대수학(algebra)에서, 다음과 같은
\(\quad\displaystyle p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n, \,\!\)
임의의 필드(field)로부터 계수를 갖는 차수 n의 다항식(polynomial) p의 상반 다항식(reciprocal polynomial) 또는 반사 다항식(reflected polynomial) \(p^{*}\) 또는 \(p^R\)은 다음 다항식입니다:
\(\quad\displaystyle p^*(x) = a_n + a_{n-1}x + \cdots + a_0x^n = x^n p(x^{-1}).\)
본질적으로, 계수는 반대 순서으로 쓰입니다. 그것들은 행렬의 역(inverse of a matrix)의 특성 다항식(characteristic polynomial)으로 선형 대수(linear algebra)에서 자연적으로 발생합니다.
다항식(polynomial) p가 복소(complex) 계수를 갖는 특별한 경우에서, 즉,
\(\quad\displaystyle p(z) = a_0 + a_1z + a_2z^2 + \cdots + a_nz^n, \,\!\)
다음에 의해 제공된, 켤레 상반 다항식, \(p^{\dagger}\)은
\(\quad\displaystyle p^{\dagger}(z) = \overline{a_n} + \overline{a_{n-1}}z + \cdots + \overline{a_0}z^n = z^n\overline{p(\bar{z}^{-1})},\)
여기서 \(\displaystyle \overline{a_i}\)는 \(\displaystyle a_i \,\!\)의 복소 켤레(complex conjugate)를 나타내며, 혼동이 발생하지 않을 때, 역시 상반 다항식으로 불립니다.
다항식 p는 만약 \(p(x)=p^{*}(x)\)이면 자기-상반(self-reciprocal) 또는 회문(palindromic)으로 불립니다. 자기-상반 다항식의 계수는 \(a_i=a_{n-i}\)를 만족시킵니다. 켤레 상반 경우에서, 계수는 반드시 조건을 만족시키기 위해 실수(real)여야 합니다.
Properties
상반 다항식은 다음을 포함하여 원래 다항식과 여러 연결을 가집니다:
- \(p(x)=x^n p^{*} (x^{-1})\)
- α가 다항식 p의 근인 것과 \(\alpha^{-1}\)가 \(p^{*}\)의 근인 것은 필요충분 조건입니다.
- 만약 p(x) ≠ x이면 p가 기약(irreducible)인 것과 \(p^{*}\)가 기약인 것은 필요충분 조건입니다.
- p가 원시(primitive)인 것과 \(p^{*}\)가 원시인 것은 필요충분 조건입니다.
상반 다항식의 다른 속성은 얻어질 수 있습니다: 예를 들어,
- 만약 다항식이 자기-상반이고 기약이면 그것은 반드시 짝수 차수를 가져야 합니다.
Palindromic and antipalindromic polynomials
자기-상반 다항식은 역시 회문으로 불리는데 왜냐하면 그것의 계수는, 다항식이 올라가는 또는 내려가는 거듭제곱의 순서로 쓰일 때, 회문(palindrome)을 형성하기 때문입니다. 즉, 만약 다음이 차수(degree) n의 다항식이면,
\(\quad\displaystyle P(x) = \sum_{i=0}^n a_ix^i\)
P는 i = 0, 1, ..., n에 대해 \(a_i=a_{n-i}\)이면 회문입니다. 일부 저자는 용어 회문과 상반을 서로 교환-가능하게 사용합니다.
비슷하게, 차수 n의 다항식, P는 i = 0, 1, ... n에 대해 \(a_i=-a_{n-i}\)이면 역회문(antipalindromic)이라고 불립니다. 즉, 다항식 P는 \(P(x)=-P^{*}(x)\)이면 역회문입니다.
Examples
이항 계수(binomial coefficient)의 속성으로부터, 다항식 \(P(x)=(x+1)^n\)은 모든 양의 정수 n에 대해 회문이지만, 다항식 \(Q(x)=(x-1)^n\)은 n이 짝수일 때 회문이고 n이 홀수일 때 역회문을 따릅니다.
역회문 다항식의 다른 예제는 원분 다항식(cyclotomic polynomial)과 오일러 다항식(Eulerian polynomial)을 포함합니다.
Properties
- 만약 a가 회문 또는 역회문인 다항식의 근이면, \(\tfrac{1}{a}\)이 역시 근이고 같은 중복도(multiplicity)를 가집니다.
- 그 역도 참입니다: 만약 다항식이 a가 근이면 \(\tfrac{1}{a}\)이 역시 근이고 같은 중복도(multiplicity)를 가짐을 만족하는 것이면, 다항식은 회문 또는 역회문입니다.
- 임의의 다항식 q에 대해, 다항식 \(q+q^{*}\)은 회문이고 다항식 \(q-q^{*}\)은 역회문입니다.
- 임의의 다항식 q는 회문과 역회문 다항식의 합으로 쓸 수 있습니다.
- 두 회문 또는 역회문 다항식의 곱은 회문입니다.
- 회문 다항식과 역회문 다항식의 곱은 역회문입니다.
