제곱–세제곱 법칙(square–cube law, 또는 세제곱–제곱 법칙(cube–square law))은 다양한 과학 분야에 적용되는 수학적 원리로, 모양의 크기가 증가하거나 감소함에 따라 부피와 표면 넓이 사이의 관계를 설명합니다. 그것은 1638년 갈릴레오 갈릴레이(Galileo Galilei)에 의해 그의 Two New Sciences에서 "...두 부피의 비율은 그것들의 표면의 비율보다 큽니다"로 처음 설명되었습니다.
이 원리는 모양이 크기에서 커질수록 그것의 부피가 표면 넓이보다 빠르게 성장한다고 말합니다. 실제 세계에 적용될 때, 이 원리는 기계 공학(mechanical engineering)에서 생체역학(biomechanics)에 이르는 분야에서 중요한 많은 의미를 가집니다. 그것은 코끼리(elephants)와 같은 큰 포유동물이 쥐와 같은 작은 포유동물보다 몸을 식히는 데 더 힘든 시간을 보내는 이유와 초고층 빌딩(skyscrapers)을 점점 더 높게 짓는 것이 점점 더 어려워지는 이유를 포함한 현상을 설명하는 데 도움이 됩니다.
Description
제곱-세제곱 법칙은 다음과 같이 설명될 수 있습니다:
물체가 크기에서 비례적 증가을 받으면, 그것의 새로운 표면 넓이는 승수의 제곱에 비례적이고 그것의 새로운 부피는 승수의 세제곱에 비례적입니다.
수학적으로 표현하면:
\(\quad\displaystyle A_2=A_1\left(\frac{\ell_2}{\ell_1}\right)^2\)
여기서 \(A_1\)는 원래 표면 넓이이고 \(A_2\)는 새로운 표면 넓이입니다.
\(\quad\displaystyle V_2=V_1\left(\frac{\ell_2}{\ell_1}\right)^3\)
여기서 \(V_1\)은 원래 부피, \(V_2\)는 새로운 부피, \(\ell_1\)는 원래 길이이고, \(\ell_2\)는 새로운 길이입니다.
예를 들어, 변 길이 1 미터를 갖는 정육면체는 \(6 m^2\)의 표면 넓이를 가지고 \(1 m^3\)의 부피를 가집니다. 만약 정육면체의 치수가 2에 곱해지면, 그것의 표면 넓이는 2의 제곱에 곱할 것이고 \(24 m^2\)이 됩니다. 그것의 부피는 2의 세제곱에 곱할 것이고 \(8 m^3\)이 됩니다.
원래 정육면체 (1m 변)는 6:1의 표면 넓이 대 부피 비율을 가집니다. 더 큰 (2m 변) 정육면체는 (24:8) 3:1의 표면 넓이 대 부피 비율을 가집니다. 치수가 증가함에 따라, 부피는 계속해서 표면 넓이보다 빠르게 증가할 것입니다. 따라서 제곱–세제곱 법칙. 이 원칙은 모든 고체에 적용됩니다.
Applications
Engineering
물리적 물체가 같은 밀도를 유지하고 확대될 때, 그것의 부피와 질량은 승수의 세제곱만큼 증가하지만 표면 넓이는 오직 같은 승수의 제곱만큼 증가합니다. 이것은 물체의 더 큰 버전이 원래와 같은 율로 가속될 때, 더 큰 물체의 표면에 더 많은 압력이 가해질 것임을 의미합니다.
가속하는 힘이 작용하는 표면의 가속도 a와 표면 넓이 A를 가지는 질량 M의 몸체의 간단한 예를 생각해 보십시오. 가속으로 인한 힘, \(F= M a\)이고 추력 압력, \(T = \frac{F}{A} = M\frac{a}{A}\)입니다.
이제, 물체가 새로운 질량, \(M' = x^3 M\)과 힘이 작용하는 표면은 새로운 표면 넓이 \(A' = x^2 A\)를 가지도록 승수 인수 = x로 과장되었다고 생각해 보십시오.
