수학(mathematics)에서, 주어진 집합(set)의 부분집합(subset) 위에 정의된 함수(function) (종종 측정(measure))의 덧셈성 (특히 유한 덧셈성)과 시그마 덧셈성 (역시 셀-수-있는 덧셈성이라고 불림)은 여러 대상을 고려할 때 집합 크기 (길이(length), 넓이(area), 부피(volume))의 직관적인 속성을 합하는 방법의 추상화입니다. 덧셈성은 σ-덧셈성보다 약한 조건입니다; 즉, σ-덧셈성은 덧셈성을 의미합니다.
Additive (or finitely additive) set functions
\(\displaystyle \mu\)를 [−∞, +∞]에서 값을 갖는 집합의 대수(algebra of sets) \(\displaystyle \scriptstyle\mathcal{A}\) 위에 정의된 것으로 놓습니다 (확장된 실수 직선(extended real number line)을 참조하십시오). 함수 \(\displaystyle \mu\)는 만약, A와 B가 \(\displaystyle \scriptstyle\mathcal{A}\)에서 서로소 집합(disjoint set)일 때마다, 우리가 다음을 가지면 덧셈적, 또는 유한하게 덧셈적입니다:
\(\quad\displaystyle \mu(A \cup B) = \mu(A) + \mu(B). \, \)
(이것의 결론은 덧셈의 함수가 −∞ 및 +∞ 둘 다를 값으로 취할 수 없다는 것입니다; 표현에 대해 ∞ − ∞는 정의되지 않습니다.)°
우리는 덧셈의 함수가 \(\displaystyle \scriptstyle\mathcal{A}\)에서 임의의 \(\displaystyle A_1,A_2,\dots,A_N\) 서로소 집합에 대해 다음을 만족시킨다는 것을 수학적 귀납법(mathematical induction)에 의해 입증될 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle \mu\left(\bigcup_{n=1}^N A_n\right)=\sum_{n=1}^N \mu(A_n)\).
σ-additive set functions
\(\displaystyle \scriptstyle\mathcal{A}\)가 σ-대수(σ-algebra)라고 가정합니다. 만약 \(\displaystyle \scriptstyle\mathcal{A}\)에서 쌍별 서로소 집합의 임의의 수열(sequence) \(\displaystyle A_1,A_2,\dots,A_n,\dots \)에 대해, 우리는 다음을 가집니다:
\(\quad\displaystyle \mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right) = \sum_{n=1}^\infty \mu(A_n)\){{math|,}}
우리는 μ가 셀-수-있게 덧셈적 또는 σ-덧셈적이라고 말합니다.
임의의 σ-덧셈적 함수는 덧셈적이지만 아래에 보인 것처럼 반대는 그렇지 않습니다.
τ-additive set functions
시그마 대수 \(\displaystyle \scriptstyle\mathcal{A}\) 이외에, 우리는 토폴로지(topology) τ를 가진다고 가정합니다. 만약 측정-가능 열린 집합(open set) \(\displaystyle \scriptstyle\mathcal{G}\) ⊆ \(\displaystyle \scriptstyle\mathcal{A}\) ∩ τ의 임의의 방향화된(directed) 가족에 대해 다음이면,
\(\quad\displaystyle \mu\left(\bigcup \mathcal{G} \right) = \sup_{G\in\mathcal{G}} \mu(G)\){{math|,}}
우리는 μ가 τ-덧셈적이라고 말합니다. 특히, 만약 μ가 (컴택트 집합에 관한) 안의 정규(inner regular)이면, 그것은 τ-덧셈적입니다.
Properties
Basic properties
덧셈의 함수 μ의 유용한 속성은 다음을 포함합니다:
- μ(∅) = 0, 또는 μ가 ∞를 그것의 도메인에서 모든 집합으로 할당, 또는 μ가 −∞를 그것의 도메인에서 모든 집합으로 할당합니다.
- 만약 μ가 비-음수이고 A ⊆ B이면, μ(A) ≤ μ(B)입니다.
- 만약 A ⊆ B 및 μ(B) − μ(A)가 정의되면, μ(B \ A) = μ(B) − μ(A)입니다.
- A와 B가 주어지면, μ(A ∪ B) + μ(A ∩ B) = μ(A) + μ(B)입니다.
Examples
σ-덧셈의 함수의 예제는 다음을 만족하는 실수(real number)의 거듭제곱 집합(power set)에 걸쳐 정의된 함수 μ입니다:
\(\quad\displaystyle \mu (A)= \begin{cases} 1 & \mbox{ if } 0 \in A \\
0 & \mbox{ if } 0 \notin A.
\end{cases}\)
만약 \(\displaystyle A_1,A_2,\dots,A_n,\dots\)가 실수의 서로소 집합의 수열이면, 집합의 어떤 것도 0을 포함하지 않거나, 그것들 중 정확하게 하나가 0을 포함합니다. 두 경우에서, 다음 상등이 유지됩니다:
\(\quad\displaystyle \mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right) = \sum_{n=1}^\infty \mu(A_n)\).
σ-덧셈의 함수의 더 많은 예제에 대해 측정(measure)과 부호화된 측정(signed measure)을 참조하십시오.
An additive function which is not σ-additive
σ-덧셈적이 아닌 덧셈의 함수의 예제는 다음 공식에 의해 실수(real number)의 르베그 집합에 걸쳐 정의된 μ를 고려함으로써 얻습니다:
\(\quad\displaystyle \mu(A)=\lim_{k\to\infty} \frac{1}{k} \cdot \lambda\left(A \cap \left(0,k\right)\right),\)
여기서 λ는 르베그 측정(Lebesgue measure)을 나타내고 lim은 바나흐 극한(Banach limit)입니다.
우리는 이 함수가 극한의 선형성을 사용함으로써 덧셈적이라고 확인할 수 있습니다. 이 함수가 σ-덧셈적이 아니라는 것은 n=0, 1, 2, ...에 대해 다음 서로소 집합의 수열을 고려함으로써 따릅니다:
\(\quad\displaystyle A_n=\left[n,n+1\right)\)
이들 집합의 합집합은 양의 실수(positive reals)이고, 그 합집합에 적용된 μ는 그런-다음 일이지만, 개별적인 집합의 임의의 것에 적용된 μ는 영이므로, \(\mu(A_n)\)의 합은 역시 영이며, 이것은 반대-예제로 입증됩니다.
Generalizations
우리는 덧셈의 모노이드(monoid) (예를 들어, 임의의 그룹(group) 또는 보다 공통적으로 벡터 공간(vector space))에서 값을 갖는 덧셈의 함수를 정의할 수 있습니다. 시그마-덧셈성에 대해, 우리는 게다가 수열의 극한(limit of a sequence)의 개념이 해당 집합 위에 정의되어야 할 필요가 있습니다. 예를 들어, 스펙트럼 측정(spectral measure)은 바나흐 대수(Banach algebra)에서 값을 갖는 시그마-덧셈의 함수입니다. 또 다른 예제는, 역시 양자 역학으로부터, 양의 연산자-값 측정(positive operator-valued measure)입니다.
See also
