입니다. 모든 각 비-음의(nonnegative) 실수(real number) x는 고유한 비-음의 제곱 근을 가지고, 주요 제곱근(principal square root)으로 불리고, $\sqrt{x}$로 표시되며, 여기서 기호 $\sqrt{{}^{}}$는 제곱근 기호(radical sign) 또는 제곱근(radix)으로 불립니다. 예를 들어, 9의 주요 제곱근은 3이며, 이것은 $\sqrt{9}=3$으로 표시되는데, 왜냐하면 $3^2=3\dot{3}=9$이고 3은 비-음수이기 때문입니다. 제곱근이 고려되어야 할 항 (또는 숫자)는 피제곱근(radicand)으로 알려져 있습니다. 피제곱근은 제곱근 기호 아래에 숫자 또는 표현이며, 이 경우에서 9입니다.

모든 각 양수(positive number) x는 두 제곱근을 가집니다: 양수인 $\sqrt{x}$와 음수인 $-\sqrt{x}$입니다. 함께, 이들 두 근은 $\pm \sqrt{x}$으로 표시됩니다 (± 약어를 참조하십시오). 비록 양수의 주요 제곱근은 그의 두 제곱근 중 오직 하나일지라도, 명칭 "그 제곱근"은 종종 주요 제곱근을 참조하기 위해 사용됩니다. 양수 x에 대해, 주요 제곱근은 역시 지수(exponent) 표기법, $x^{1/2}$으로 쓸 수 있습니다.

음수의 제곱근은 복소수(complex number)의 프레임워크 안에서 논의될 수 있습니다. 보다 일반적으로, 제곱근은 수학적 대상의 "제곱(square)"의 개념이 정의되는 임의의 문맥에서 고려될 수 있습니다. 이것들은 다른 수학적 구조(mathematical structure) 사이에서 함수 공간(function space)과 정사각 행렬(square matrices)을 포함합니다.

History

Yale Babylonian Collection YBC 7289 점토 태블릿은 기원전 1800년에서 기원전 1600년 사이에 만들어졌으며, $\sqrt{2}$와 $\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$를 각각 두 대각선에 의해 교차된 정사각형 위에 1;24,51,10 and 0;42,25,35 밑수 60(base 60) 숫자로 보여줍니다. (1;24,51,10) 밑수 60은 1.41421296에 해당하며, 이것은 5 십진 점 (1.41421356...)까지 정확한 값입니다.

린드 수학적 파피루스(Rhind Mathematical Papyrus)는 기원전 1650년 이전의 베를린 파피루스(Berlin Papyrus)와 다른 문서–아마도 카훈 파피루스(Kahun Papyrus)–의 사본으로, 이집트인이 역 비례법으로 제곱근을 추출한 방법을 보여줍니다.

고대 인도(Ancient India)에서, 제곱과 제곱근의 이론적이고 적용된 관점의 지식은 적어도 기원전 800–500년경 (아마도 훨씬 더 일찍) 날짜가 적힌 술바 수트라스(Sulba Sutras)만큼 오래되었습니다. 2와 3의 제곱근에 대한 매우 좋은 근삿값을 찾는 방법은 부타야나 술바 수트라스(Baudhayana Sulba Sutra)에 나와 있습니다. 아리아바티아(Aryabhatiya) (섹션 2.4)에서 아리아바타(Aryabhata)는 많은 자릿수를 가지는 숫자의 제곱근을 찾는 방법을 제공했습니다.

고대 그리스인들에게 완전 제곱(perfect square)이 아닌 양의 정수(positive integers)의 제곱근은 항상 무리수(irrational number): 두 정수의 비율(ratio)로 표현할 수 없는 숫자로 알려져 있었습니다 (즉, 무리수는 m과 n이 정수일 때 정확하게 m/n으로 쓸 수 없습니다). 이것은 유클리드 X, 9의 정리로, 기원전 약 380년으로 거슬러 올라가는 테아이테토스(Theaetetus)에 기인한 것이 거의 확실합니다. 2의 제곱근(square root of 2)의 특별한 경우는 피타고라스 학파(Pythagoreans)까지 거슬러 올라가는 것으로 가정되고, 전통적으로 히파주스(Hippasus)에 기인합니다. 그것은 정확하게 변 길이 1을 갖는 정사각형의 대각선(diagonal)의 길이입니다.

기원전 202년과 기원전 186년 사이에 초기 한나라 동안 쓰인 중국의 수학 저작 Writings on Reckoning에서, 제곱근은 "과잉과 부족" 방법을 사용함으로써 근사화되었으며, 이것은 "...과잉과 부족을 제수로 결합니다; (취하십시오) 부족 분자에 초과 분모를 곱하고 초과 분자에 부족 분모를 곱하여, 그것들을 피제수로 결합합니다"로 말합니다.