가속으로 인한 새로운 힘 \(F' = x^3 Ma\)과 결과 추진 압력, 다음입니다:
\(\quad \begin{align}
T' &= \frac{F'}{A'}\\
&= \frac{x^3}{x^2} \times M\frac{a}{A}\\
&= x \times M \frac{a}{A}\\
&= x \times T\\
\end{align}\)
따라서, 같은 구성 재료 (밀도)와 같은 가속도를 유지하면서, 단지 물체의 크기를 늘리는 것은 같은 배율 인수만큼 추력이 증가할 것입니다. 이것은 물체가 응력에 저항하기 위하는 더 적은 능력을 가지고 가속하는 동안 붕괴되기 더 쉽다는 것을 나타냅니다.
이것이 대형 차량이 충돌 테스트에서 제대로 수행되지 않는 이유와 높은 건물을 지을 수 있는 방법에 대한 이론화된 제한이 있는 이유입니다. 마찬가지로, 물체가 클수록, 다른 물체가 그것의 운동에 저항하지 않아 감속이 발생할 것입니다.
Engineering examples
- 증기 기관(Steam engine): 글래스고 대학교(University of Glasgow)에서, 기계 제작자로 일하고 있는 제임스 와트(James Watt)는 작동할 수 있도록 축소 모형 뉴코멘 증기 기관(Newcomen steam engine)을 받았습니다. 와트는 모델 실린더의 표면 대 부피 비율이 훨씬 더 큰 상용 엔진의 비율보다 커서 과도한 열 손실을 초래한다는 점에서 문제가 제곱–세젭곱 법칙과 관련된 것으로 인식했습니다. 이 모델을 갖는 실험은 와트의 유명한 증기 기관 개선으로 이어졌습니다.
- Airbus A380: 항공기의 동체에 비해 리프트와 제어 표면 (날개, 방향타, 및 엘리베이터)이 상대적으로 큽니다. 예를 들어, 보잉 737을 타고 A380 크기로 크기만 확대하면 제곱–세제곱 법칙 때문에 날개가 항공기 무게에 비해 너무 작아지게 됩니다.
- 익스팬더 사이클 로켓 엔진은 제곱–세제곱 법칙에 시달립니다. 그것들의 크기와 따라서 추력은 노즐을 통해 흐르는 연료의 부피보다 느리게 증가하는 노즐의 표면 넓이 때문에 열 전달 효율에 의해 제한됩니다.
- 클리퍼는 같은 속력에 도달하기 위해 슬루프보다 상대적으로 더 많은 돛 표면이 필요하며, 중량-대-중량 비율이 있는 것보다 이들 선박 사이에 더 높은 돛-표면-대-돛-표면 비율이 있음을 의미합니다.
- 에어로스테트는 일반적으로 제곱–세제곱 법칙의 이점을 얻습니다. 풍선의 반지름 \((r)\)이 증가할수록, 표면 넓이의 비용은 이차적 \((r^2)\)으로 증가하지만, 부피에서 발생하는 리프트는 삼차적 \((r^3)\)으로 증가합니다.
- 구조 공학(Structural Engineering): 작은 스케일에서 작동하는 재료는 큰 스케일에서 작동하지 않을 수 있습니다. 예를 들어, 작은 독립 기둥 바닥에서 압축 응력은 기둥 크기와 동일한 율로 스케일됩니다. 그러므로, 기둥이 자체로 붕괴되는 주어진 재료와 밀도에 대해 크기가 존재합니다.
Biomechanics
만약 동물이 등거리적으로 상당한 양만큼 확대되면, 그것의 근육의 단면은 스케일링 인수의 제곱만큼 증가하고 반면에 그것의 질량은 스케일링 인수의 세제곱만큼 증가하기 때문에 그것의 상대적인 근력은 심각하게 감소될 것입니다. 이것의 결과로, 심혈관과 호흡기 기능은 심각하게 부담될 것입니다.
나는 동물의 경우에서, 날개 하중이 만약 그것들이 등거리적으로 확대되면 증가될 것이고, 그것들은 따라서 같은 양력(lift)의 총양을 얻기 위해 더 빨리 날아야 합니다. 단위 질량당 공기 저항은 역시 작은 동물에 대해 더 높으며 (종단 속도를 감소함), 개미와 같은 작은 동물은 높은 곳에서 떨어진 후 땅에 부딪혀 심각한 부상을 입지 않는 이유입니다.
