본문 바로가기
영문 위키피디아 번역

(번역) Set (mathematics)

by 다움위키 2024. 4. 1.
Original article: w:Set (mathematics)

 

수학에서, 집합은 그 자체의 권리에서 대상(object)으로 여겨지는, 구별(distinct)되는 대상의 모음입니다. 집합에서 대상의 배열은 중요하지 않습니다. 예를 들어, 숫자 2, 4, 및 6은 개별적으로 고려될 때 구별되는 대상이지만, 그들은 집합적으로 고려될 때 {2, 4, 6}으로 쓰이는 크기 3의 단일 집합을 형성하며, 이것은 역시 {2, 6, 4}으로 쓸 수 있습니다.

집합의 개념은 수학에서 가장 근본적인 것 중 하나입니다. 19세기 말에 개발된, 집합 이론(set theory)은 이제 수학의 편재된 부분이고, 거의 모든 수학은 도출될 수 있는 기초로 사용될 수 있습니다.

Etymology

독일어 단어 Menge는, 영어로 "set"으로 표현되며, 그의 연구 무한의 역설(Paradoxes of the Infinite)에서 버나드 볼차노(Bernard Bolzano)에 의해 만들어졌습니다.

Definition

집합은 구별되는 대상의 잘-정의된 모음입니다. 집합을 구성하는 (집합의 원소(elements) 또는 구성원(members)으로 역시 알려진) 대상은 어떤 것: 숫자, 사람, 알파벳 문자, 다른 집합 등이 될 수 있습니다. 집합 이론의 창시자 중 한 사람, 게오르크 칸토어(Georg Cantor)는 그의 Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre의 시작 부분에서 집합의 다음과 같은 정의를 제공했습니다:[11]

집합은 우리의 지각[독일어:Anschauung] 또는 우리의 생각의 명확하고 구별되는 대상—집합의 원소라고 불리는—을 함께 모아둔 것입니다.

집합은 전통적으로 대문자(capital letters)로 표시됩니다. 집합 A와 B가 서로 같은 것은 그들이 정확하게 같은 원소를 가진 것은 필요충분(iff) 조건입니다.

기술적인 이유에 대해, 칸토어의 정의가 부적절한 것으로 나타났습니다: 오늘날, 더 엄격함이 요구되는 문맥에서, 우리는 공리적 집합 이론(axiomatic set theory)을 사용할 수 있으며, 이것에서 "집합"의 개념은 원시 개념(primitive notion)으로 취급되고 집합의 속성은 공리(axiom)의 모음에 의해 정의됩니다. 가장 기본적인 속성은 집합은 원소를 가질 수 있다는 것이고, 두 집합이 서로 같은 것과 각 집합의 모든 각 원소가 다른 집합의 원소인 것은 필요충분 조건이라는 것입니다; 이 속성은 집합의 확장성(extensionality of sets)이라고 불립니다.

Set notation

집합을 설명하는 것, 또는 구성원을 지정하는 것의 공통적인 두 방법: 목록 표기법과 집합 구성 표기법(set builder notation)이 있습니다. 이들은 각각 집합의 외부적 및 내부적 정의(extensional and intensional definitions)의 예제입니다.

Roster notation

집합을 정의하는 것의 목록 표기법(Roster notation) (또는 열거 표기법(enumeration notation)) 방법은 집합의 각 구성원을 목록화하는 것으로 구성됩니다. 보다 구체적으로, 목록 표기법 (외부적 정의(extensional definition)의 예제)에서, 집합은 중괄호(curly bracket)에 구성원의 목록을 감쌈으로써 표시됩니다.

  • A = {4, 2, 1, 3}
  • B = {blue, white, red}.

많은 원소를 갖는 집합에 대해, 구성원의 열거는 축약될 수 있습니다. 예를 들어, 처음 천 개 양의 정수의 집합은 목록 표기법에서 다음으로 지정될 수 있습니다:

  • {1, 2, 3, ..., 1000},

여기서 the 생략부호(ellipsis) ("...")는 시연된 패턴에 따라 목록이 계속됨을 나타냅니다.