정교한 R로 쓰인 제곱근에 대해 기호는 레기오몬타누스(Regiomontanus) (1436–1476)에 의해 발명되었습니다. R은 역시 제롤라모 카르다노(Gerolamo Cardano)의 Ars Magna에서 제곱근을 나타내는 기수에 사용되었습니다.

수학의 역사가 데이비드 유진 스미스 (D.E. Smith)에 따르면, 아리아바타(Aryabhata)의 제곱근을 구하는 방법은 1546년 카타네오(Cataneo)에 의해 유럽에서 처음 소개되었습니다.

Jeffrey A. Oaks에 따르면, 아랍인들은 제곱근을 나타내기 위해 숫자 위에 초기 형식 (ﺟ)에 정착했던 단어 "جذر" (jaḏr, jiḏr, ǧaḏr 또는 ǧiḏr, "root"로 다양하게 음역됨)의 첫 글자, 문자 jīm/ĝīm (ج)를 사용했습니다. 문자 jīm은 현재의 제곱근 모양과 닮았습니다. 그 사용법은 모로코 수학자 Ibn al-Yasamin의 연구에서 12세기 말까지 거슬러 올라갑니다.

제곱근에 대한 기호 "$\sqrt{{}^{}}$"는 1525년 크리스토프 후돌프(Christoph Rudolff)의 Coss에서 인쇄물에 처음 사용되었습니다.

Properties and uses

주요 제곱근 함수 $f(x)=\sqrt{x}$ (보통 바로 "제곱근 함수"로 참조됨)는 비-음의 실수의 집합(set)을 자체 위로 매핑하는 함수(function)입니다. 기하학적(geometrical) 용어에서, 제곱근 함수는 정사각형의 넓이(area)를 그것의 변의 길이로 매핑합니다.

x의 제곱근이 유리수인 것과 x가 둘의 완전 제곱의 비율로 표현될 수 있는 유리수(rational number)인 것은 필요충분 조건입니다. (이것이 무리수라는 증명에 대해 2의 제곱근(square root of 2)을 참조하고, 모든 비-제곱 자연수에 대한 증명에 대해 이차 무리수(quadratic irrational)를 참조하십시오.) 제곱근 함수는 유리수를 대수적 숫자(algebraic number)로 매핑하며, 후자는 유리수의 초월집합(superset)입니다. ).

모든 실수 x에 대해,

$\sqrt{x^2}=\left|x\right|=\{\begin{array}{ll}x,& \text{if }x\ge 0\\ -x,& \text{if }x<0.\end{array}$ (절댓값을 참조하십시오)

모든 비-음의 실수 x와 y에 대해,

$\sqrt{xy}=\sqrt{x}\sqrt{y}$

및

$\sqrt{x}=x^{1/2}.$

제곱근 함수는 모든 비-음의 x에 대해 연속(continuous)이고, 모든 양의 x에 대해 미분-가능(differentiable)입니다. 만약 f가 제곱근 함수를 나타내면, 그것의 도함수는 다음에 의해 제공됩니다:

${\displaystyle f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.}$

$\sqrt{1+x}$의 x = 0에 대한 테일러 급수(Taylor series)는 |x| ≤ 1에 대해 수렴하고, 다음에 의해 제공됩니다:

${\displaystyle \sqrt{1+x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(2n)!}{(1-2n)(n!{)}^2(4^n)}{x}^n=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}{x}^2+\frac{1}{16}{x}^3-\frac{5}{128}{x}^4+\cdots ,}$

비-음의 숫자의 제곱근은 유클리드 노름(Euclidean norm) (및 거리(distance))의 정의와 마찬가지로 힐베르트 공간(Hilbert space)과 같은 일반화에 사용됩니다. 그것은 확률 이론(probability theory)과 통계(statistics)에서 사용되는 표준 편차(standard deviation)의 중요한 개념을 정의합니다. 그것은 이차 방정식(quadratic equation)의 근에 대한 공식에 주요한 사용을 가집니다; 제곱근을 기반으로 하는 이차 필드(quadratic field)와 이차 정수(quadratic integer)의 링은 대수학에서 중요하고 기하학에서 사용을 가집니다. 제곱근은 다른 곳의 수학 공식과 마찬가지로 많은 물리(physical) 법칙에 자주 나타납니다.

