수학(mathematics), 특히 선형 대수(linear algebra)에서, 안의 곱 공간 \(\displaystyle V\)에 대한 직교 기저(orthogonal basis)는 그 벡터가 서로 직교(orthogonal)하는 \(\displaystyle V\)에 대한 기저(basis)입니다. 만약 직교 기저의 벡터가 정규화되면, 결과 기저는 직교정규 기저(orthonormal basis)입니다.
As coordinates
임의의 직교 기저는 직교 좌표(orthogonal coordinates)의 시스템 \(\displaystyle V\)을 정의하기 위해 사용될 수 있습니다. 직교 (반드시 직교정규일 필요는 없음) 기저는 유클리드 공간뿐만 아니라 리만 매니폴드와 유사-리만 매니폴드에서 곡선(curvilinear) 직교 좌표로부터 그것들의 출현으로 인해 중요합니다.
In functional analysis
함수형 해석(functional analysis)에서, 직교 기저는 비-영 스칼라(scalars)에 의한 곱셈을 사용하여 직교정규 기저 (또는 힐베르트 기저)으로부터 얻은 임의의 기저입니다.
Extensions
Symmetric bilinear form
직교 기저의 개념은 대칭 쌍선형 형식(symmetric bilinear form) \(\displaystyle \langle \cdot, \cdot \rangle\)이 장착된 (임의의 필드(field)에 걸쳐) 벡터 공간(vector space) \(\displaystyle V\)에 적용할 수 있으며, 여기서 두 벡터 \(\displaystyle v\)와 \(\displaystyle w\)의 직교성(orthogonality)은 \(\displaystyle \langle v, w \rangle = 0\)임을 의미합니다. 직교 기저 \(\displaystyle \left\{e_k\right\}\)에 대해:
\(\quad\displaystyle \langle e_j, e_k\rangle =
\begin{cases}
q(e_k) & j = k \\
0 & j \neq k,
\end{cases}\)
여기서 \(\displaystyle q\)는 (안의 곱 공간, \(\displaystyle q(v) = \|v\|^2\)에서) \(\displaystyle \langle \cdot, \cdot \rangle\)와 결합된 이차 형식(quadratic form): \(\displaystyle q(v) = \langle v, v \rangle\)입니다.
따라서 직교 기저 \(\displaystyle \left\{e_k\right\}\)에 대해,
\(\quad\displaystyle \langle v, w \rangle = \sum_k q(e_k) v^k w^k,\)
여기서 \(\displaystyle v_k\)와 \(\displaystyle w_k\)는 기저에서 \(\displaystyle v\)와 \(\displaystyle w\)의 성분입니다.
Quadratic form
직교성의 개념은 이차 형식 \(\displaystyle q(v)\)가 장착된 (임의의 필드에 걸쳐) 벡터 공간으로 확장될 수 있습니다. 놓여있는 필드의 특성이 2가 아닐 때, 결합된 대칭 쌍선형 형식 \(\displaystyle \langle v, w \rangle = \tfrac{1}{2}(q(v+w) - q(v) - q(w))\)은 벡터 \(\displaystyle v\)와 \(\displaystyle w\)를 \(\displaystyle q(v+w) - q(v) - q(w) = 0\)일 때 \(\displaystyle q\)에 관해 직교인 것으로 정의될 수 있다는 관찰에서 시작합니다.
See also
- Basis (linear algebra) – Set of vectors used to define coordinates
- Orthonormal basis – Specific linear basis (mathematics)
- Orthonormal frame – Geometric structure that generalizes the Euclidean space
References
- Lang, Serge (2004), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Corrected fourth printing, revised third ed.), New York: Springer-Verlag, pp. 572–585, ISBN 978-0-387-95385-4
- Milnor, J.; Husemoller, D. (1973). Symmetric Bilinear Forms. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Vol. 73. Springer-Verlag. p. 6. ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016.
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