목록 표기법에서, 반복적으로 구성원을 목록화하는 것은 집합을 바꾸지 않습니다. 예를 들어, 집합 {11, 6, 6}은 집합 {11, 6}과 동일합니다. 게다가, 집합의 원소가 목록화된 것에서 순서는 관련이 없으므로 (수열(sequence) 또는 튜플(tuple)과 달리), {6, 11}는 여전히 다시 같은 집합입니다.

Set-builder notation

집합-구성 표기법(set-builder notation)에서, 집합은 더 큰 집합의 부분-집합으로 지정되며, 여기서 부분-집합은 원소를 포함하는 명제 또는 조건에 의해 결정됩니다. 예를 들어, 집합 F는 다음처럼 지정될 수 있습니다:

\(\quad\displaystyle F = \{n \mid n \text{ is an integer, and } 0 \leq n \leq 19\}.\)

이 표기법에서, 수직 막대(vertical bar) ("|")는 "만족하는(such that)"을 의미하고, 서술적 묘사는 "F는, n이 0부터 19까지 영역에서 포함한 정수를 만족하는, 모든 숫자 n의 집합입니다"로 해석될 수 있습니다. 때때로 콜론(colon) (":")이 수직 막대 대신에 사용됩니다.

집합-구성 표기법은 내부적 정의(intensional definition)의 예제입니다.

Other ways of defining sets

또 다른 방법은 규칙 또는 의미론적 설명을 사용하는 것입니다::

이것은 내부적 정의(intensional definition)의 또 다른 예제입니다.

Membership

만약 B가 집합이고 x가 B의 대상 중 하나이며, 이것은 x ∈ B로 표시되고, "x는 B의 원소", "x는 B에 속함", 또는 "x는 B 안에 있음"으로 읽습니다. 만약 y가 B의 구성원이 아니면, 이것은 y ∉ B로 쓰이고, "y는 B의 원소가 아님", 또는 "y는 B 안에 없음"으로 읽습니다.

예를 들어, A = {1, 2, 3, 4}, B = {blue, white, red}, 및 F = {n | n is an integer, and 0 ≤ n ≤ 19}에 관한,

  • 4 ∈ A 및 12 ∈ F; 그리고
  • 20 ∉ F 및 green ∉ B.

Subsets

만약 집합 A의 모든 각 원소가 B 안에 역시 있으며, A는 A ⊆ B라고 쓰인 B의 부분-집합이라고 말합니다 (A는 B에 포함됩니다로 발음합니다). 동등하게, 우리는 B ⊇ A로 쓸 수 있고, B는 A의 초월-집합, B는 A를 포함, 또는 B는 A를 담고 있음으로 읽습니다. ⊆에 의해 설립된 집합들 사이의 관계(relationship)는 포함(inclusion) 또는 봉쇄(containment)라고 불립니다. 두 집합이 만약 서로를 포함하면 같습니다: A ⊆ B와 B ⊆ A는 A = B와 같습니다.

만약 A가 B의 부분-집합이지만, B와 같지 않으면, A는 B의 적절한 부분-집합(proper subset)으로 불리고, A ⊊ B, 또는 간단히 A ⊂ B (A는 B의 적절한 부분-집합입니다), 또는 B ⊋ A (B는 A의 적절한 상위-집합입니다, B ⊃ A)로 씁니다.

표현 A ⊂ B 및 B ⊃ A는 다른 저자들에 의해 다르게 사용됩니다; 일부 저자는 그들을 A ⊆ B (각각 B ⊇ A)와 같은 것을 의미하는 것으로 사용하지만, 다른 저자들은 그들을 A ⊊ B (각각 B ⊋ A)와 같은 것을 의미하는 것으로 사용합니다.

