(번역) Regulated function

Original article: w:Regulated function

수학(mathematics)에서, 조절된 함수(regulated function) 또는 지배된 함수(ruled function)는 단일 실수(real) 변수의 특정 종류의 잘-행동하는 함수(function)입니다. 조절된 함수는 적분-가능 함수(integrable functions)의 클래스로 발생하고, 몇 가지 동등한 특성을 가집니다. 조절된 함수는 1949년 니콜라 부르바키(Nicolas Bourbaki)에 의해 그의 책 "Livre IV: Fonctions d'une variable réelle"에서 소개되었습니다.

Definition

X를 노름 \(\| - \|_X\)을 갖는 바나흐 공간(Banach space)으로 놓습니다. 함수 f : [0, T] → X는 만약 다음 두 동등한 조건 중 하나 (및 따라서 둘 다)가 참으로 유지되면 조절된 함수라고 말합니다:

구간(interval_ [0, T]에서 모든 각 t에 대해, 왼쪽과 오른쪽 극한(left and right limits) f(t−)과 f(t+) 둘 다가 X에서 존재합니다 (분명하게, f(0−)와 f(T+)와는 별개로);
f에 균등하게 수렴하는(converging uniformly) (즉, 상한 노름(supremum norm) \(\| - \|_{\infty}\)에 관한) 계단 함수(step function)의 수열(sequence) \(\varphi_n : [0, T] \to X\)이 존재합니다.

이들 두 조건이 동등하다는 것을 보여주기 위해 약간의 작업이 필요합니다. 어쨌든, 두 번째 조건이 다음과 같은 동등한 방법에서 다시 기술될 수 있음을 상대적으로 쉽게 알 수 있습니다:

모든 각 δ > 0에 대해, 다음을 만족하는 일부 계단 함수 \(\varphi_{\delta} : [0, T] \to X\)가 있습니다:
- \(\| f - \varphi_\delta \|_\infty = \sup_{t \in [0, T]} \| f(t) - \varphi_\delta (t) \|_X < \delta;\)
f는 [0, T]에서 X로의 모든 계단 함수의 공간 Step([0, T]; X)의 클로저(closure) 안에 놓입니다 ([0, T]에서 X로의 모든 경계진 함수의 공간 B([0, T]; X)에서 상한 노름에 관한 클로저를 취합니다).

Properties of regulated functions

Reg([0, T]; X)가 모든 조절된 함수 f : [0, T] → X의 집합(set)을 표시한다고 놓습니다.

조절된 함수의 합과 스칼라 배수는 다시 조절된 함수입니다. 다시 말해서, Reg([0, T]; X)는 공간 X와 같은 필드(field) K에 걸쳐 벡터 공간(vector space)입니다; 전형적으로 K는 실수(real) 또는 복소수(complex number)일 것입니다. 만약 X가 곱셈 연산을 갖추고 있다면, 조절된 함수의 곱은 다시 조절된 함수입니다. 다시 말해서, 만약 X가 K-대수(algebra)이면 Reg([0, T]; X)도 마찬가지입니다.
상한 노름은 Reg([0, T]; X)에서 노름(norm)이고, Reg([0, T]; X)는 상한 노름에 의해 유도된 토폴로지에 관한 토폴로지적 벡터 공간(topological vector space)입니다.
위에서 언급했듯이, Reg([0, T]; X)는 상한 노름에 관한 Step([0, T]; X)의 B([0, T]; X)에서 클로저입니다.
만약 X가 바나흐 공간(Banach space)이면, Reg([0, T]; X)는 역시 상한 노름에 관한 바나흐 공간입니다.
Reg([0, T]; R)는 무한-차원 실수 바나흐 대수(Banach algebra)를 형성합니다: 조절된 함수의 유한 선형 조합과 곱은 다시 조절된 함수입니다.
컴팩트 공간(compact space) (예를 들어, [0, T]) 위에 정의된 연속 함수(continuous function)는 자동으로 균등하게 연속(uniformly continuous)이므로, 모든 각 연속 함수 f : [0, T] → X는 역시 조절된 것입니다. 사실, 상한 노름에 관해, 연속 함수의 공간 \(C^0([0, T];X)\)은 Reg([0, T]; X)의 닫힌(closed) 선형 부분공간(linear subspace)입니다.
만약 X가 바나흐 공간(Banach space)이면, 경계진 변화(bounded variation)의 함수의 공간 BV([0, T]; X)는 Reg([0, T]; X)의 조밀한(dense) 선형 부분공간을 형성합니다:
- \(\mathrm{Reg}([0, T]; X) = \overline{\mathrm{BV} ([0, T]; X)} \mbox{ w.r.t. } \| \cdot \|_{\infty}.\)

만약 X가 바나흐 공간이면, 함수 f : [0, T] → X가 조절된 것과 그것이 일부 φ에 대해 경계진 φ-변동(bounded φ-variation)의 것은 필요충분(iff) 조건입니다:
- \(\mathrm{Reg}([0, T]; X) = \bigcup_{\varphi} \mathrm{BV}_{\varphi} ([0, T]; X).\)

만약 X가 분리-가능(separable) 힐베르트 공간(Hilbert space)이면, Reg([0, T]; X)는 프랑코바–헬리 선택 정리(Fraňková–Helly selection theorem)로 알려진 컴팩트성 정리를 만족시킵니다.
경계진 변화(bounded variation) BV의 조절된 함수의 불연속성(discontinuities)의 집합은 불연속성의 오직 도약-유형을 가지는 그러한 함수에 대해 셀-수-있는(countable) 것입니다. 이것을 보이기 위해 ϵ > 0 가 주어지면, 오른쪽과 왼쪽 극한이 ϵ 이상으로 다른 점의 집합은 유한이라는 점을 주목하는 것으로 충분합니다. 특히, 불연속성 집합은 측정 영(measure zero)을 가지며, 이로부터 조절된 함수는 잘-정의된 리만 적분(Riemann integral)을 가짐을 따릅니다.
주목: 베르 카테고리 정리에 의해, 그러한 함수 \(F_{\sigma}\)의 불연속성의 점의 집합은 마른 것이거나 비-빈 내부를 가집니다. 이것은 항상 셈-가능성과 동등하지는 않습니다.
명백한 방법으로 계단 함수에 정의된 적분은 조절된 함수의 적분을 그것에 균등하게 수렴하는 계단 함수의 임의의 수열의 적분의 극한으로 정의함으로써 Reg([0, T]; X)로 자연스럽게 확장됩니다. 이 확장은 잘-정의된(well-defined) 것이고 적분의 보통 속성의 모두를 만족시킵니다. 특히, 조절된 적분(regulated integral)은
- Reg([0, T]; X)에서 X로의 경계진 선형 함수(bounded linear function)입니다; 따라서, X = R 경우에서, 그 적분은 Reg([0, T]; R)에 이중인 공간의 원소입니다;
- 리만 적분(Riemann integral)과 부합합니다.

References

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