존 버든 샌더슨 홀데인(J. B. S. Haldane)에 의해 언급된 바와 같이, 큰 동물은 작은 동물처럼 보이지 않습니다: 코끼리는 크기가 확대된 쥐로 오인될 수 없습니다. 이것은 상대성장 스케일링(allometric scaling)에 기인합니다: 코끼리의 뼈는 반드시 비례적으로 쥐의 뼈보다 훨씬 더 커야 하는데, 왜냐하면 그것들은 비례적으로 더 높은 무게를 운반해야 하기 때문입니다. 홀데인은 우화적 거인을 참조하면서 1928년 자신의 중요한 에세이 On Being the Right Size에서 이것을 설명합니다: ...키가 60피트인 사람을 생각해 보십시오...묘사된 Pilgrim's Progress에서 거인 교황과 거인 이교도: ...이들 괴물들은...[보통의 인간]보다 1000배만큼 무겁습니다. 거인의 모든 각 제곱 인치는 인간 뼈의 제곱 인치보다 10배 체중을 지탱해야 했습니다. 평균적인 인간의 허벅지 뼈가 인간 체중의 약 10배 미만에서 부러지기 때문에, 포프와 페이건은 한 발짝 내디딜 때마다 허벅지가 부러졌을 것입니다." 결과적으로, 대부분의 동물은 종 사이와 종 내의 둘 다에서, 증가된 크리와 함께 상대성장 스케일링을 보입니다. 괴물 영화에서 볼 수 있는 거대한 생물 (예를 들어, Godzilla, King Kong, 및 Them!)은 역시 그들의 순전한 크기가 그들을 서 있지 못하게 할 것이라는 점에서 비현실적입니다.
어쨌든, 물의 부력은 중력의 영향을 어느 정도 무효화합니다. 그러므로, 바다 생물은 비슷한 크기의 육지 생물에 필요한 것과 같은 근골격 구조 없이도 매우 큰 크기로 자랄 수 있고, 지구상에 존재하는 가장 큰 동물이 수생 동물인 것은 우연이 아닙니다.
동물의 신진대사율은 생태학의 신진대사 이론(metabolic theory of ecology)에 따라 사분의-일-거듭제곱 스케일일(quarter-power scaling)이라는 수학적 원리에 따라 조정됩니다.
Mass and heat transfer
살아있는 세포와 같은 작은 물체로의 확산과 같은 물질 전달은 전체 동물과 같은 더 큰 물체로의 확산보다 빠릅니다. 따라서, 벌크에서가 아닌 표면에서 일어나는 화학 공정에서, 더-세분화된 물질이 더 활성화됩니다. 예를 들어, 불균일 촉매의 활성은 더 미세한 입자로 나뉠 때 더 높습니다. 그러한 촉매는 전형적으로 더 따뜻한 조건에서 발생합니다.
화학 공정에서 발생하는 열은 용기의 선형 치수 (높이, 너비)의 세제곱으로 확장되지만, 용기 표면 넓이는 선형 치수의 제곱만으로 확장됩니다. 결과적으로, 더 큰 용기는 냉각하기가 훨씬 더 어렵습니다. 역시, 뜨거운 유체를 전달하기 위한 대규모 배관은 작은 배관에서 더 빨리 열이 전달되기 때문에 소규모로 시뮬레이션하기 어렵습니다. 공정 설계에서 이를 고려하지 않으면 치명적인 열 폭주가 발생할 수 있습니다.
References
- David H. Allen (24 September 2013). How Mechanics Shaped the Modern World. ISBN 9783319017013. {{cite book}}: |work= ignored (help)
- "World Builders: The Sizes of Living Things". world-builders.org. Archived from the original on 2016-10-23. Retrieved 2012-04-21.
- Michael C. LaBarbera. "The Biology of B-Movie Monsters".
- Rosen, William (2012). The Most Powerful Idea in the World: A Story of Steam, Industry and Invention. University of Chicago Press. p. 98. ISBN 978-0226726342.
- Haldane, J. B. S. "On Being the Right Size". Internet Research Lab. UCLA. Archived from the original on 22 August 2011. Retrieved 1 April 2017.
- George Johnson (January 12, 1999). "Of Mice and Elephants: A Matter of Scale". The New York Times. Retrieved 2015-06-11.
