본문 바로가기
영문 위키피디아 번역

(번역) Numerical integration

by 다움위키 2024. 3. 13.

 

해석학(analysis)에서, 수치적 적분화(numerical integration)는 한정 적분(integral)의 수치적 값을 계산하기 위한 알고리듬(algorithm)의 광범위한 가족을 구성하고, 확장에 의해, 그 용어는 역시 때때로 미분 방정식의 수치적 해를 설명하기 위해 사용됩니다. 이 기사는 한정 적분의 계산에 초점을 맞춥니다.

용어 수치적 구적법(numerical quadrature) (종종 구적법(quadrature)으로 약칭됨)는, 특히 일-차원 적분에 적용될 때, 다소 수치적 적분화(numerical integration)에 대해 동의어입니다. 일부 저자는 일-차원보다 많은 차원에 걸친 수치적 적분화를 큐버처(cubature)로 참조합니다; 다른 사람들은 더 높은 차원의 적분화를 포함하기 위해 구적법(quadrature)을 취합니다.

수치적 적분화에서 기본적인 문제는 주어진 정확도의 정도에 따라 다음 한정 적분에 대한 근사적인 해를 계산하는 것입니다:

\(\quad\displaystyle \int_a^b f(x) \, dx\).

만약 f(x)가 차원의 작은 숫자에 걸쳐 적분된 매끄러운 함수이고, 적분화의 도메인이 경계(bounded)지면, 희망된 정밀도로 적분을 근사하는 것에 대해 많은 방법이 있습니다.

Reasons for numerical integration

역도함수(antiderivative)를 찾음으로써 해석적 적분화를 수행하는 것과 달리, 수치적 적분을 수행하는 데에는 몇 가지 이유가 있습니다:

  1. 기호적으로 역도함수를 찾는 것이 가능할 수 있지만, 역도함수를 계산하는 것보다 수치적 근사를 계산하는 것이 더 쉬울 수 있습니다. 그것들은 역도함수가 무한 급수 또는 곱으로 주어지면, 또는 그것의 평가가 사용할 수 없는 특수 함수(special function)를 요구하면 그 경우일 것입니다.
  2. 피적분에 대해 공식은 알려져 있을 수 있지만, 초등 함수(elementary function)인 역도함수를 찾는 것이 어렵거나 불가능할 수 있습니다. 그러한 피적분의 예제는 \(f(x)=\exp(-x^2)\)이며, 그것의 역도함수 (오차 함수(error function), 곱하기 상수)는 기본 형식(elementary form)으로 쓰일 수 없습니다. 역시 비-기본 적분(nonelementary integral)을 참조하십시오.
  3. 피적분 f(x)는 표본화(sampling)에 의해 획득된 것과 같은 특정 점에서 오직 알려져 있을 수 있습니다. 일부 임베디드 시스템(embedded systems)과 다른 컴퓨터 응용 프로그램은 이 이유에 대해 수치적 적분화가 필요할 수 있습니다.

History

용어 "수치적 적분화(numerical integration)"는 1915년에 처음 데이비드 깁(David Gibb)에 의한 출판물 A Course in Interpolation and Numeric Integration for the Mathematical Laboratory에서 나타났습니다.

구적법(Quadrature)은 넓이를 계산하는 것을 의미하는 역사적인 수학적 용어입니다. 구적법 문제는 수학적 해석학(mathematical analysis)의 주요 원천의 하나로 수행되어 왔습니다. 피타고라스(Pythagorean) 주의에 따르면, 고대 그리스의 수학자들은 같은 넓이(area) (정사각형화)를 가지는 기하학적으로 정사각형(square)을 구성하는 과정으로 넓이의 계산을 이해했습니다. 그것들이 그 과정이 quadrature로 이름 지은 이유입니다. 예를 들어, 원의 구적법(quadrature of the circle), 히포크라테스의 달(Lune of Hippocrates), 포물선의 구적법(The Quadrature of the Parabola)이 있습니다. 이 구성은 오직 컴퍼스와 직선자(compass and straightedge)의 수단에 의해 수행되어야 합니다.

