기하학(geometry)에서, 정사각 각기둥(square pyramid)은 정사각형(square) 밑면을 가지는 각기둥(pyramid)입니다. 만약 꼭대기(apex)가 정사각형의 중심에 수직적으로 위에 있으면, 그것은 직각 정사각 각기둥(right square pyramid)이고, \(C_{\text{4v}}\) 대칭을 가집니다. 만약 모든 가장자리 길이가 같으면, 그것은 등변 정사각 각기둥(equilateral square pyramid), 존슨 고체(Johnson solid) \(J_1\)입니다.
General square pyramid
밑변 길이 l이고 수직 높이 h를 갖는 아마도 비스듬한 정사각 각기둥은 다음 부피를 가집니다:
\(\quad\displaystyle V=\frac{1}{3} l^2 h\).
Right square pyramid
직각 정사각 각기둥에서, 모든 옆쪽 가장자리는 같은 길이를 가지고, 밑변을 제외한 변은 합동 이등변 삼각형(isosceles triangles)입니다.
밑면 길이 l이고 높이 h를 갖는 직각 정사각 각기둥은 다음과 같은 표면 넓이와 부피를 가집니다:
\(\quad A=l^2+l\sqrt{l^2+4h^2}\),
\(\quad\displaystyle V=\frac{1}{3} l^2 h\).
옆쪽 가장자리 길이는 다음과 같습니다:
\(\quad\displaystyle \sqrt{h^2+{{l^2}\over{2}}}\);
경사 높이(slant height)는 다음과 같습니다:
\(\quad\displaystyle \sqrt{h^2+{{l^2}\over{4}}}\).
이면 각도(dihedral angles)는 다음과 같습니다:
- 밑변과 변 사이:
- \(\arctan \left({{2\,h}\over{l}}\right)\);
- 두 변 사이:
- \(\arccos \left({{-l^2}\over{l^2+4\,h^2}}\right)\).
Equilateral square pyramid, Johnson solid J1
만약 모든 가장자리가 같은 길이를 가지면, 변은 등변 삼각형(equilateral triangles)이고, 각기둥은 등변 정사각 각기둥, 존슨 고체(Johnson solid) J1입니다.
존슨 정사각 각기둥은 단일 가장자리 길이 매개변수 l에 의해 특징지을 수 있습니다.
등변 정사각 각기둥의 정사각형의 중간점에서 꼭대기까지 높이 h, 모든 다섯 개의 면을 포함하는 표면 넓이 A, 및 부피 V는 다음과 같습니다:
\(h=\frac{1}{\sqrt{2}} l\) ,
\(A=\left(1+\sqrt{3}\right)l^2\),
\(V=\frac{\sqrt{2}}{6} l^3\).
등변 정사각 각기둥의 이면 각도는 다음과 같습니다:
- 밑변과 변 사이:
- \(\arctan{\big(\sqrt{2}\big)}\approx54.73561^\circ\).
- 두 개의 (인접) 변 사이:
- \(\arccos\left({-\frac13}\right)\approx109.47122^\circ\).
Graph
정사각 각기둥은 바퀴 그래프(wheel graph) \(W_5\)에 의해 나타낼 수 있습니다.
Related polyhedra and honeycombs
정사각 각기둥(Square pyramids)은 사면체(tetrahedra), 잘린 정육면체(truncated cubes), 또는 육팔면체(cuboctahedra)로 공간을 채웁니다.
Dual polyhedron
정사각 각기둥은 토폴로지적으로 자기-이중 다면체(self-dual polyhedron)입니다. 이중의 가장자리 길이는 극 역화(polar reciprocation)로 인해 다릅니다.
External links
- Eric W. Weisstein, Square pyramid (Johnson solid) at MathWorld.
- Weisstein, Eric W. "Wheel graph". MathWorld.
- Square Pyramid -- Interactive Polyhedron Model
- Virtual Reality Polyhedra georgehart.com: The Encyclopedia of Polyhedra (VRML model)
