기하학(geometry)에서, 루우쓰의 정리(Routh's theorem)는 주어진 삼각형과 세 개의 체비선(cevian)의 쌍별 교차에 의해 형성된 삼각형 사이의 넓이의 비율을 결정합니다. 그 정리는 만약 삼각형(triangle) \(\displaystyle ABC\)에서, 점 \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\), 및 \(\displaystyle F\)가 선분 \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CA\), 및 \(\displaystyle AB\) 위에 놓이면, \(\displaystyle \tfrac{CD}{BD} \)\(\displaystyle = x\), \(\displaystyle \tfrac{AE}{CE} \)\(\displaystyle = y\), 및 \(\displaystyle \tfrac{BF}{AF} \)\(\displaystyle = z\)를 쓰며, 체바선 \(\displaystyle AD\), \(\displaystyle BE\), 및 \(\displaystyle CF\)에 의해 형성된 삼각형의 부호화된 넓이(area)는 삼각형 \(\displaystyle ABC\)의 넓이에 다음을 곱함 것임을 말합니다:
\(\quad\displaystyle \frac{(xyz - 1)^2}{(xy + y + 1)(yz + z + 1)(zx + x + 1)}.\)
이 정리는 1896년에 그의 Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples의 82 페이지에 에드워드 존 루우쓰(Edward John Routh)에 의해 제공되었습니다. 특정 경우 \(\displaystyle x = y = z = 2\)는 1/7 넓이 삼각형(one-seventh area triangle)으로 대중화되어 왔습니다. \(\displaystyle x = y = z = 1\) 경우는 세 개의 중앙선(median)이 (도형-중심(centroid)을 통해) 공통점에 있음을 의미합니다.
Proof
삼각형 \(\displaystyle ABC\)의 넓이가 1임을 가정합니다. 삼각형 \(\displaystyle ABD\)와 직선 \(\displaystyle FRC\)에 대해 메넬라우스의 정리(Menelaus's theorem)를 사용하여, 우리는 다음을 얻을 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle \frac{AF}{FB} \times \frac{BC}{CD} \times \frac{DR}{RA} = 1\)
그런-다음 \(\displaystyle \frac{DR}{RA} = \frac{BF}{FA} \times \frac{DC}{CB} = \frac{zx}{x+1}\)입니다. 따라서 삼각형 \(\displaystyle ARC\)의 넓이는 다음입니다:
\(\quad\displaystyle S_{ARC} = \frac{AR}{AD} S_{ADC} = \frac{AR}{AD} \times \frac{DC}{BC} S_{ABC} = \frac{x}{zx+x+1}\)
비슷하게, 우리는 \(\displaystyle S_{BPA} = \frac{y}{xy+y+1}\)과 \(\displaystyle S_{CQB} = \frac{z}{yz+z+1}\)임을 알 수 있습니다. 따라서 삼각형 \(\displaystyle PQR\)의 넓이는 다음입니다:
\(\quad\displaystyle \displaystyle S_{PQR} = S_{ABC} - S_{ARC} - S_{BPA} - S_{CQB} \)
\(\quad\displaystyle = 1 - \frac{x}{zx+x+1} - \frac{y}{xy+y+1} - \frac{z}{yz+z+1} \)
\(\quad\displaystyle =\frac{(xyz - 1)^2}{(xz + x + 1)(yx + y + 1)(zy + z + 1)}.\)
Citations
루우쓰의 정리에 대해 공통적으로 제공되는 인용은 루우쓰의 Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples, Volume 1, Chap IV, 1896년 제 2판 p. 82에서, 아마도 그 판이 손에 넣기 쉽기 때문일 것입니다. 어쨌든, 루우쓰는 이미 1891년 초판, Volume 1, Chap IV, p. 89에서 그 정리를 제공했습니다. 비록 판 사이에 페이지-매김에서 변경이 있지만, 관련 각주의 문구는 같게 유지되었습니다.
루우쓰는 다음과 같은 경고(caveat)와 함께 확장된 각주를 마무리합니다:
저자는 자주 발생하는 두 개의 삼각형의 넓이에 대해 이들 표현을 충족하지 못했습니다. 그는 따라서 텍스트에서 논증이 더 쉽게 이해될 수 있도록 여기에 그것들을 배치했습니다.
추측하건대, 루우쓰는 판 사이에 5년 동안 그들 상황이 변하지 않았다고 느꼈을 것입니다. 다른 한편으로, 루우쓰의 책 제목은 이전에 아이작 타드헌트(Isaac Todhunter)에 의해 사용되었습니다; 둘 다는 윌리엄 홉킨스(William Hopkins)에 의해 지도되었습니다.
비록 루우쓰가 그의 책에서 정리를 발표했지만, 그것이 처음으로 발표된 명제는 아닙니다. 그것은 1878년 캠브리지 상원의 문제와 추서의 해결, 즉, 해당 년도의 수학적 삼각대의 33 페이지에 추서 (vii)로 명시되고 입증되었고, 링크는 https://archive.org/details/solutionscambri00glaigoog 입니다. 그것은 로마 숫자 시스템을 갖는 문제의 저자가 글레이셔(Glaisher)라고 말합니다. 루우쓰는 그의 책이 나왔을 때 유명한 수학적 삼각대(Mathematical Tripos) 코치였고 1878년 삼각대 시험의 내용에 확실히 익숙했습니다. 따라서 그의 명제 The author has not met with these expressions for the areas of two triangles that often occur. 는 수수께끼입니다.
이 정신의 문제는 오락 수학(recreational mathematics) 및 수학적 교육학(paedagogy)에서 오랜 역사를 가지고 있으며, 아마도 스토마키언(Stomachion) 보드의 14개 지역의 비율을 결정하는 가장 오래된 사례 중 하나입니다. 루우쓰의 캠브리지(Cambridge)를 염두에 두고, 리처드 파인만(Richard Feynman)과의 일부 계정에서 연결된, 1/7-넓이 삼각형(one-seventh-area triangle)은, 예를 들어, 1859년에 출판된 트리니티 대학(Trinity College)의 로버트 파츠(Robert Potts) (1805-1885)에 의해 기하학의 유클리드의 원론 (5번째 학교 판)에서, 질문 100, p. 80에 나타납니다; 같은 페이지에 있는 그의 질문 98, 99도 비교하십시오. 파츠는 1832년에 26 번째 랭글러(Wrangler)로 섰었고, 홉킨스와 루우쓰처럼 캠브리지에서 코치했습니다. 파츠의 기하학에 대한 해설 저작은 1862년에 국제 전시회에서 메달, 마찬가지로 버지니아(Virginia), 윌리엄스버그(Williamsburg), 윌리엄 앤 메리 대학(College of William and Mary)에서 Hon. LL.D.에 의해 인정되었습니다.
References
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- Jay Warendorff, Routh's Theorem, The Wolfram Demonstrations Project.
- Weisstein, Eric W. "Routh's Theorem". MathWorld.
- Routh's Theorem by Cross Products at MathPages
- Ayoub, Ayoub B. (2011/2012) "Routh's theorem revisited", Mathematical Spectrum 44 (1): 24-27.
