상대 속도 \(\displaystyle \vec{v}_{B\mid A}\) (역시 \(\displaystyle \vec{v}_{BA}\) 또는 \(\displaystyle \vec{v}_{B \operatorname{rel} A}\))는 또 다른 물체 또는 관찰자 A의 정지 프레임에서 물체 또는 관찰자 B의 속도입니다.
Classical mechanics
In one dimension (non-relativistic)
우리는 모든 속력이 빛의 속력보다 훨씬 작다는 고전적(classical) (비-상대론적(relativistic), 또는 뉴턴 근사(Newtonian approximation))에서 상대 운동으로 시작합니다. 이 극한은 갈릴레이 변환(Galilean transformation)과 관련이 있습니다. 그림은 뒤쪽 가장자리에서 기차 위에 있는 사람을 보여줍니다. 오후 1시에 그는 10 km/h (시간당 킬로미터)의 보행 속도로 앞으로 걷기 시작합니다. 기차는 40 km/h로 움직입니다. 그림은 두 다른 시간: 먼저, 여행이 시작된 시간, 및 역시 오후 2시에서 한 시간 후에서 사람과 기차를 보여줍니다. 그림은 그 사람이 한 시간에 대해 (걸어서 및 기차로) 여행한 후 출발 지점에서 50 km 떨어진 곳에 있음을 암시합니다. 이것은, 정의에 의해, 50 km/h이며, 이 방식으로 상대 속도를 계산하기 위한 처방은 두 가지 속도를 더하는 것임을 제안합니다.
그림은 시계와 눈금자를 이 계산을 뒷받침하는 논리가 결점없는 것으로 보이지만, 시계와 눈금자가 어떻게 동작하는지에 대한 잘못된 가정을 함을 독자에게 상기시키기 위해 표시됩니다. (비행기-및-플랫폼 생각 실험을 참조하십시오.) 이 고전적인(classical) 상대 운동의 모델이 특수 상대성(special relativity)을 위반한다는 것을 인식하기 위해, 우리는 예제를 방정식으로 일반화합니다:
\(\quad\displaystyle \underbrace{\vec v_{M\mid E}}_\text{50 km/h} = \underbrace{\vec v_{M\mid T}}_\text{10 km/h} + \underbrace{\vec v_{T\mid E}}_\text{40 km/h},\)
여기서:
\(\quad\displaystyle \vec v_{M\mid E}\)는 지구(Earth)에 상대적인 사람(Man)의 속도입니다,
\(\quad\displaystyle \vec v_{M\mid T}\)는 기차(Train)에 상대적인 사람(Man)의 속도입니다,
\(\quad\displaystyle \vec v_{T\mid E}\)는 지구(Earth)에 상대적인 기차(Train)의 속도입니다.
"B에 상대적인 A의 속도"에 대해 완전한 합법적인 표현은 "B에 관한 A의 속도" 및 "B가 항상 정지되어있는 좌표 시스템에서 A의 속도"를 포함합니다. 상대 속도에 대한 이 방정식은 빛의 움직임을 관찰할 때 다른 관측자가 다른 속력을 측정할 것이라고 잘못 예측하기 때문에 특수 상대성의 위반(violation of special relativity)이 발생합니다.
In two dimensions (non-relativistic)
그림은 일정한 속도에서 움직이는 두 물제 A와 B를 보여줍니다. 운동의 방정식은 다음입니다:
\(\quad\displaystyle \vec r_A=\vec r_{Ai}+\vec v_A t,\)
\(\quad\displaystyle \vec r_B=\vec r_{Bi}+ \vec v_B t,\)
여기서 아래첨자 i는 초기 변위 (시간 t에서 영과 같음)를 참조합니다. 두 변위 벡터, \(\displaystyle \vec r_B-\vec r_A\) 사이의 차이는 A로부터 보인 B의 위치를 나타냅니다.
