기하학(geometry)에서, 실수 투영 직선(real projective line)은 실수(real number)에 걸쳐 투영 직선(projective line)입니다. 그것은 시각적 원근법(perspective)에 의해 설정된 문제를 해결하기 위해 역사적으로 도입되어 온 직선(line)의 보통의 개념의 확장입니다: 둘의 평행 직선(parallel lines)은 교차하지 않지만 "무한대에서" 교차하는 것처럼 보입니다. 이 문제를 해결하기 위해, 무한대에서 점(points at infinity)은 실수 투영 평면(real projective plane)에서, 둘의 구별되는 투영 직선이 정확하게 한 점에서 만나는 그러한 방법에서 도입되어 왔습니다. 무한대에서 이들 점들의 집합, 평면에서 시각적 원근법의 "수평선"은 실수 투영 직선입니다. 그것은 반대 방향이 식별됨과 함께 임의의 점에 위치된 관찰자로부터 나오는 방향의 집합입니다.
실수 투영 직선의 예제는 종종 그 투영 직선이라고 불리는 투영적으로 확장된 실수 직선(projectively extended real line)입니다.
공식적으로, 실수 투영 직선 P(R)은 실수에 걸쳐 이-차원 벡터 공간의 모든 일-차원 선형 부분공간의 집합으로 정의됩니다. 실제 투영 직선의 자기동형(automorphism)은 투영 변환(projective transformation), 호모그래피(homographies), 또는 선형 분수 변환(linear fractional transformation)이라고 불립니다. 그것들은 투영 선형 그룹(projective linear group) PGL(2, R)을 형성합니다. PGL(2, R)의 각 원소는 비-특이(nonsingular) 2×2 실수 행렬에 의해 정의될 수 있고, 만약 하나가 다른 하나와 비-영 실수의 곱이면 두 행렬은 PGL(2, R)의 같은 원소를 정의합니다.
토폴로지적으로, 실수 투영 직선은 원(circle)과 위상동형적(homeomorphic)입니다. 실수 투영 직선의 복소 아날로그는 복소 투영 직선(complex projective line)입니다; 즉, 리만 구(Riemann sphere)입니다.
Definition
실수 투영 직선의 점은 보통 동치 관계(equivalence relation)의 동치 클래스(equivalence class)로 정의됩니다. 시작하는 점은 차원 2의 실수 벡터 공간(real vector space), V입니다. v = tw를 만족하는 비-영 실수 t가 존재할 때 유지하기 위해 V ∖ 0 위에 이진 관계(binary relation) v ~ w를 정의합니다. 벡터 공간의 정의는 이것이 동치 관계임을 거의 즉시 암시합니다. 동치 클래스는 영 벡터가 제거된 벡터 직선입니다. 실수 투영 직선 P(V)는 모든 동치 클래스의 집합입니다. 각 동치 클래스는 단일 점으로 고려됩니다. 즉, 하나의 점은 동치 클래스로 정의됩니다.
만약 우리가 V의 기저를 선택하면, 이것은 직접 곱 R × R = \(\mathbf{R}^2\)를 갖는 V를 식별하기에 (하나의 벡터를 좌표 벡터(coordinates vector(로 식별함으로써) 이르고, 동치 관계는 만약 (x, y) = (tw, tz)를 만족하는 비-영 실수 t가 존재하면 (x, y) ~ (w, z)이 됩니다. 이 경우에서, 투영 직선 \(\mathbf{P}(\mathbf{R}^2)\)은 선호되게 \(\mathbf{P}^1(\mathbf{R})\) 또는 \(\displaystyle \mathbb{R}\mathbb{P}^1\)로 표시됩니다. 쌍 (x, y)의 동치 클래스는 전통적으로 [x: y]로 표시되며, 표기법에서 콜론은, y ≠ 0이면, 비율(ratio) x : y가 동치 클래스의 모든 원소에 대해 같음을 상기합니다. 만약 점 P가 동치 클래스 [x: y]이면, 우리는 (x, y)가 P의 투영 좌표(projective coordinates)의 쌍이라고 말합니다.