고대 바빌로니아 사람들은 황도(ecliptic)를 따라 목성(Jupiter)의 운동을 적분하기 위해 사다리꼴 규칙(trapezoidal rule)을 사용했습니다.

변 a와 b를 가진 직사각형의 구적법에 대해, 변 \(\displaystyle x =\sqrt {ab}\) (a와 b의 기하 평균(geometric mean))을 가진 정사각형을 구성하는 것이 필연적입니다. 이 목적에 대해, 다음 사실을 사용하는 것이 가능합니다: 만약 우리가 a와 b의 합을 지름으로 가진 원을 그리면, (그들의 연결의 점으로부터 원을 교차하는 점까지) 높이 BH는 그것들의 기하 평균과 같습니다. 유사한 기하학적 구성은 평행사변형과 삼각형에 대해 구적법의 문제를 풉니다.

곡선형(curvilinear) 그림에 대해 구적법의 문제는 훨씬 더 어렵습니다. 컴퍼스와 직선자와 함께 원의 구적법(quadrature of the circle)은 19세기에 불가능한 것으로 입증되었습니다. 그럼에도 불구하고, 일부 그림 (예를 들어 히포크라테스의 달(Lune of Hippocrates))에 대해, 구적법이 수행될 수 있습니다. 아르키메데스(Archimedes)에 의해 수행된 구의 표면과 포물선 부분(parabola segment)의 구적법은 고대 해석학의 가장-높은 성과가 되었습니다.

  • 구의 표면의 넓이는 이 구의 큰 원(great circle)의 원의 넓이의 네 배와 같습니다.
  • 직선에 의해 포물선으로부터 잘린 포물선의 부분의 넓이는 이 부분에 내접된 삼각형 넓이의 4/3입니다.

그 결과의 증명에 대해, 아르키메데스는 에우독소스(Eudoxus)의 소진의 방법(method of exhaustion)을 사용했습니다.

중세 유럽에서, 구적법은 임의의 방법에 의해 넓이의 계산을 의미했습니다. 가장 자주 불가분의 방법(method of indivisibles)이 사용되었습니다; 그것은 덜 엄격했었지만, 더 단순하고 강력했습니다. 그것의 도움과 함께, 갈릴레오 갈릴레이(Galileo Galilei)와 질 두 호베르발(Gilles de Roberval)은 사이클로이드(cycloid) 아치의 넓이를 발견했었고, 그레고와르 데 생-빈센트(Grégoire de Saint-Vincent)는 쌍곡선(hyperbola) 아래의 넓이를 조사했었고 (Opus Geometricum, 1647), 알폰스 안토니오 데 사라사(Alphonse Antonio de Sarasa), 두 세인트-빈센트의 학생이자 주석자는 이 넓이와 로그(logarithm)의 관계에 주목했습니다.

존 월리스(John Wallis)는 이 방법을 대수화했습니다: 그는 자신의 Arithmetica Infinitorum (1656)에서 우리가 지금 한정 적분(definite integral)으로 불리는 급수를 썼었고, 그는 그것들의 값을 계산했습니다. 아이작 배로(Isaac Barrow)와 제임스 그레고리(James Gregory)는 일부 대수적 곡선(algebraic curves)과 나선(spiral)에 대한 구적법을 더 발전시켰습니다. 크리스티안 하위헌스(Christiaan Huygens)는 일부 회전 고체(solids of revolution)의 구적법을 성공적으로 수행했습니다.

세인트-빈센트와 데 사라사에 의해 쌍곡선의 구적법은 결정적인 중요성의 새로운 함수(function), 자연 로그(natural logarithm)를 제공했습니다.

적분 미적분학(integral calculus)의 발명과 함께 넓이 계산에 대해 보편적인 방법이 생겼습니다. 이에 따라, 용어 구적법(quadrature)은 전통이 되어 왔고, 대신에 현대 문구 "일변수 한정 적분의 계산(computation of a univariate definite integral)"은 보다 공통적입니다.