예제:

  • 모든 사람의 집합은 모든 포유류의 집합의 적절한 부분-집합입니다.
  • {1, 3} ⊆ {1, 2, 3, 4}.
  • {1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}.

빈 집합(empty set) (또는 공 집합)으로 불리는, 구성원이 없는 고유한 집합이 있으며, 이것은 기호 ∅에 의해 표시됩니다 (다른 표기법이 사용됩니다; 빈 집합(empty set)을 참조하십시오). 빈 집합은 모든 각 집합의 부분-집합이고, 모든 각 집합은 자체의 부분-집합입니다:

  • ∅ ⊆ A.
  • A ⊆ A.

Partitions

집합 S의 분할은 S에서 모든 각 원소 x가 이들 부분-집합의 정확히 하나에 있는 것을 만족하는 S의 비-빈 부분-집합의 집합입니다. 즉, 그 부분-집합은 쌍별 서로소(pairwise disjoint)이고 (분할의 임의의 두 집합은 공통으로 원소를 포함하지 않음을 의미함), 분할의 모든 부분-집합의 합집합(union)은 S입니다.

Power sets

집합 S의 거듭-제곱 집합은 S의 모든 부분-집합의 집합입니다. 거듭-제곱 집합은 S 자체와 빈 집합을 포함하는데, 왜냐하면 이들은 둘 다 S의 부분-집합이기 때문입니다. 예를 들어, 집합 {1, 2, 3}의 거듭-제곱 집합은 {{1, 2, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1}, {2}, {3}, ∅}입니다. 집합 S의 거듭-제곱 집합은 보통 P(S)로 쓰입니다.

n 원소를 갖는 유한 집합의 거듭제곱 집합은 \(2^n\) 원소를 가집니다. 예를 들어, 집합 {1, 2, 3}은 세 원소를 포함하고, 위에서 보여준 거듭제곱 집합은 \(2^3=8\) 원소를 포함합니다.

무한 (셀-수-있는(countable) 또는 셀-수-없는(uncountable)) 집합의 거듭-제곱 집합은 항상 셀-수-없는 것입니다. 게다가, 집합의 거듭-제곱 집합은 S의 모든 각 원소를 정확히 하나의 P(S) 원소와 쌍을 이룰 방법이 없다는 의미에서 원래 집합보다 항상 엄격하게 "더 큰" 것입니다. (S에서 P(S) 위로의 위로의 맵핑 또는 전사(surjection)는 결코 없습니다.)

Cardinality

|S|로 표시되는 집합 S의 카디널리티는 S의 구성원의 숫자입니다. 예를 들어, 만약 B = {blue, white, red}이면 |B| = 3입니다. 목록 표기법에서 반복되는 구성원은 세지 않으므로, 따라서 역시 |{blue, white, red, blue, white}| = 3입니다.

빈 집합의 카디널리티는 영입니다.

일부 집합은 무한(infinite) 카디널리티를 가집니다. 자연수(natural number)의 집합 N은, 예를 들어, 무한입니다. 일부 무한 카디널리티는 다른 것보다 더 큽니다. 예를 들어 실수(real number)의 집합은 자연수의 집합보다 더 큰 카디널리티를 가집니다. 어쨌든, 직선의 카디널리티 (말하자면, 직선 위의 점들의 숫자)는 해당 라인의 임의의 선분(segment), 전체 평면(plane) 및 실제로는 임의의 유한 차원(finite-dimensional) 유클리드 공간(Euclidean space)의 카디널리티와 같음을 알 수 있습니다.

Special sets

수학적으로 큰 중요성을 지니고 그것들을 식별하기 위해 특별한 이름과 표기법적 관례를 얻었을 정도로 그러한 규칙성과 함께 언급되는 일부 집합 또는 종류가 있습니다. 이들 중 하나는 { } 또는 ∅로 표시된 빈 집합(empty set)입니다. 정확히 하나의 원소 x를 가진 집합은 단위 집합, 또는 한원소, {x}입니다.

