쉘 적분(Shell integration, 적분 미적분학(integral calculus)에서 쉘 방법(shell method))은 회전의 축에 수직인 축을 따라 적분할 때 회전 고체(solid of revolution)의 부피(volume)를 계산하는 것에 대해 방법입니다. 이것은 회전축에 평행한 축을 따라 적분하는 디스크 적분화(disc integration)와 대조적입니다.
Definition
쉘 방법은 다음으로 갑니다: xy-평면에서 단면을 y-축 주위로 회전시킴으로써 얻어진 삼차원에서 부피를 생각해 보십시오. 단면은 구간 [a, b] 위에 양의 함수 f(x)의 그래프에 의해 정의되었다고 가정합니다. 그런-다음 부피에 대해 그 공식은 다음일 것입니다:
\(\quad\displaystyle 2 \pi \int_a^b x f(x)\, dx\)
만약 함수는 y 좌표이고 회전의 축이 x-축이면 그 공식은 다음이 됩니다:
\(\quad\displaystyle 2 \pi \int_a^b y f(y)\, dy\)
만약 함수가 직선 x = h 또는 y = k을 중심으로 회전하면, 그 공식은 다음이 됩니다:
\(\quad\displaystyle \begin{cases}
\displaystyle 2 \pi \int_a^b (x-h) f(x)\,dx, & \text{if}\ h \le a < b\\
\displaystyle 2 \pi \int_a^b (h-x) f(x)\,dx, & \text{if}\ a < b \le h
\end{cases}\)
및
\(\quad\displaystyle \begin{cases}
\displaystyle 2 \pi \int_a^b (y-k) f(y)\,dy, & \text{if}\ k \le a < b\\
\displaystyle 2 \pi \int_a^b (k-y) f(y)\,dy, & \text{if}\ a < b \le k
\end{cases}\)
그 공식은 극 좌표(polar coordinates)에서 이중 적분(double integral)을 계산함으로써 도출됩니다.
Example
아래 그림에서, 구격 [1, 2] 위의 그의 단면이 다음에 의해 정의된 부피를 생각해 보십시오:
\(\quad\displaystyle y = (x-1)^2(x-2)^2\)
디스크 적분화의 경우에서, 우리는 주어진 y를 x에 대해 푸는 것이 필요할 것입니다. 부피가 중간에 구멍이 있기 때문에, 우리는 두 함수, 내부 고체를 정의하는 하나와 외부 고체를 정의하는 하나를 찾을 것입니다. 디스크 방법을 갖는 이들 두 함수를 적분한 후에, 우리는 원했던 부피를 산출하기 위해 그들을 뺍니다.
쉘 방법과 함께 우리가 필요한 모두는 다음 공식입니다:
\(\quad\displaystyle 2 \pi \int_1^2 x ((x-1)^2(x-2)^2) \,dx \)
다항식을 전개함으로써 그 적분이 매우 간단해집니다. 마지막에서 우리는 부피가 \(\tfrac{\pi}{10}\) 입방체 단위라는 것을 알았습니다.
See also
References
- Heckman, Dave (2014). "Volume – Shell Method" (PDF). Retrieved 2016-09-28.
- Weisstein, Eric W. "Method of Shells". MathWorld.
- Frank Ayres, Elliott Mendelson. Schaum's Outlines: Calculus. McGraw-Hill Professional 2008, ISBN 978-0-07-150861-2. pp. 244–248 (online copy, p. 244, at Google Books)