P(V)가 동치 관계를 통해 정의되는 것처럼, V에서 P(V)로의 정식의 투영(canonical projection)은 토폴로지 (몫 포톨로지(quotient topology))와 투영 직선 위의 미분 구조(differential structure)를 정의합니다. 어쨌든, 동치 클래스가 유한하지 않다는 사실은 미분 구조를 정의하는 데 약간의 어려움을 야기합니다. 이것들은 V를 유클리드 벡터 공간(Euclidean vector space)으로 고려함으로써 해결됩니다. 단위 벡터(unit vector)의 원(circle)은, \(\mathbf{R}^2\)의 경우에서, 그것의 좌표가 \(x^2+y^2=1\)을 만족시키는 벡터의 집합입니다. 이 원은 정확하게 둘의 반대 점에서 각 동치 클래스와 교차합니다. 그러므로, 투영 직선은 v ~ w를 만족하는 동치 관계에 의해 원의 몫 공간으로 고려될 수 있는 것과 v = w 또는 v = −w인 것은 필요충분 조건입니다.
Charts
투영 직선은 매니폴드(manifold)입니다. 이것은 동치 관계를 통해 위의 구성으로 알 수 있지만, 다음 둘의 차트(charts)로 구성된 아틀라스(atlas)를 제공함으로써 이해하는 것은 쉽습니다:
- 차트 #1: \(\displaystyle y\ne 0, \quad [x: y] \mapsto \frac {x}{y}\)
- 차트 #2: \(\displaystyle x\ne 0, \quad [x: y] \mapsto \frac {y}{x}\)
동치 관계는 동치 클래스의 모든 대표가 차트에 의해 같은 실수로 전송됨을 제공합니다.
x 또는 y 중 하나는 영일 수 있지만, 둘 다는 아닐 수 있으므로, 차트 둘 다는 투영 직선을 덮어야 합니다. 이들 두 차트 사이의 전이 맵(transition map)은 곱셈 역(multiplicative inverse)입니다. 만약 그것이 미분-가능 함수(differentiable function)이고, 심지어 해석적 함수(analytic function) (영 외부)이기 때문에, 실수 투영 직선은 미분-가능 매니폴드(differentiable manifold)이고 해석적 매니폴드(analytic manifold)입니다.
차트 #1의 역함수(inverse function)는 다음 맵입니다:
\(\quad\displaystyle x \mapsto [x: 1].\)
그것은 투영 직선에 실수 직선(real line)의 삽입(embedding)을 정의하며, 그 이미지의 여집합은 점 [1: 0]입니다. 이 삽입과 투영 직선으로 구성된 쌍은 투영적으로 확장된 실수 직선(projectively extended real line)이라고 불립니다. 이 삽입에 의해 실수 직선을 이미지로 식별하면, 우리는 투영 직선이 실수 직선과 투영적으로 확장된 실수 직선의 무한대에서 점(point at infinity)이라고 불리고 ∞로 표시되는 단일 점 [1: 0]의 합집합으로 고려될 수 있음을 알 수 있습니다. 이 삽입은 점 [x: y]를 만약 y ≠ 0이면 실수 \(\tfrac{x}{y}\)로, 또는 다른 경우에서 ∞로 식별하는 것을 허용합니다.
같은 구성은 다른 차트에서 수행될 수 있습니다. 이 경우에서, 무한대에서 점은 [0: 1]입니다. 이것은 무한대에서 점의 개념이 실수 투영 직선에 본질적인 것이 아니라, 실수 직선의 삽입을 투영 직선으로의 선택과 관련되어 있음을 보여줍니다.
Structure
실수 투영 직선은 실수 투영 평면과 복소 투영 직선에서 발견되는 완비(complete) 투영 범위(projective range)입니다. 그 구조는 따라서 이들 초월구조에서 상속됩니다. 이들 구조 중 주요는 투영 범위의 점 사이의 투영 조화 켤레(projective harmonic conjugates)의 관계입니다.
실수 투영 직선은 실수의 보통 순서를 확장하는 순환 순서(cyclic order)를 가집니다.