이들의 대부분은 칠판 굵은-글씨(blackboard bold) 또는 굵은 글씨를 사용하여 표시됩니다.

숫자의 특별한 집합은 다음을 포함합니다:

  • P 또는 ℙ, 모든 소수(primes)의 집합을 나타냅니다: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...}.
  • N 또는 \(\displaystyle \mathbb{N}\), 모든 자연수(natural number)의 집합을 나타냅니다: N = {0, 1, 2, 3, ...} (때때로 0을 제외하고 정의됩니다).
  • Z 또는 \(\displaystyle \mathbb{Z}\), 모든 정수(integer)의 집합을 나타냅니다 (양수, 음수 또는 영인지 여부): Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}.
  • Q 또는 ℚ, 모든 유리수(rational)의 집합을 나타냅니다 (즉, 모든 적절한(proper) 및 부적절한 분수(improper fraction)의 집합): Q = {a/b | a, b ∈ Z, b ≠ 0}. 예를 들어, 1/4 ∈ Q 및 11/6 ∈ Q. 모든 정수는 이 집합에 있는데 왜냐하면 모든 각 정수 a는 분수 a/1로 표현할 수 있습니다 (Z ⊊ Q).
  • R 또는 \(\displaystyle \mathbb{R}\), 모든 실수(real)의 집합을 나타냅니다. 이 집합은 모든 유리수와 함께 모든 무리수(irrational) (즉, \(\sqrt{2}\)와 같은 분수로 다시-쓸 수 없는 대수적 숫자(algebraic number), 마찬가지로 π, e와 같은 초월적 숫자(transcendental numbers))를 포함합니다.
  • C 또는 ℂ, 모든 복소수의 집합을 나타냅니다: C = {a + bi | a, b ∈ R}. 예를 들어, 1 + 2i ∈ C.
  • H 또는 ℍ, 모든 쿼터니언(quaternion)의 집합을 나타냅니다: H = {a + bi + cj + dk | a, b, c, d ∈ R}. 예를 들어, 1 + i + 2j − k ∈ H.

위의 각 숫자의 집합은 무한 숫자의 원소를 있으고, 각각은 그것 아래에 나열된 집합의 적절한 부분-집합으로 여길 수 있습니다. 소수는 숫자 이론(number theory) 및 관련된 분야 밖에 다른 것보다 덜 자주 사용됩니다.

양수 및 음수 집합은 때때로 각각 위첨자 더하기 및 빼기 부호로 표시됩니다. 예를 들어, \(\mathbb{Q}^+\)는 양의 유리수의 집합을 나타냅니다.

Basic operations

주어진 집합에서 새로운 집합을 구성하는 것에 대해 몇 가지 기본 연산이 있습니다.

Unions

두 집합은 함께 "더해질" 수 있습니다. A와 B의 합집합(union)은, A ∪ B에 의해 표시되며, A 또는 B 중 하나의 구성원인 모든 것의 집합입니다.

예제:

  • {1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}.
  • {1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.
  • {1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}

합집합의 일부 기본 속성:

  • A ∪ B = B ∪ A.
  • A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.
  • A ⊆ (A ∪ B).
  • A ∪ A = A.
  • A ∪ ∅ = A.
  • A ⊆ B인 것과 A ∪ B = B인 것은 필요충분(iff) 조건입니다.

Intersections

새로운 집합은 두 집힙이 "공통"으로 가지는 구성원을 결정함으로써 역시 구성될 수 있습니다. A와 B의 교집합(intersection)은, A ∩ B에 의해 표시되며, A와 B 둘 다의 구성원인 모든 것의 집합입니다. 만약 A ∩ B = ∅이면, A와 B는 서로소(disjoint)라고 말합니다.

예제:

  • {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}.
  • {1, 2} ∩ {2, 3} = {2}.
  • {1, 2} ∩ {3, 4} = ∅.

