(번역) Regulated integral

Definition

[a, b]를 실수 직선(real line) R에서 닫힌(closed), 경계진(bounded) 구간(interval)으로 놓습니다. 실수-값 함수 φ : [a, b] → R는 φ가 Π의 각 열린(open) 구간 \((t_i, t_{i+1})\)에서 상수임을 만족하는 [a, b]의 다음 유한 분할(partition)이 존재하면 계단 함수라고 불립니다:

\(\quad\displaystyle \Pi = \{ a = t_0 < t_1 < \cdots < t_k = b \}\)

이 상수 값이 \(c_i \ in \mathbf{R}\)라고 가정합니다. 그런-다음, 계단 함수 φ의 적분을 다음으로 정의합니다:

\(\quad\displaystyle \int_a^b \varphi(t) \, \mathrm{d} t := \sum_{i = 0}^{k - 1} c_i | t_{i + 1} - t_i |.\)

이 정의가 분할의 선택과 독립이며, 그것에서 만약 \(\Pi_i\)이 φ가 \(\Pi_i\)의 열린 구간에서 상수임을 만족하는 [a, b]의 또 다른 분할이면, φ의 적분의 수치적 값이 Π1에 대한 것과 Π에 대한 것이 같음을 보일 수 있습니다.

함수 f : [a, b] → R는 만약 그것이 [a, b]에서 계단 함수의 수열의 균등 극한이면 조절된 함수라고 불립니다:

n → ∞일 때 \(\|\varphi_n - f\|_{\infty} \to 0\)를 만족하는 계단 함수의 수열 \((\varphi_n)_{n\in \mathbf{N}}\)이 있습니다; 또는, 동등하게,
임의의 ε > 0에 대해, \(\|\varphi_{\epsilon} - f \| < \epsilon\)를 만족하는 계단 함수 \(\varphi_{\epsilon}\)가 존재합니다; 또는, 동등하게,
f는 계단 함수의 공간의 클로저에 놓이며, 여기서 클로저는 모든 경계진 함수(bounded function) [a, b] → R의 공간에서 취해지고 상한 노름(supremum norm) \(\| \cdot \|_{\infty}\)에 관해 취합니다; 또는, 동등하게,
모든 각 t ∈ [a, b)에 대해, 오른쪽-편 극한이
- \(\displaystyle f(t+) = \lim_{s \downarrow t} f(s)\)
- 존재하고, 모든 각 {{nowrap|''t'' ∈ (''a'', ''b'']}}에 대해, 왼쪽-편 극한이
- \(\displaystyle f(t-) = \lim_{s \uparrow t} f(s)\)
- 마찬가지로 존재합니다.

조절된 함수 f의 적분을 다음으로 정의합니다:

\(\quad\displaystyle \int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d} t :=
\lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} \varphi_{n} (t) \, \mathrm{d} t,\)

여기서 \((\varphi_n)_{n\in \mathbf{N}}\)는 균등하게 f로 수렴하는 계단 함수의 임의의 수열입니다.

우리는 이 극한이 존재하고 선택된 수열과 독립적인지 확인해야 하지만, 이것은 기본 함수형 해석학의 연속 선형 확장(continuous linear extension) 정리의 즉각적인 결과입니다: 노름 선형 공간(normed linear space) E의 조밀한(dense) 선형 부분공간(linear subspace) \(E_0\)에서 정의되고 바나흐 공간 F에서 값을 취하는 경계진 선형 연산자(bounded linear operator) \(T_0\)는 같은 (유한) 연산자 노름(operator norm)을 갖는 경계진 선형 연산자 T : E → F로 고유하게 확장됩니다.

그 적분은 선형 연산자(linear operator)입니다: 임의의 조절된 함수 f와 g 및 상수 α와 β에 대해,
- \(\displaystyle \int_{a}^{b} \alpha f(t) + \beta g(t) \, \mathrm{d} t
  = \alpha \int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d} t + \beta \int_{a}^{b} g(t) \, \mathrm{d} t.\)
그 적분은 역시 경계진 연산자(bounded operator)입니다: 모든 각 조절된 함수 f가 경계진 것이고, 만약 모든 t ∈ [a, b]에 대해 m ≤ f(t) ≤ M이면,
- \(\displaystyle m | b - a | \leq \int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d} t \leq M | b - a |.\)
- 특히:
- \(\displaystyle \left| \int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d} t \right| \leq \int_{a}^{b} | f(t) | \, \mathrm{d} t.\)
계단 함수가 적분-가능이고 적분가능성과 리만 적분의 값은 균등 극한과 호환되기 때문에, 조절된 적분은 리만 적분의 특수한 경우입니다.

계단 함수와 조절된 함수의 정의와 관련된 적분을 전체 실수 직선(real line)에 정의된 함수로 확장하는 것이 가능합니다. 어쨌든, 다음과 같은 특정 기술 사항에 주의해야 합니다:

계단 함수가 상수임을 요구하는 그것의 열린 구간 위에 분할은 셀-수-있는 집합으로 허용되지만, 이산 집합(discrete set)이어야 하며, 즉, 극한 점(limit point)을 가지지 않아야 합니다;
균등 수렴의 요구 사항은 컴팩트 집합(compact sets), 즉 닫힌(closed) 및 경계진(bounded) 구간 위에 균등 수렴의 요구 사항으로 완화되어야 합니다;
모든 각 경계진 함수(bounded function)가 적분-가능인 것은 아닙니다 (예를 들어 상수 값을 갖는 함수가 그렇습니다). 이것은 지역적 적분가능성(local integrability)의 개념으로 이어집니다.

위의 정의는 노름 벡터 공간(normed vector space) X에서 값을 취하는 함수의 경우에서 필요한 수정(mutatis mutandis)을 가합니다.

Berberian, S.K. (1979). "Regulated Functions: Bourbaki's Alternative to the Riemann Integral". The American Mathematical Monthly. Mathematical Association of America. 86 (3): 208. doi:10.2307/2321526. JSTOR 2321526.
Gordon, Russell A. (1994). The integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock. Graduate Studies in Mathematics, 4. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3805-9.