- 홀수 차수의 회문 다항식은 x + 1의 배수 (근으로 –1을 가짐)이고 x + 1에 의한 그것은 몫은 역시 회문입니다.
- 역회문 다항식은 x – 1의 배수 (근으로 1을 가짐)이고 x – 1에 의한 몫은 회문입니다.
- 짝수 차수의 역회문 다항식은 \(x^2-1\)의 배수 (근으로 −1과 1을 가짐)이고 \(x^2-1\)에 의한 몫은 회문입니다.
- 만약 p(x)가 짝수 차수 2d의 회문 다항식이면, \(p(x)=x^d q(x+\tfrac{1}{x})\)을 만족하는 차수 d의 다항식 q가 있습니다 (Durand 1961).
- 만약 p(x)가 홀수 특성(characteristic)을 갖는 필드 k에 걸쳐 짝수 차수 2d의 일계수 역회문 다항식이면, 그것은 \(p(x)=x^d (Q(x)-Q(\tfrac{1}{x}))\)로 고유하게 쓸 수 있으며, 여기서 Q는 상수 항을 갖지 않는 차수 d의 일계수 다항식입니다.
- 만약 역회문 다항식 P가 짝수 차수 2n이면, 그것의 (거듭제곱 n의) "중앙" 계수는 0인데 왜냐하면 \(a_n = -a_{2n-n}\)이기 때문입니다.
Real coefficients
그것의 모든 복소수(complex) 근이 복소 평면(complex plane)에서 단위 원 위에 놓이는 실수(real) 계수를 갖는 다항식 (모든 근은 단일모듈러입니다)은 회문 또는 역회문입니다.
Conjugate reciprocal polynomials
다항식은 단위 원(unit circle) 위의 스케일 인수 ω에 대해 만약 \(\displaystyle p(x) \equiv p^{\dagger}(x)\)이면 켤레 상반(conjugate reciprocal)이고 만약 \(\displaystyle p(x) = \omega p^{\dagger}(x)\)이면 자기-반전(self-inversive)입니다.
만약 p(z)가 \(|z_0|=1, z_0 \neq 1\)를 갖는 \(z_0\)의 최소 다항식(minimal polynomial)이고, p(z)가 실수(real) 계수를 가지면, p(z)는 자기-상반입니다. 이것은 다음이기 때문에 따릅니다:
\(\quad\displaystyle z_0^n\overline{p(1/\bar{z_0})} = z_0^n\overline{p(z_0)} = z_0^n\bar{0} = 0.\)
그래서 \(z_0\)는 차수 n를 가지는 다항식 \(\displaystyle z^n\overline{p(\bar{z}^{-1})}\)의 근입니다. 그러나, 최소 다항식은 고유하며, 일부 상수 c, 즉, \(\displaystyle ca_i=\overline{a_{n-i}}=a_{n-i}\)에 대해, 따라서
\(\quad\displaystyle cp(z) = z^n\overline{p(\bar{z}^{-1})}\).
i = 0에서 n까지 합하고 1은 p의 근이 아님에 주목하십시오. 우리는 c = 1이라고 결론짓습니다.
결과는 원분 다항식(cyclotomic polynomial) \(\Phi_n\)은 n > 1에 대해 자기-상반이라는 것입니다. 이것은 형식 \(x^{11}\pm 1, x^{13} \pm 1, x^{15} \pm 1\), 및 \(x^{21}\pm 1\)의 숫자를, 각각, 5, 6, 4 및 6 차수의 다항식을 사용함으로써 대수적 인수의 이점을 취하는 인수화되는 것을 허용하기 위해 특수 숫자 필드 체(special number field sieve)에서 사용됩니다 – 지수의 φ (오일러의 토션트 함수(Euler's totient function))는 10, 12, 8 및 12입니다.
Application in coding theory
상반 다항식은 순환 오류 수정 코드(cyclic error correcting codes)의 이론에서 사용을 찾습니다. \(x^n-1\)이 두 다항식의 곱, 말하자면 \(x^n-1=g(x)p(x)\)으로 인수화될 수 있음을 가정합니다. g(x)가 순환 코드 C를 생성할 때, 상반 다항식 \(p^{*}\)는 \(C^{\perp}\), C의 직교 여(orthogonal complement)를 생성합니다. 역시, C가 자기-직교 (즉, \(C \subseteq C^{\perp}\))인 것과 \(p^{*}\)가 g(x)를 나누는 것은 필요충분 조건입니다.
References
- Pless, Vera (1990), Introduction to the Theory of Error Correcting Codes (2nd ed.), New York: Wiley-Interscience, ISBN 0-471-61884-5
- Roman, Steven (1995), Field Theory, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-94408-7
- Émile Durand (1961) Solutions numériques des équations algrébriques I, Masson et Cie: XV - polynômes dont les coefficients sont symétriques ou antisymétriques, p. 140-141.
External links
- "The Fundamental Theorem for Palindromic Polynomials". MathPages.com.
- Reciprocal Polynomial (on MathWorld)