교집합의 일부 기본 속성:

  • A ∩ B = B ∩ A.
  • A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
  • A ∩ B ⊆ A.
  • A ∩ A = A.
  • A ∩ ∅ = ∅.
  • A ⊆ B인 것과 A ∩ B = A인 것은 필요충분(iff) 조건입니다.

Complements

두 집합은 "빼기"가 역시 가능합니다. A에서 B의 상대적인 여집합(relative complement) (A와 B의 집합-이론적 차이라고 역시 불림)은, A \ B (또는 A − B)에 의해 표시되며, A의 구성원이지만 B의 구성원은 아닌 모든 원소의 집합입니다. 집합 {1, 2, 3}로부터 원소 green을 제거하는 것과 같은, 집합 안에 없는 집합의 구성원을 "빼는" 것이 유효합니다; 그렇게 하더라도 효과는 없습니다.

특정 설정에서, 논의 아래에서 모든 집합은 주어진 전체 집합(universal set) U의 부분-집합으로 여겨집니다. 그러한 경우에서, U \ A는 A의 절대 여집합 또는 간단히 여집합으로 불리고, A′에 의해 표시됩니다.

  • A′ = U \ A

예제:

  • {1, 2} \ {1, 2} = ∅.
  • {1, 2, 3, 4} \ {1, 3} = {2, 4}.
  • 만약 U가 정수의 집합, E가 짝수 정수의 집합이고, O가 홀수 정수의 집합이면, U \ E = E′ = O입니다.

여집합의 일부 기본 속성:

  • A ≠ B에 대해, A \ B ≠ B \ A.
  • A ∪ A′ = U.
  • A ∩ A′ = ∅.
  • (A′)′ = A.
  • ∅ \ A = ∅.
  • A \ ∅ = A.
  • A \ A = ∅.
  • A \ U = ∅.
  • A \ A′ = A 및 A′ \ A = A′.
  • U′ = ∅ 및 ∅′ = U.
  • A \ B = A ∩ B′.
  • 만약 A ⊆ B이면 A \ B = ∅입니다.

여집합의 확장은 집합 A, B에 대해 다음으로 정의된 대칭 차이(symmetric difference)입니다:

\(\quad\displaystyle A\,\Delta\,B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A).\)

예를 들어, {7, 8, 9, 10} 및 {9, 10, 11, 12}의 대칭 차이는 집합 {7, 8, 11, 12}입니다. 임의의 집합의 거듭-제곱 집합은 (중립 원소로 빈 집합과 함께) 링의 덧셈일 때 대칭 차이 및 링의 곱셈일 때 교집합을 갖는 부울 링(Boolean ring)이 됩니다.

Cartesian product

새로운 집합은 한 집합의 모든 각 원소를 또 다른 집합의 모든 각 원소에 결합함으로써 구성될 수 있습니다. 두 집합 A와 B의 데카르트 곱(Cartesian product)은, A × B에 의해 표시되며, a가 A의 구성원이고 b가 B의 구성원을 만족하는 순서화 쌍(ordered pairs) (a, b)의 집합입니다.

예제:

  • {1, 2} × {red, white, green} = {(1, red), (1, white), (1, green), (2, red), (2, white), (2, green)}.
  • {1, 2} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
  • {a, b, c} × {d, e, f} = {(a, d), (a, e), (a, f), (b, d), (b, e), (b, f), (c, d), (c, e), (c, f)}.

데카르트 곱의 일부 기본 속성:

  • A × ∅ = ∅.
  • A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C).
  • (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C).

A와 B를 유한 집합으로 놓습니다; 그런-다음 데카르트 곱의 카디널리티(cardinality)는 카디널리티의 곱입니다:

  • | A × B | = | B × A | = | A | × | B |.

Applications

집합 이론은 사실상 모든 수학이 도출될 수 있는 기초로 볼 수 있습니다. 예를 들어, 그룹(groups), 필드(fields) 및 링(rings)과 같은 추상 대수(abstract algebra)에서 구조(structures)는 하나 이상의 연산 아래에 닫힌(closed) 집합입니다.