\(\quad\displaystyle \vec r_B-\vec r_A= \underbrace{\vec r_{Bi}-\vec r_{Ai}}_\text{initial separation} + \underbrace{(\vec v_B-\vec v_A ) t}_\text{relative velocity}.\)
그러므로:
\(\quad\displaystyle \vec v_{B\mid A}=\vec v_B-\vec v_A.\)
치환 \(\displaystyle \vec v_{A|C}=\vec v_A\) 및 \(\displaystyle \vec v_{B|C}=\vec v_B\)를 만든 후에, 우리는 다음을 가집니다:
\(\quad\displaystyle \vec v_{B\mid A} = \vec v_{B\mid C}-\vec v_{A\mid C} \Rightarrow \) \(\displaystyle \vec v_{B\mid C}=\vec v_{B\mid A} +\vec v_{A\mid C}.\)
Galilean transformation (non-relativistic)
특수 상대성의 이론과 일치하는 상대 운동의 이론을 구성하기 위해, 우리는 다른 규칙을 채택해야 합니다. (비-상대론적) 뉴턴 극한(Newtonian limit)에서 계속 연구하기 위해, 우리는 한 차원에서 갈릴레이 변환(Galilean transformation)으로 시작합니다:
\(\quad\displaystyle x'=x-vt\)
\(\quad\displaystyle t'=t\)
여기서 x'는 "프라이밍되지-않은" (x) 참조 프레임에서, 속력 v에서 이동하는 참조 프레임에서 볼 수 있는 위치입니다. 위의 두 방정식 중 첫 번째 방정식의 미분을 취하면, 우리는 \(\displaystyle dx'=dx-v \, dt\)을 가지고, \(\displaystyle dt'=dt\)이라는 명백한 명제처럼 보일 수 있는 것을 가지며, 우리는 다음을 가집니다:
\(\quad\displaystyle \frac{dx'}{dt'}=\frac{dx}{dt}-v\)
상대 속도에 대해 이전 표현을 복구하기 위해, 우리는 입자 A가 프라임되지-않은 참조에서 dx/dt (및 따라서 프라임된 프레임에서 dx′/dt′)로 정의된 경로를 따르고 있다고 가정합니다. 따라서 \(\displaystyle dx/dt = v_{A\mid O}\) 및 \(\displaystyle dx'/dt = v_{A\mid O'}\)이며, 여기서 \(\displaystyle O\)와 \(\displaystyle O'\)은, 각각, 프라임되지-않은 프레임과 프라임된 프레임에서 관찰자에 의해 보인 A의 운동을 참조합니다. 프라임되지-않은 프레임에서 볼 수 있듯이, v는 프라임된 프레임에서 정류된 대상의 운동이라는 것을 상기하십시오. 따라서 우리는 \(\displaystyle v=v_{O'\mid O}\)을 가지고, 다음입니다:
\(\quad\displaystyle v_{A\mid O'}= v_{A\mid O}-v_{O'\mid O} \Rightarrow v_{A\mid O} = v_{A\mid O'} + v_{O'\mid O},\)
여기서 후자 형식은 원했던 (쉽게 학습된) 대칭을 가집니다.
Special relativity
고전 역학에서 처럼, 특수 상대성에서 상대 속도 \(\displaystyle \vec{v}_\mathrm{B|A}\)는 또 다른 물체 또는 관찰자 A의 정지 프레임에서 물체 또는 관찰자 B의 속도입니다. 어쨌든, 고전 역학의 경우와 달리, 특수 상대성에서, 일반적으로 다음인 경우가 아닙니다:
\(\quad\displaystyle \vec{v}_\mathrm{B|A}=-\vec{v}_\mathrm{A|B}\)
이 특이한 대칭의 부족은 토마스 전진-운동(Thomas precession)과 두 개의 연속 로렌츠 변환이 좌표 시스템을 회전시킨다는 사실과 관련이 있습니다. 이 회전은 벡터의 크기에 영향을 미치지 않고, 따라서 상대 속력(speed)은 대칭입니다.