Square roots of positive integers

양수는 서로 반대(opposite)인 둘의 제곱근, 하나는 양수이고 하나는 음수를 가집니다. 양의 정수의 그 제곱근을 말할 때, 그것이 의미하는 것은 보통 양의 제곱근입니다.

정수의 제곱근은 대수적 정수(algebraic integer)–보다 구체적으로 이차 정수(quadratic integer)입니다.

양의 정수의 제곱근은 그것의 소수(prime) 인수의 근의 곱인데, 왜냐하면 곱의 제곱근은 인수의 제곱근의 곱이기 때문입니다. $\sqrt{p^{2k}}=p^k$이므로, 오직 인수분해(factorization)에서 홀수 거듭제곱을 가지는 그것들의 소수의 근이 필요합니다. 보다 정확하게, 소수 인수분해의 제곱근은 다음입니다:

$\sqrt{p_1^{2e_1+1}\cdots p_k^{2e_k+1}{p}_{k+1}^{2e_{k+1}}\dots p_n^{2e_n}}=p_1^{e_1}\dots p_n^{e_n}\sqrt{p_1\dots p_k}.$ 

As decimal expansions

완전 제곱(perfect square) (예를 들어, 0, 1, 4, 9, 16)의 제곱근은 정수(integers)입니다. 모든 다른 경우에서, 양의 정수의 제곱근은 무리수(irrational number)이고, 따라서 그것들의 십진 표현(decimal representation)에 비-반복하는 십진수(repeating decimal)를 가집니다. 처음 몇 개의 자연수의 제곱근의 십진 근삿값은 다음 테이블에 나와 있습니다.

As expansions in other numeral systems

이전과 마찬가지로, 완전 제곱(perfect square) (예를 들어, 0, 1, 4, 9, 16)의 제곱근은 정수입니다. 모든 다른 경우에서, 양의 정수의 제곱근은 무리수(irrational number)이고, 따라서 임의의 표준 위치 표기법(positional notation) 시스템에서 비-반복하는 자릿수를 가집니다.

작은 정수의 제곱근은 nothing up my sleeve number를 제공하기 위해 SHA-1와 SHA-2 해시 함수 설계에서 모두 사용됩니다.

As periodic continued fractions

연속된 분수(continued fraction)로서의 무리수(irrational number) 연구에서 가장 흥미로운 결과 중 하나는 조제프-루이 라그랑주(Joseph-Louis Lagrange) (약 1780년)에 의해 얻습니다. 라그랑주는 비-제곱 양의 정수의 제곱근을 연속된 분수로 표현하는 것이 주기적(periodic)이라는 것을 발견했습니다. 즉, 부분 분모의 특정 패턴이 연속 분수에서 무한하게 반복합니다. 어떤 의미에서, 이들 제곱근은 매우 가장 단순한 무리수인데, 왜냐하면 그것들은 단순한 반복 패턴의 정수로 나타낼 수 있기 때문입니다.

위에 사용된 대괄호(square bracket) 표기법은 연속된 분수에 대해 짧은 형식입니다. 보다 암시적인 대수적 형식으로 작성된, 11의 제곱근에 대해 단순 연속된 분수, [3; 3, 6, 3, 6, ...]는 다음과 같이 보입니다:

${\displaystyle \sqrt{11}=3+\frac{1}{3+\frac{1}{6+\frac{1}{3+\frac{1}{6+\frac{1}{3+\ddots }}}}}}$

여기서 두-자릿수 패턴 {3, 6}은 부분 분모에서 계속해서 다시 반복합니다. $11=3^2+2$이므로, 위의 것은 역시 다음 일반화된 연속된 분수(generalized continued fractions)와 동일합니다:

${\displaystyle \sqrt{11}=3+\frac{2}{6+\frac{2}{6+\frac{2}{6+\frac{2}{6+\frac{2}{6+\ddots }}}}}=3+\frac{6}{20-1-\frac{1}{20-\frac{1}{20-\frac{1}{20-\frac{1}{20-\ddots }}}}}.}$

Computation

양수의 제곱근은 일반적인 유리수(rational number)가 아니고, 따라서 종료 또는 반복 십진 표현으로 쓸 수 없습니다. 그러므로 일반적으로 십진법으로 표현된 제곱근을 계산하려는 임의의 시도는 오직 근사치를 산출할 수 있지만, 증가하는 정확한 근사치의 수열이 얻어질 수 있습니다.