Automorphisms
The projective linear group and its action
행렬-벡터 곱셈은 열 벡터의 공간 \(\mathbf{R}^2\) 위에 \(\text{GL}_2(\mathbf{R})\)의 왼쪽 동작을 정의합니다: 명시적으로,
\(\quad\displaystyle \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax+by \\ cx+dy \end{pmatrix}.\)
\(\text{GL}_2(\mathbf{R})\)에서 각 행렬은 영 벡터를 고정하고 비례 벡터를 비례 벡터에 매핑하기 때문에, \(\mathbf{P}^1(\mathbf{R})\) 위에 \(\text{GL}_2(\mathbf{R})\)의 유도된 동작이 있습니다: 명시적으로,
\(\quad\displaystyle \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} [x:y] = [ ax+by : cx+dy ].\)
(여기와 아래에서, 동차 좌표에 대해 표기법 \(\displaystyle [x:y]\)은 열 벡터(column matrix) \(\displaystyle \textstyle \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\)의 동치 클래스를 나타냅니다; 그것은 행 벡터(row matrix) \(\displaystyle [x\;y]\)와 혼동되어서는 안됩니다.)
\(\mathbf{P}^1(\mathbf{R})\) 위에 자명하게 동작하는 \(\text{GL}_2(\mathbf{R})\)의 원소는 항등 행렬의 비-영 스칼라 배수입니다; 이것들은 \(\mathbf{R}^{\times}\)로 표시되는 부분그룹을 형성합니다. 투영 선형 그룹(projective linear group)은 몫 그룹(quotient group) \(\text{PGL}_2(\mathbf{R}) = \text{GL}_2(\mathbf{R})/\mathbf{R}^{\times}\)으로 정의됩니다. 위쪽에 의해, \(\mathbf{P}^1(\mathbf{R})\) 위에 \(\text{PGL}_2(\mathbf{R})\)의 유도된 충실한 동작이 있습니다. 이러한 이유로, 그룹 \(\text{PGL}_2(\mathbf{R})\)은 역시 \(\mathbf{P}^1(\mathbf{R})\)의 선형 자기동형의 그룹이라고 불릴 수 있습니다.
Linear fractional transformations
x를 [x:1]로 보내고 ∞를 [1:0]로 보내는 항등관계 \(\mathbf{R} \cup \infty \to \mathbf{P}^1(\mathbf{R})\)를 사용하여, 우리는 선형 함수형 변환(linear fractional transformation)에 의한 것인 \(\mathbf{R} \cup \infty\) 위에 \(\text{PGL}_2(\mathbf{R})\)의 대응하는 동작을 얻습니다: 명시적으로, 다음이기 때문에
\(\quad\displaystyle \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} [x:1] = [ ax+b : cx+d ] \quad \mathrm{and} \quad \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} [1:0] = [ a : c],\)
분모 0을 갖는 각 분수는 ∞로 해석되어야 한다는 이해와 함께, \(\text{PGL}_2(\mathbf{R})\)에서 \(\displaystyle \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\)의 클래스는 \(\displaystyle x \mapsto \frac{ax+b}{cx+d}\)와 \(\displaystyle \infty \mapsto \frac{a}{c}\)로 동작합니다.
Properties
- \(\mathbf{P}^1(\mathbf{R})\)에서 구별되는 점의 둘의 순서화된 세-쌍이 주어지면, 첫 번째 세-쌍을 두 번째로 매핑하는 \(\text{PGL}_2(\mathbf{R})\)의 고유한 원소가 존재합니다; 즉, 그 동작은 날카로운 3-전이(sharply 3-transitive)입니다. 예를 들어, (0, 1, ∞) 를 (−1, 0, 1)로 매핑하는 선형 함수형 변환은 케일리 변환(Cayley transform) \(\displaystyle x\mapsto \frac{x-1}{x+1}\)입니다.
- 점 ∞의 \(\text{PGL}_2(\mathbf{R})\)에서 안정기(stabilizer)는 모든 \(a \in \mathbf{R}^{\times}\)와 b ∈ R에 대해 변환 \(\displaystyle x \mapsto ax+b\)으로 구성되는 실수 직선의 아핀 그룹(affine group)입니다.
References
- Juan Carlos Alvarez (2000) The Real Projective Line, course content from New York University.
- Santiago Cañez (2014) Notes on Projective Geometry from Northwestern University.
