(번역) Orthogonal basis

Original article: w:Orthogonal basis

 

수학(mathematics), 특히 선형 대수(linear algebra)에서, 안의 곱 공간  ${\displaystyle V}$에 대한 직교 기저(orthogonal basis)는 그 벡터가 서로 직교(orthogonal)하는 ${\displaystyle V}$에 대한 기저(basis)입니다. 만약 직교 기저의 벡터가 정규화되면, 결과 기저는 직교정규 기저(orthonormal basis)입니다.

As coordinates

임의의 직교 기저는 직교 좌표(orthogonal coordinates)의 시스템 ${\displaystyle V}$을 정의하기 위해 사용될 수 있습니다. 직교 (반드시 직교정규일 필요는 없음) 기저는 유클리드 공간뿐만 아니라 리만 매니폴드와 유사-리만 매니폴드에서 곡선(curvilinear) 직교 좌표로부터 그것들의 출현으로 인해 중요합니다.

In functional analysis

함수형 해석(functional analysis)에서, 직교 기저는 비-영 스칼라(scalars)에 의한 곱셈을 사용하여 직교정규 기저 (또는 힐베르트 기저)으로부터 얻은 임의의 기저입니다.

Extensions

Symmetric bilinear form

직교 기저의 개념은 대칭 쌍선형 형식(symmetric bilinear form) ${\displaystyle ⟨\cdot ,\cdot ⟩}$이 장착된 (임의의 필드(field)에 걸쳐) 벡터 공간(vector space) ${\displaystyle V}$에 적용할 수 있으며, 여기서 두 벡터 ${\displaystyle v}$와 ${\displaystyle w}$의 직교성(orthogonality)은 ${\displaystyle ⟨v,w⟩=0}$임을 의미합니다. 직교 기저 ${\displaystyle \left\{e_k\right\}}$에 대해:

${\displaystyle ⟨e_j,e_k⟩=\{\begin{array}{ll}q(e_k)& j=k\\ 0& j\ne k,\end{array}}$

여기서 ${\displaystyle q}$는 (안의 곱 공간, ${\displaystyle q(v)=\Vert v{\Vert }^2}$에서) ${\displaystyle ⟨\cdot ,\cdot ⟩}$와 결합된 이차 형식(quadratic form):  ${\displaystyle q(v)=⟨v,v⟩}$입니다.

따라서 직교 기저 ${\displaystyle \left\{e_k\right\}}$에 대해, 

${\displaystyle ⟨v,w⟩=\sum _{k}q(e_k)v^k{w}^k,}$

여기서 ${\displaystyle v_k}$와 ${\displaystyle w_k}$는 기저에서 ${\displaystyle v}$와 ${\displaystyle w}$의 성분입니다.

Quadratic form

직교성의 개념은 이차 형식 ${\displaystyle q(v)}$가 장착된 (임의의 필드에 걸쳐) 벡터 공간으로 확장될 수 있습니다. 놓여있는 필드의 특성이 2가 아닐 때, 결합된 대칭 쌍선형 형식 ${\displaystyle ⟨v,w⟩=\frac{1}{2}(q(v+w)-q(v)-q(w))}$은 벡터 ${\displaystyle v}$와 ${\displaystyle w}$를 ${\displaystyle q(v+w)-q(v)-q(w)=0}$일 때 ${\displaystyle q}$에 관해 직교인 것으로 정의될 수 있다는 관찰에서 시작합니다.

See also

• Basis (linear algebra) – Set of vectors used to define coordinates
• Orthonormal basis – Specific linear basis (mathematics)
• Orthonormal frame – Geometric structure that generalizes the Euclidean space

References

• Lang, Serge (2004), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Corrected fourth printing, revised third ed.), New York: Springer-Verlag, pp. 572–585, ISBN 978-0-387-95385-4
• Milnor, J.; Husemoller, D. (1973). Symmetric Bilinear Forms. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Vol. 73. Springer-Verlag. p. 6. ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016.

External links

 

• Weisstein, Eric W. "Orthogonal Basis". MathWorld.