Methods for one-dimensional integrals

수치 적분 방법은 일반적으로 적분에 대한 근사치를 얻기 위해 피적분의 평가를 결합하는 것으로 설명될 수 있습니다. 피적분은 적분화 점이라고 불리는 유한 점의 집합에서 평가되고 이들 값의 가중된 합은 적분을 근사화하기 위해 사용됩니다. 적분화 점과 가중치는 사용된 특정 방법과 근사에서 요구된 정확도에 따라 다릅니다.

임의의 수치 적분 방법의 해석의 중요한 부분은 피적분 평가의 숫자의 함수로 근사 오차의 행동을 연구하기 위한 것입니다. 적은 숫자의 평가에 대해 작은 오류를 산출하는 방법이 보통 우수한 것으로 고려됩니다. 피적분의 평가의 숫자를 줄이는 것은 관련된 산술 연산의 숫자가 줄어들고, 따라서 전체 반올림 오류(round-off error)를 줄입니다. 역시, 각 평가는 시간을 취하고, 피적분은 임의적으로 복잡해질 수 있습니다.

'무차별 대입(brute force)' 유형의 수치 적분화는 만약 피적분자가 매우 작은 증분을 갖는 피적분을 평가함으로써 합리적으로 잘-작동하면 (즉, 조각별(piecewise) 연속(continuous)이고 경계진 변동(bounded variation)이 있으면) 수행될 수 있습니다.

Quadrature rules based on interpolating functions

구적분 규칙의 큰 클래스는 적분하기 쉬운 보간하는(interpolating) 함수를 구성함으로써 파생될 수 있습니다. 전형적으로 이들 보간하는 함수는 다항식(polynomial)입니다. 실제로, 매우 높은 차수의 다항식은 격렬하게 진동하는 경향이 있기 때문에, 전형적으로 선형과 이차의 낮은 차수의 다항식만이 사용됩니다.

이 유형의 가장 간단한 방법은 보간하는 함수를 점 \(\displaystyle  \left( \frac{a+b}{2}, f \left( \frac{a+b}{2} \right)\right) \)을 통과하는 상수 함수 (차수 영의 다항식)로 놓는 것입니다. 이것은 중간점 규칙 또는 직사각형 규칙이라고 불립니다.

\(\quad\displaystyle \int_a^b f(x)\, dx \approx (b-a) f\left(\frac{a+b}{2}\right).\)

보간하는 함수는 점 \(\displaystyle  \left( a, f(a)\right) \)와 \(\displaystyle  \left( b, f(b)\right) \)을 통과하는 직선 (아핀 함수(affine function), 즉, 차수 1의 다항식)일 것입니다. 이것은 사다리꼴 법칙이라고 불립니다

\(\quad\displaystyle \int_a^b f(x)\, dx \approx (b-a) \left(\frac{f(a) + f(b)}{2}\right).\)

이들 규칙 중 하나에 대해, 우리는 구간 \(\displaystyle  [a,b] \)를 어떤 숫자 \(\displaystyle  n \)의 부분구간으로 나눔으로써 더 정확한 근사치를 만들 수 있으며, 각 부분구간에 대해 근삿값을 계산하고, 그런-다음 모든 결과를 합산합니다. 이것은 복합 규칙, 확장 규칙. 또는 반복 규칙이라고 불립니다. 예를 들어, 합성 사다리꼴 규칙은 다음과 같이 말할 수 있습니다:

\(\quad\displaystyle \int_a^b f(x)\, dx \approx 
\frac{b-a}{n} \left( {f(a) \over 2} + \sum_{k=1}^{n-1} \left( f \left( a + k \frac{b-a}{n} \right) \right) + {f(b) \over 2} \right),\)

여기서 부분구간이 \(\displaystyle h = \frac{b - a}{n}\)와 \(\displaystyle k = 0,\ldots,n-1\)을 갖는 형식 \(\displaystyle  [a+k h,a+ (k+1)h] \subset [a,b]\)을 가집니다. 여기서 우리는 같은 길이 \(\displaystyle  h \)의 부분구간을 사용했고 우리는 역시 변하는 길이 \(\displaystyle  \left( h_k \right)_k \)의 구간을 사용할 수 있습니다.