대부분의 주머니 계산기(pocket calculator)는 제곱근 키를 가집니다. 컴퓨터 스프레드시트와 다른 소프트웨어는 역시 제곱근을 계산하기 위해 자주 사용됩니다. 주머니 계산기는 전형적으로 양의 실수의 제곱근을 계산하기 위해 뉴턴의 방법(Newton's method) (자주 1의 초기 추측값을 가짐)과 같은 효율적인 루틴을 구현합니다. 로그 테이블(logarithm table) 또는 미끄럼 자(slide rule)와 함께 제곱근을 계산할 때, 우리는 다음 항등식을 이용할 수 있습니다:

$\sqrt{a}=e^{(\ln a)/2}={10}^{({\log }_{10}a)/2},$

여기서 ln과 ${\log }_{10}$은 각각 자연(natural)과 밑수-10 로그입니다.

시행-과-오류에 의해, 우리는 $\sqrt{a}$에 대해 추정값을 제곱하고 충분한 정확도에 동의할 때까지 추정값을 높이거나 낮출 수 있습니다. 이 기법에 대해, 다음 항등식을 사용하는 것이 현명합니다:

$(x+c{)}^2=x^2+2xc+c^2,$

왜냐하면 그것은 추정값 x를 약간의 c만큼 조정하고 원래 추정값과 그것의 제곱의 관점에서 조정의 제곱을 측정하는 것을 허용하기 때문입니다. 게다가, c가 0에 근접할 때 $(x+c{)}^2\approx x^2+2xc$인데, 왜냐하면 c = 0에서 $x^2+2xc+c^2$의 그래프에 대한 접선(tangent line)은, c 단독의 함수로, $y=2xc+x^2$이기 때문입니다. 따라서, x에 대한 작은 조정이 2xc를 a, 또는 c = a/(2x)로 설정함으로써 계획될 수 있습니다.

손으로 제곱근 계산의 가장 공통적인 반복 방법(iterative method)은 그것을 처음으로 설명했던 일-세기 그리스 철학자 알렉산드리아의 헤론(Heron of Alexandria)을 이름을 따서 지은 "바빌로니아 방법(Babylonian method)" 또는 "헤론의 방법"으로 알려져 있습니다. 그 방법은 함수 $y=f(x)=x^2-a$에 적용될 때, 임의의 점에서 그것의 기울기가 dy/dx = f′(x) = 2x라는 사실을 사용하는 뉴턴-랍선법(Newton-Raphson method)이 산출하는 같은 반복 체계를 사용하지만, 수세기 이전에 선행되었습니다. 그 알고리듬은 결과가 새 입력으로 반복될 때마다 실제 제곱근에 더 가까운 숫자를 초래하는 간단한 계산을 반복하는 것입니다. 그 동기는 x가 비-음의 실수 a의 제곱근에 대해 과대평가되면 a/x는 과소평가될 것이고 따라서 이들 두 숫자의 평균이 둘 중 하나보다 더 나은 근삿값이 되는 것입니다. 어쨌든, 산술과 기하 평균의 부등식(inequality of arithmetic and geometric means)은 이 평균이 항상 제곱근의 과대평가이고 (아래에 설명됨), 따라서 그것은 각 반복 후에 서로 더 가까워지게 되는 연속적인 과대평가와 과소평가의 결과로 수렴(converges)하는 과정을 반복하기 위한 새로운 과대평가의 역할을 할 수 있습니다. x를 찾기 위해:

1. 임의의 양수 시작 값 x로 시작합니다. a의 제곱근에 가까울수록, 원하는 정밀도를 달성하기 위해 필요한 반복 횟수가 더 줄어듭니다.
2. x를 x와 a/x 사이의 평균 (x + a/x) / 2로 바꿉니다.
3. 이 평균을 x의 새로운 값으로 사용하여 단계 2를 반복합니다.

즉, 만약 $\sqrt{a}$에 대해 임의적인 추측이 $x_0$이고, $x_{n+1}=(x_n+a/x_n)/2$이면, 각 $x_n$은 작은 n에 대한 것보다 큰 n에 대해 더 좋은 $\sqrt{a}$의 근삿값입니다. 만약 a가 양수이면, 수렴은 이차(quadratic)이며, 이것은 극한에 접근할 때, 다음 반복에서 올바른 자릿수의 숫자가 대략 두 배임을 의미합니다. 만약 a = 0이면, 수렴은 오직 선형입니다.

다음 항등식을 사용하여

$\sqrt{a}=2^{-n}\sqrt{4^{n}a},$

양수의 제곱근 계산은 [1,4) 범위에서 숫자의 제곱근으로 줄어들 수 있습니다. 이것은 다항식(polynomial) 또는 조각별-선형(piecewise-linear) 근사(approximation)가 사용될 수 있는 제곱근에 가까운 반복 방법의 시작 값을 찾는 것을 단순화합니다.

n 자릿수의 정밀도를 갖는 제곱근을 계산하기 위한 시간 복잡도(time complexity)는 둘의 n-자릿수 숫자를 곱하는 것과 동등합니다.

