선형 대수(linear algebra)에서, m 원소를 갖는 열 벡터(column vector)는 m 엔트리의 단일 열, 예를 들어, 다음과 같이 구성된 \(\displaystyle m \times 1\) 행렬(matrix)입니다:
\(\quad\displaystyle \boldsymbol{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \end{bmatrix}.\)
유사하게, 행 벡터(row vector)는 n 엔트리의 단일 행으로 구성된 일부 n에 대해 \(\displaystyle 1 \times n\) 행렬입니다:
\(\quad\displaystyle \boldsymbol a = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \dots & a_n \end{bmatrix}. \)
(이 문서 전체에서, 행 벡터와 열 벡터 모두에 굵은 글꼴이 사용됩니다.)
임의의 행 벡터의 전치 (T로 표시됨)는 열 벡터이고, 임의의 열 벡터의 전치는 행 벡터입니다:
\(\quad\displaystyle \begin{bmatrix} x_1 \; x_2 \; \dots \; x_m \end{bmatrix}^{\rm T} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \end{bmatrix}\)
그리고
\(\quad\displaystyle \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \end{bmatrix}^{\rm T} = \begin{bmatrix} x_1 \; x_2 \; \dots \; x_m \end{bmatrix}.\)
주어진 필드 (예를 들어, 실수)에 n 엔트리를 갖는 모든 행 벡터의 집합은 n-차원 벡터 공간(vector space)을 형성합니다; 유사하게, m 엔트리를 갖는 모든 열 벡터의 집합은 m-차원 벡터 공간을 형성합니다.
열 벡터의 공간 위에 임의의 선형 함수형은 고유한 행 벡터의 왼쪽-곱셈으로 나타낼 수 있기 때문에, n 엔트리를 갖는 행 벡터의 공간은 n 엔트리를 갖는 열 벡터의 공간의 이중 공간(dual space)으로 고려될 수 있습니다.
Notation
다른 텍스트와 함께 열 벡터를 인-라인으로 작성하는 것을 단순화하기 위해, 그것들은 때로는 전치 연산이 적용된 행 벡터로 작성됩니다.
\(\quad\displaystyle \boldsymbol{x} = \begin{bmatrix} x_1 \; x_2 \; \dots \; x_m \end{bmatrix}^{\rm T}\)
또는
\(\quad\displaystyle \boldsymbol{x} = \begin{bmatrix} x_1, x_2, \dots, x_m \end{bmatrix}^{\rm T}\)
일부 저자는 역시 열 벡터와 행 벡터를 모두 행으로 작성하지만, 행 벡터 원소는 쉼표로, 열 벡터 원소는 세미콜론으로 구분하는 관례를 사용합니다 (아래 테이블에서 대안적인 표기법 2를 참조).
Operations
행렬 곱셈(Matrix multiplication)은 한 행렬의 각 행 벡터를 또 다른 행렬의 각 열 벡터와 곱하는 동작을 포함합니다.
좌표 공간의 원소로 고려되는 두 열 벡터 a, b의 점 곱(dot product)은 a의 전치와 b의 행렬 곱과 같습니다,
\(\quad\displaystyle \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^\intercal \mathbf{b} = \begin{bmatrix}
a_1 & \cdots & a_n
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
b_1 \\ \vdots \\ b_n
\end{bmatrix} = a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \,, \)
점 곱의 대칭에 의해, 두 열 벡터 a, b의 점 곱(dot product)은 역시 b의 전치와 a의 행렬 곱과 같습니다,
\(\quad\displaystyle \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} = \mathbf{b}^\intercal \mathbf{a} = \begin{bmatrix}
b_1 & \cdots & b_n
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
a_1 \\ \vdots \\ a_n
\end{bmatrix} = a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n\,. \)
열과 행 벡터의 행렬 곱은 보다 일반적인 텐서 곱(tensor product)의 예제, 두 벡터 a, b의 밖의 곱(outer product)을 제공합니다. a의 열 벡터 표현과 b의 행 벡터 표현의 행렬 곱은 이원적 곱의 구성 요소를 제공합니다:
\(\quad\displaystyle \mathbf{a} \otimes \mathbf{b} = \mathbf{a} \mathbf{b}^\intercal = \begin{bmatrix}
a_1 \\ a_2 \\ a_3
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
b_1 & b_2 & b_3
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
a_1 b_1 & a_1 b_2 & a_1 b_3 \\
a_2 b_1 & a_2 b_2 & a_2 b_3 \\
a_3 b_1 & a_3 b_2 & a_3 b_3 \\
\end{bmatrix} \,, \)
이는 b의 열 벡터 표현과 a의 행 벡터 표현의 행렬 곱의 전치(transpose)입니다:
\(\quad\displaystyle \mathbf{b} \otimes \mathbf{a} = \mathbf{b} \mathbf{a}^\intercal = \begin{bmatrix}
b_1 \\ b_2 \\ b_3
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
a_1 & a_2 & a_3
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
b_1 a_1 & b_1 a_2 & b_1 a_3 \\
b_2 a_1 & b_2 a_2 & b_2 a_3 \\
b_3 a_1 & b_3 a_2 & b_3 a_3 \\
\end{bmatrix} \,. \)
Matrix transformations
n × n 행렬 M은 선형 맵(linear map)을 나타낼 수 있고 선형 맵의 변환 행렬(transformation matrix)로 행 벡터와 열 벡터에 동작합니다. 행 벡터 v에 대해, 곱 vM은 또 다른 행 벡터 p입니다.
\(\quad\displaystyle \mathbf{v} M = \mathbf{p} \,.\)
또 다른 n × n 행렬 Q는 p 위에 동작할 수 있습니다,
\(\quad\displaystyle \mathbf{p} Q = \mathbf{t} \,. \)
그런-다음 t = pQ = vMQ라고 쓸 수 있으므로, 행렬 곱(matrix product) 변환 MQ는 v를 t에 직접 매핑합니다. 행 벡터를 계속 사용하여, n-공간을 추가로 재구성하는 행렬 변환은 이전 출력의 오른쪽에 적용될 수 있습니다.
열 벡터가 n × n 행렬 동작 아래에서 또 다른 열 벡터로 변환되면, 연산은 왼쪽에서 발생하며,
\(\quad\displaystyle \mathbf{p}^\mathrm{T} = M \mathbf{v}^\mathrm{T} \,,\quad \mathbf{t}^\mathrm{T} = Q \mathbf{p}^\mathrm{T},\)
\(\mathbf{v}^{\text{T}}\) 입력에서 합성된 출력에 대한 대수적 표현 \(QM \mathbf{v}^{\text{T}}\)로 이어집니다. 행렬 변환에 대한 입력을 위한 열 벡터 사용에서 행렬 변환은 왼쪽에 마운트됩니다.
See also
References
- Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
- Lay, David C. (August 22, 2005), Linear Algebra and Its Applications (3rd ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
- Meyer, Carl D. (February 15, 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, archived from the original on March 1, 2001
- Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (2nd ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
- Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th ed.), Wiley International
- Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7th ed.), Pearson Prentice Hall