소박한 집합 이론의 주요 응용 중 하나는 관계(relations)를 구성하는 것입니다. 도메인(domain) A에서 코도메인(codomain) B로의 관계는 데카르트 곱 A × B의 부분-집합입니다. 예를 들어, 같은 이름의 놀이(game)에서 모양의 집합 S = { 바위, 종이, 가위 }를 고려하면, S에서 S로의 "이김(beats)" 관계는 B = { (가위, 종이), (종이, 바위), (바위, 가위) }입니다; 따라서 만약 쌍 (x, y)가 B의 구성원이면 x는 게임에서 y를 이깁니다. 또 다른 예제는 모든 쌍 \((x, x^2)\)의 집합 F이며, 여기서 x는 실수입니다. 이 관계는 R × R의 부분-집합인데, 모든 제곱의 집합은 모든 실수의 집합의 부분-집합이기 때문입니다. R에서 모든 각 x에 대해, 하나, 및 유일한 하나, 쌍 (x,...)는 F에서 발견되므로, 그것은 함수(function)라고 불립니다. 함수 표기법에서, 이 관계는 \(F(x)=x^2\)으로 쓸 수 있습니다.

Axiomatic set theory

비록 단지 임의의 잘-정의된(well-defined) 모음으로 집합을 정의하는 소박한 집합 이론(naive set theory)이 초기에는 잘 받아들여졌을지라도, 그것은 곧 여러 장애물에 부딪쳤습니다. 이 정의는 여러 역설(several paradoxes)을 낳았으며, 가장 주목할만한 것은 다음입니다:

그 이유는 문구 잘-정의된이 그다지 잘-정의되어 있지 않기 때문입니다. 거의 모든 수학이 집합 이론으로 다시-정의되고 있기 때문에 이들 역설의 집합 이론을 자유롭게 하는 것이 중요했습니다. 이들 역설을 피하기 위한 시도에서, 집합 이론은 일-차 논리(first-order logic)를 기반으로 공리화되었고, 따라서 공리적 집합 이론(axiomatic set theory)이 탄생했습니다.

대부분의 목적에 대해, 어쨌든, 소박한 집합 이론(naive set theory)은 여전히 유용합니다.

Principle of inclusion and exclusion

포함-제외 원리는, 만약 각 집합의 크기와 그들의 교집합의 크기를 알려져 있으면, 두 집합의 합집합에서 원소의 숫자를 세기 위해 사용될 수 있는 셈 기법입니다. 그것은 기호적으로 다음으로 표현될 수 있습니다:

\(\quad\displaystyle  |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|.\)

그 원리의 보다 일반적인 형식은 집합의 임의의 유한 합집합의 카디널리티를 찾기 위해 사용될 수 있습니다:

\(\quad\displaystyle \begin{align}
\left|A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup\ldots\cup A_{n}\right|=& \left(\left|A_{1}\right|+\left|A_{2}\right|+\left|A_{3}\right|+\ldots\left|A_{n}\right|\right) \\
&{} - \left(\left|A_{1}\cap A_{2}\right|+\left|A_{1}\cap A_{3}\right|+\ldots\left|A_{n-1}\cap A_{n}\right|\right) \\
&{} + \ldots \\
&{} + \left(-1\right)^{n-1}\left(\left|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap\ldots\cap A_{n}\right|\right).
\end{align}\)

De Morgan's laws

오거스터스 드 모르간(Augustus De Morgan)은 집합에 대한 두 법칙(two laws)을 말했습니다.

만약 A와 B가 임의의 두 집합이면,

  • (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′

A와 B의 합집합의 여집합은 A의 여집합과 B의 여집합을 교집합한 것과 같습니다.

  • (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′

A와 B의 교집합의 여집합은 A의 여집합과 B의 여집합을 합집합한 것과 같습니다.

See also

References

External links

관련글

티스토리툴바