제곱근을 계산하는 또 다른 유용한 방법은 n = 2에 적용되는 이동하는 n번째 근 알고리듬(shifting nth root algorithm)입니다.

제곱근 함수(function)의 이름은 프로그래밍 언어마다 다르고, sqrt (종종 "squirt"로 발음됨)가 공통적이고, C, C++, 및 JavaScript, PHP, 및 Python과 같은 파생 언어에서 사용됩니다.

Square roots of negative and complex numbers

임의의 양수 또는 음수의 제곱은 양수이고, 0의 제곱은 0입니다. 그러므로, 음수는 실수(real) 제곱근을 가질 수 없습니다. 어쨌든, 음수의 제곱근에 대한 해를 포함하는 복소수(complex number)라고 불리는 보다 포괄적인 숫자의 집합으로 작업하는 것이 가능합니다. 이것은 i (때로는 j, 특히 "i"가 전통적으로 전류를 나타내는 전기(electricity)의 맥락에서)로 표시되고 $i^2=-1$을 만족함으로 정의되는 허수 단위(imaginary unit)라고 하는 새로운 숫자를 도입함으로써 수행됩니다. 이 표기법을 사용하여, 우리는 i를 −1의 제곱근으로 생각할 수 있지만, 우리는 역시 $(-i{)}^2=i^2=-1$를 가지고 따라서 −i는 역시 −1의 제곱근입니다. 관례에 의해, −1의 주요 제곱근은 i이거나, 더 일반적으로 만약 x가 비-음의 숫자이면, −x의 주요 제곱근은 다음과 같습니다:

$\sqrt{-x}=i\sqrt{x}.$

오른쪽 변 (마찬가지로 그것의 부정)은 사실 −x의 제곱근인데, 왜냐하면

$(i\sqrt{x}{)}^2=i^2(\sqrt{x}{)}^2=(-1)x=-x.$

모든 각 비-영 복소수 x에 대해, $w^2=z$를 만족하는 정확하게 두 숫자: (아래에 정의된) z의 주요 제곱근과 그것의 부정 w가 존재합니다

Principal square root of a complex number

주요 값(principal value)이라고 하는 단일 값을 일관되게 선택하는 것을 허용하는 제곱근에 대한 정의를 찾기 위해, 우리는 먼저 임의의 복소수 $x+iy$가 데카르트 좌표(Cartesian coordinates)를 사용하여 표현된 평면에서 점 $(x,y)$로 보일 수 있음을 관찰합니다. 같은 점은 극 좌표(polar coordinates)를 사용하여 $(r,\phi )$ 쌍으로 재해석될 수 있으며, 여기서 $r\ge 0$은 원점에서 그 점까지의 거리이고 $\phi$는 원점에서 그 점까지의 직선이 양의 실수 ($x$) 축과 만드는 각도입니다. 복소 해석학에서, 이 점의 위치는 전통적으로 $r{e}^{i\phi }$로 쓰입니다. 만약 다음이면
$z=r{e}^{i\phi }\text{ with }-\pi <\phi \le \pi ,$

$z$의 주요 제곱근은 다음인 것으로 정의됩니다:

$\sqrt{z}=\sqrt{r}{e}^{i\phi /2}.$ 

주요 제곱근 함수는 따라서 비-양의 실수 축을 가지 자름(branch cut)으로 사용하여 정의됩니다. 만약 $z$가 비-음의 실수이면 (이것이 발생하는 것과 $\phi =0$인 것은 필요충분 조건), $z$의 주요 제곱근은 $\sqrt{r}{e}^{i(0)/2}=\sqrt{r}$입니다; 다른 말로, 비-음의 실수의 주요 제곱근은 바로 보통의 비-음의 제곱근입니다. $-\pi <\phi \le \pi$인 것이 중요한데, 왜냐하면 만약, 예를 들어, $z=-2i$이면 (따라서 $\phi =-\pi /2$이면), 주요 제곱근은 다음입니다:

$\sqrt{-2i}=\sqrt{2e^{i\phi }}=\sqrt{2}{e}^{i\phi /2}=\sqrt{2}{e}^{i(-\pi /4)}=1-i$.

그러나 $\tilde{\phi }:=\phi +2\pi =3\pi /2$를 사용하여 대신 다음의 나머지 다른 제곱근을 생성합니다:

$\sqrt{2}{e}^{i\tilde{\phi }/2}=\sqrt{2}{e}^{i(3\pi /4)}=-1+i=-\sqrt{-2i}$.