\(\quad\displaystyle \|\vec{v}_\mathrm{B|A}\|=\|\vec{v}_\mathrm{A|B}\|=v_\mathrm{B|A}=v_\mathrm{A|B}\)
Parallel velocities
두 물체가 평행 방향에서 이동하는 경우에서, 상대 속도에 대해 상대론적 공식은 상대론적 속도의 추가에 대해 공식에 대한 형식에서 유사합니다.
\(\quad\displaystyle \vec{v}_\mathrm{B|A}=\frac{\vec{v}_\mathrm{B}-\vec{v}_\mathrm{A}}{1-\frac{\vec{v}_\mathrm{A}\vec{v}_\mathrm{B}}{c^2}}\)
상대 속력은 공식에 의해 제공됩니다:
\(\quad\displaystyle v_\mathrm{B|A}=\frac{\left | v_\mathrm{B}-v_\mathrm{A}\right | }{1-\frac{v_\mathrm{A}v_\mathrm{B}}{c^2}}\)
Perpendicular velocities
두 물체가 수직 방향에서 이동하는 경우에서, 상대론적 상대 속도 \(\displaystyle \vec{v}_\mathrm{B|A}\)는 다음 공식에 의해 제공됩니다:
\(\quad\displaystyle \vec{v}_\mathrm{B|A}={\frac{\vec{v}_\mathrm{B}}{\gamma_\mathrm{A}}}-\vec{v}_\mathrm{A}\)
여기서
\(\quad\displaystyle \gamma_\mathrm{A}=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v_\mathrm{A}}{c})^2}}\)
상대 속력은 다음 공식에 의해 제공됩니다:
\(\quad\displaystyle v_\mathrm{B|A}=\frac{\sqrt{c^4 -(c^2-v_\mathrm{A}^2)(c^2 -v_\mathrm{B}^2)}}{c}\)
General case
또 다른 물체 또는 관찰자 A의 정지 프레임에서 물체 또는 관찰자 B의 상대 속도 \(\displaystyle \vec{v}_\mathrm{B|A}\)에 대해 일반적인 공식은 다음에 의해 제공됩니다:
\(\quad\displaystyle
\vec{v}_\mathrm{B|A} = \frac 1 {\gamma_\mathrm{A} \left(1-\frac{\vec{v}_\mathrm{A}\vec{v}_\mathrm{B}}{c^2} \right )} \left[ \vec{v}_\mathrm{B}-\vec{v}_\mathrm{A}+\vec{v}_\mathrm{A}(\gamma_\mathrm{A}-1) \left( \frac{\vec{v}_\mathrm{A}\cdot \vec{v}_\mathrm{B}}{v_\mathrm{A}^2}-1 \right) \right]
\)
여기서
\(\quad\displaystyle
\gamma_\mathrm{A} = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v_\mathrm{A}}{c})^2}}
\)
상대 속력은 다음 공식에 의해 제공됩니다:
\(\quad\displaystyle v_\mathrm{B|A}=\sqrt{1-\frac{(c^2-v_\mathrm{A}^2)(c^2 -v_\mathrm{B}^2)}{(c^2-\vec{v}_\mathrm{A}\cdot \vec{v}_\mathrm{B})^2}} \cdot c\)
Further reading
- Alonso & Finn, Fundamental University Physics ISBN 0-201-56518-8
- Greenwood, Donald T, Principles of Dynamics.
- Goodman and Warner, Dynamics.
- Beer and Johnston, Statics and Dynamics.
- McGraw Hill Dictionary of Physics and Mathematics.
- Rindler, W., Essential Relativity.
- KHURMI R.S., Mechanics, Engineering Mechanics, Statics, Dynamics
External links
- Relative Motion at HyperPhysics
- A Java applet illustrating Relative Velocity, by Andrew Duffy
- Relatív mozgás (1)...(3) Relative motion of two train (1)...(3). Videos on the portal FizKapu. (in Hungarian)
- Sebességek összegzése Relative tranquility of trout in creek. Video on the portal FizKapu. (in Hungarian)