주요 제곱근 함수는 비-양의 실수의 집합을 제외하고 모든 곳에서 정칙(holomorphic)입니다 (엄격한 음의 실수에서 그것은 심지어 연속(continuous)적이지 않습니다.) $\sqrt{1+x}$에 대해 위의 테일러 급수는 $|x|<1$를 갖는 복소수 $x$에 대해 유효하게 남습니다.

위의 것은 역시 삼각 함수(trigonometric function)의 관점에서 표현될 수 있습니다:

${\displaystyle \sqrt{r(\cos \phi +i\sin \phi )}=\sqrt{r}(\cos \frac{\phi }{2}+i\sin \frac{\phi }{2}).}$

Algebraic formula

숫자가 실수 부분과 허수 부분을 사용하여 표현될 때, 다음 공식이 주요 제곱근에 대해 사용될 수 있습니다:

${\displaystyle \sqrt{x+iy}=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}}+i\text{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}},}$

여기서 sgn(y)는 y의 부호(sign)입니다 (여기서, sgn(0) = 1임을 제외합니다). 특히, 원래 숫자의 허수 부분과 그것의 제곱근의 주요 값은 같은 부호를 가집니다. 제곱근의 주요 값의 실수 부분은 항상 비-음수입니다.

예를 들어, ±i의 주요 제곱근은 다음에 의해 제공됩니다:

$\begin{array}{rl}\sqrt{i}& =\frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i),\\ \sqrt{-i}& =\frac{1}{\sqrt{2}}-i\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}(1-i).\end{array}$

Notes

아래에서, 복소수 z와 w는 다음처럼 표현될 수 있습니다:

• $z=|z|e^{i{\theta }_z}$
• $w=|w|e^{i{\theta }_w}$

여기서 $-\pi <{\theta }_z\le \pi$와 $-\pi <{\theta }_w\le \pi$입니다.

복소 평면에서 제곱근 함수의 불연속 본성때문에, 다음 법칙은 일반적으로 참이 아닙니다.

• $\sqrt{zw}=\sqrt{z}\sqrt{w}$ 반대예제: z = −1와 w = −1) 이 상등은 오직 $-\pi <{\theta }_z+{\theta }_w\le \pi$일 때 유효합니다
• $\frac{\sqrt{w}}{\sqrt{z}}=\sqrt{\frac{w}{z}}$ (주요 제곱근에 대해 반대예제: w = 1와 z = −1) 이 상등은 오직 $-\pi <{\theta }_w-{\theta }_z\le \pi$일 때 유효합니다
• $\sqrt{z^{\ast }}={\left(\sqrt{z}\right)}^{\ast }$ (주요 제곱근에 대해 반대예제: z = −1) 이 상등은 오직 ${\theta }_z\ne \pi$일 때 유효합니다

유사한 문제는 가지 자름을 갖는 다른 복소 함수, 예를 들어, 복소 로그(complex logarithm)와 일반적은 참이 아닌 관계 logz + logw = log(zw) 또는 $\log (z^{\ast })=\log (z{)}^{\ast }$에서 나타납니다.

이들 법칙 중 하나를 잘못 가정하는 것은 몇 가지 잘못된 "증명"의 기초가 됩니다. 예를 들어, 다음 것은 −1 = 1임을 보여줍니다:

$\begin{array}{rl}-1& =i\cdot i\\ & =\sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1}\\ & =\sqrt{(-1)\cdot (-1)}\\ & =\sqrt{1}\\ & =1\end{array}$

세 번째 상등은 정당화될 수 없습니다 (무효한 증명(invalid proof)을 참조하십시오). 그것은 이것이 더 이상 주요 제곱근을 나타내지 않지만 (위를 참조) $\sqrt{1}\cdot \sqrt{-1}$를 포함하는 제곱근에 대해 가지를 선택하도록 $\sqrt{}$의 의미를 변경함으로서 유지되도록 만들어질 수 있습니다. 왼쪽 변은 어느 하나: 만약 가지 자름 +i이면 다음이거나

$\sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1}=i\cdot i=-1$

만약 가지 자름 −i이면 다음이고

$\sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1}=(-i)\cdot (-i)=-1$

반면에 오른쪽 변은 다음이 됩니다:

$\sqrt{(-1)\cdot (-1)}=\sqrt{1}=-1,$

여기서 마지막 상등, $\sqrt{1}=-1$은 $\sqrt{}$의 재정의에서 가지의 선택의 결과입니다.

Nth roots and polynomial roots

$x$의 제곱근을 $y^2=x$를 만족하는 숫자 $y$로의 정의는 다음 방법에서 일반화되어 왔습니다.

$x$의 세제곱근은 $y^3=x$을 만족하는 숫자 $y$입니다; 그것은 $\sqrt[3]{x}$으로 표시됩니다.

만약 {{mvar|n}}이 2보다 큰 정수이면, $x$의 n번째 근은 $y^n=x$를 만족하는 숫자 $y$입니다; 그것은 $\sqrt[n]{x}$으로 표시됩니다.

주어진 다항식(polynomial) p에 대해, p의 근(root)은 p(y) = 0를 만족하는 숫자 y입니다. 예를 들어, x의 n번째 근은 (y에서) 다항식 $y^n-x$의 근입니다.

아벨–루피니 정리(Abel–Ruffini theorem)는, 일반적으로, 오차 이상의 다항식의 근이 n번째 근의 관점에서 표현될 수 없다고 말합니다.

Square roots of matrices and operators

만약 A가 양수-한정 행렬(positive-definite matrix) 또는 연산자이면, $B^2=A$를 갖는 정확히 하나의 양수 한정 행렬 또는 연산자가 존재합니다; 우리는 그런-다음 $A^{1/2}=B$를 정의합니다. 일반적으로, 행렬은 여러 개의 제곱근 또는 그것들의 무한대를 가질 수 있습니다. 예를 들어, 2 × 2 항등 행렬(identity matrix)은 무한대의 제곱근을 가지지만, 그 중 오직 하나가 양의 한정입니다.

In integral domains, including fields

정수 도메인(integral domain)의 각 원소는 2보다 많은 제곱근을 갖지 않습니다. 두 제곱의 차이(difference of two squares) 항등식 $u^2-v^2=(u-v)(u+v)$은 곱셈의 교환성(commutativity of multiplication)을 사용하여 입증됩니다. 만약 u와 v가 같은 원소의 제곱근이면, $u^2-v^2=0$입니다. 영 제수(zero divisors)가 없기 때문에, 이것은 u = v 또는 u + v = 0을 의미하며, 여기서 후자는 두 근이 서로의 덧셈의 역(additive inverse)임을 의미합니다. 다시 말해서, 만약 원소 a의 제곱근 u가 존재하면, a의 유일한 제곱근은 u와 −u입니다. 정수 도메인에서 0의 유일한 제곱근은 0 자체입니다.

특성(characteristic) 2의 필드에서, 원소는 하나의 제곱근을 가지거나 전혀 갖지 않는데, 왜냐하면 각 원소는 −u = u이 되도록 고유한 덧셈의 역을 가집니다. 만약 필드가 특성 2의 유한(finite)이면, 모든 각 원소는 고유한 제곱근을 가집니다. 임의의 다른 특성의 필드(field)에서, 임의의 비-영 원소는 위에서 설명한 것처럼 둘의 제곱근을 갖거나, 임의의 것을 갖지 않습니다.

홀수 소수(prime number) p가 주어지면, 어떤 양의 정수 e에 대해 $q=p^e$라고 놓습니다. q 원소를 갖는 필드 ${\mathbf{F}}_q$의 비-영 원소는 ${\mathbf{F}}_q$에서 제곱근을 가지면 이차 잔여(quadratic residue)입니다. 그렇지 않으면, 그것은 이차 무-잔여입니다. (q − 1)/2 이차 잔여와 (q − 1)/2 이차 무-잔여가 있습니다; 영은 어느 클래스에서도 세어지지 않습니다. 이차 잔여는 곱셈 아래에서 그룹(group)을 형성합니다. 이차 잔여의 속성은 숫자 이론(number theory)에서 널리 사용됩니다.

In rings in general

정수 도메인에서와 달리, 임의적인 (단위) 링에서 제곱근은 부호까지 고유할 필요가 없습니다. 예를 들어, 정수 모듈로 8(modulo 8)의 링 $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$에서 (이것은 교환적이지만, 영 제수를 가집니다), 원소 1은 넷의 구별되는 제곱근: ±1 및 ±3을 가집니다.

또 다른 예제는 영의 제수를 가지지 않지만, 교환적이 아닌 쿼터니언(quaternion) $\mathbb{H}$의 링에 의해 제공됩니다. 여기서, 원소 −1은 ±i, ±j, 및 ±k를 포함하여 무한하게 많은 제곱근을 가집니다. 사실, −1의 제곱근의 집합은 정확하게 다음입니다:

$\{ai+bj+ck\mid a^2+b^2+c^2=1\}.$

0의 제곱근은 0 또는 영 제수입니다. 따라서 영 제수가 존재하지 않는 링에서, 그것은 고유하게 0입니다. 어쨌든, 영 제수를 갖는 링은 0의 여러 제곱근을 가질 수 있습니다. 예를 들어, $\mathbb{Z}/n^2\mathbb{Z}$에서, {{mvar|n}}의 임의의 배수는 0의 제곱근입니다.

Geometric construction of the square root

양수의 제곱근은 보통 주어진 숫자와 같은 넓이(area)를 갖는 정사각형(square)의 한 변의 길이로 정의됩니다. 그러나 정사각형 모양이 그것에 대해 반드시 필요한 것은 아닙니다: 만약 둘의 닮은(similar) 평면 유클리드(planar Euclidean) 대상 중 하나가 또 다른 것보다 a배 더 큰 넓이를 가지면, 그것들의 선형 크기의 비율은 $\sqrt{a}$입니다.

제곱근은 컴퍼스와 직선자로 구성될 수 있습니다. 유클리드 (fl. 300 BC)의 원론(Elements)에서, 그는 제안 II.14와 제안 VI.13의 서로 다른 두 위치에서 두 양의 기하 평균의 구성을 제공했습니다. a와 b의 기하 평균은 $\sqrt{ab}$이므로, 우리는 b = 1을 취함으로써 간단히 $\sqrt{a}$를 구성할 수 있습니다.

그 구성은 역시 데카르트(Descartes)에 의해 그의 La Géométrie에서 제공되었으며, 페이지 2의 그림 2를 참조하십시오). 어쨌든, 데카르트는 독창성을 주장하지 않았고 그의 청중은 유클리드에 대해 매우 친숙했을 것입니다.

제 6권에서 유클리드의 두 번째 증명은 닮은 삼각형(similar triangles)의 이론에 의존합니다. AHB를 AH = a와 HB = b를 갖는 길이 a + b의 선분이라고 놓습니다. AB를 지름으로 갖는 원을 구성하고 C를 H에서 원과 수직 현의 두 교차점 중 하나라고 하고 길이 CH를 h로 표시합니다. 그런-다음, 탈레스의 정리(Thales' theorem)를 사용하고, 닮은 삼각형에 의한 피타고라스의 정리의 증명에서와 같이, 삼각형 AHC는 삼각형 CHB와 닮았는데 (비록 우리가 그것을 필요로 하지는 않지만, 실제로 둘 다는 삼각형 ACB에 대한 것이지만, 그것은 피타고라스 정리의 증명의 본질입니다), AH:CH가 HC:HB, 즉 a/h = h/b이므로, 우리는 교차 곱셈에 의해 $h^2=ab$이고, 마침내 $h=\sqrt{ab}$라고 결론내립니다. 선분 AB의 중점 O를 표시하고 길이 (a + b)/2의 반지름 OC를 그릴 때, 분명히 OC > CH, 즉 $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$이며 (서로 같은 것과 a = b인 것은 필요충분 조건), 이것은 두 변수에 대한 산술-기하 평균 부등식이고, 위에서 언급한 바와 같이, "헤론의 방법"에 대한 고대 그리스 이해의 기초입니다.

기하적 구성의 또 다른 방법은 직각 삼각형(right triangle)과 귀납법(induction)을 사용합니다: $\sqrt{1}$은 구성될 수 있고, 한번 $\sqrt{x}$가 구성되면, 길이 1을 갖는 직각 삼각형과 $\sqrt{x}$은 $\sqrt{x+1}$의 빗변(hypotenuse)을 가집니다. 이 방법으로 연속적인 제곱근을 구성하는 것은 위에 묘사된 테오도로스의 와선(Spiral of theodorus)을 산출합니다.

See also

 

• Cube root
• Nested radical
• Nth root
• Root of unity

 

References

• Dauben, Joseph W. (2007). "Chinese Mathematics I". In Katz, Victor J. (ed.). The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam. Princeton: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11485-9.
• Gel'fand, Izrael M.; Shen, Alexander (1993). Algebra (3rd ed.). Birkhäuser. p. 120. ISBN 0-8176-3677-3.
• Joseph, George (2000). The Crest of the Peacock. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-00659-8.
• Smith, David (1958). History of Mathematics. Vol. 2. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-20430-7.
• Selin, Helaine (2008), Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures, Springer, Bibcode:2008ehst.book.....S, ISBN 978-1-4020-4559-2.

External links

• Algorithms, implementations, and more – Paul Hsieh's square roots webpage
• How to manually find a square root
• AMS Featured Column, Galileo's Arithmetic by Tony Philips – includes a section on how Galileo found square roots