\(\displaystyle  [a,b] \)에서 같은 간격의 점에서 평가된 다항식을 사용한 보간은 뉴턴–코츠 공식(Newton–Cotes formulas)을 산출하며, 직사각형 규칙과 사다리꼴 규칙이 그 예제입니다. 차수 2의 다항식을 기반으로 하는 심슨의 규칙(Simpson's rule)은 역시 뉴턴–코츠 공식입니다.

같은 간격의 점을 갖는 구적법 규칙은 매우 편리한 중첩의 속성을 가지고 있습니다. 각 간격이 세분화된 해당 규칙은 모든 현재 점을 포함하므로, 그들의 피적분 값은 재사용될 수 있습니다.

만약 우리는 보간 점 사이의 구간을 변하게 허용하면, 우리는 가우스 구적분(Gaussian quadrature) 공식과 같은 구적법 공식의 또 다른 그룹을 찾습니다. 가우스 구적법 규칙은 전형적으로 피적분이 매끄러운(smooth) 것이면 (즉, 그것이 충분하게 미분-가능이면), 같은 숫자의 함수 평가를 요구하는 뉴턴–코츠 규칙보다 더 정확합니다. 다양한 구간을 갖는 다른 구적법은 중첩을 수행하는 클렌쇼–커티스 구적법(Clenshaw–Curtis quadrature) (역시 페예르(Fejér) 구적법이라고 함)을 포함합니다.

가우스 구적법 규칙은 중첩되지 않지만, 관련된 가우스–크론로드 구적법 공식(Gauss–Kronrod quadrature formula)은 중첩됩니다.

Generalized midpoint rule formula

일반화된 중간점 규칙 공식은 다음에 의해 제공됩니다:

\(\quad\displaystyle \int_0^1 {f(x) \, dx} = \sum_{m=1}^M {\sum_{n=0}^\infty {\frac{\left({-1}\right)^n+1}{{\left(2M\right)^{n+1}}\left({n+1}\right)!} {{\left. f^{(n)}(x) \right|}_{x=\frac{{m-1/2}}{M}}}}}\)

또는

\(\quad\displaystyle \int_0^1 {f(x) \, dx} = \lim_{N \to \infty} \sum_{m=1}^M {\sum_{n=0}^N {\frac{\left({-1}\right)^n + 1}{{{\left({2M}\right)}^{n+1}}\left({n+1}\right)!} {\left.f^{(n)}(x)\right|_{x=\frac{{m-1/2}}{M}}} }},\)

여기서 \(\displaystyle  f^{(n)}(x) \)는 \(\displaystyle n\)-번째 도함수를 나타냅니다. 예를 들어, 일반화된 중간점 규칙 공식에서 \(\displaystyle  M=1 \)과 다음을 대체하면:

\(\quad\displaystyle f(x) = \frac{\theta}{1+\theta^2 x^2}\)

우리는 다음 역 탄젠트의 방정식을 얻습니다:

\(\quad\displaystyle \tan^{-1}(\theta)
= i\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n-1}\left(\frac{1}{\left(1+2i/\theta\right)^{2n-1}} - \frac{1}{\left(1-2i/\theta\right)^{2n-1}}\right)
= 2\sum_{n=1}^{\infty} {\frac{1}{2n-1}\frac{a_n\left(\theta\right)}{a_{n}^{2}\left(\theta\right) + b_{n}^{2}\left(\theta\right)}},\)

여기서 \(\displaystyle  i=\sqrt{-1} \)는 허수 단위(imaginary unit)이고 다음입니다:

\(\quad\displaystyle \begin{align}
  a_1(\theta) &= \frac{2}{\theta},\\ 
  b_1(\theta) &= 1,\\ 
  a_n(\theta) &= \left(1 - \frac{4}{\theta^2}\right)\,a_{n-1}(\theta) + \frac{4}{\theta}\,b_{n-1}(\theta),\\
  b_n(\theta) &= \left(1 - \frac{4}{\theta^2}\right)\,b_{n-1}(\theta) - \frac{4}{\theta}\,a_{n-1}(\theta).
\end{align}\)

각 홀수 \(\displaystyle  n \)에서 피적분의 분자가 \(\displaystyle  (-1)^n + 1 = 0 \)이 되기 때문에, 일반화된 중간점 규칙 공식은 다음으로 다시 구성될 수 있습니다:

\(\quad\displaystyle \int_0^1 {f(x)\,dx}
= 2\sum_{m=1}^M {\sum_{n=0}^\infty {\frac{1}{{\left(2M\right)^{2n+1}}\left({2n+1}\right)!}{{\left. f^{(2n)}(x) \right|}_{x=\frac{m-1/2}{M}}}}}\,\,.\)

매스매티카 코드의 다음 예제는 \(\displaystyle  M = 5 \)와 \(\displaystyle  N = 10 \)에서 잘린 역 탄젠트와 그것의 근사 사이의 차이를 보여주는 그림을 생성합니다:

f[theta_, x_] := theta/(1 + theta^2 * x^2);

aTan[theta_, M_, nMax_] := 
    2*Sum[(Function[x, Evaluate[D[f[theta, x], {x, 2*n}]]][(m - 1/2)/
        M])/((2*n + 1)!*(2*M)^(2*n + 1)), {m, 1, M}, {n, 0, nMax}];

Plot[{ArcTan[theta] - aTan[theta, 5, 10]}, {theta, -Pi, Pi}, 
 PlotRange -> All]

구간 \(\displaystyle  (a,b) \)에 걸쳐 정의된 함수 \(\displaystyle  g(t) \)에 대해, 그것의 적분은 다음입니다:

\(\quad\displaystyle \int_a^b {g(t) \, dt} = \int_0^{b-a} {g(\tau+a) \, d\tau}= (b-a) \int_0^1 {g((b-a)x+a) \, dx}.\)

그러므로, 우리는 \(\displaystyle  f(x) = (b-a) \, g((b-a)x+a) \)임을 가정함으로써 위의 일반화된 중간점 적분화 공식을 적용할 수 있습니다.

Adaptive algorithms

만약 f(x)는 모든 점에서 많은 도함수를 가지지 않거나, 만약 도함수가 커지게 되면, 가우스 구적법이 종종 불충분합니다. 이 경우에서, 다음과 유사한 알고리듬이 더 잘 수행될 것입니다:

def calculate_definite_integral_of_f(f, initial_step_size):
    """
    This algorithm calculates the definite integral of a function
    from 0 to 1, adaptively, by choosing smaller steps near
    problematic points.
    """
    x = 0.0
    h = initial_step_size
    accumulator = 0.0
    while x < 1.0:
        if x + h > 1.0:
            h = 1.0 - x  # At end of unit interval, adjust last step to end at 1.
        if error_too_big_in_quadrature_of_f_over_range(f, [x, x + h]):
            h = make_h_smaller(h)
        else:
            accumulator += quadrature_of_f_over_range(f, [x, x + h])
            x += h
            if error_too_small_in_quadrature_of_over_range(f, [x, x + h]):
                h = make_h_larger(h)  # Avoid wasting time on tiny steps.
    return accumulator

알고리듬의 일부 세부사항은 신중한 생각을 요구합니다. 많은 경우에 대해, 함수 f(x)에 대해 구간에 걸쳐 구적법에서 오류를 추정하는 것은 분명하지 않습니다. 하나의 인기있는 해결책은 두 가지 다른 구적법의 규칙을 사용하는 것이고, 그것들의 차이를 구적법에서 오차의 추정치로 사용하는 것입니다. 다른 문제는 "너무 큰" 또는 "매우 작은"이 의미하는 것을 결정하는 것입니다. "너무 큼"에 대해 지역적 기준은 구적법 오차가 t ⋅ h보다 더 크지 않아야 한다는 것이며 여기서 t, 실수는 우리가 전역 오차에 대해 설정하기를 원하는 허용 오차입니다. 다시 말하지만, 만약 h가 이미 작으면, 구적법 오차가 분명히 크더라도 더 작게 만드는 것은 가치가 없을 것입니다. 전역 기준은 모든 구간에서 오차 합이 t보다 작아야 한다는 것입니다. 이러한 유형의 오차 분석은 우리가 근삿값을 계산한 후 오류를 계산하기 때문에 보통 "사후적(posteriori)"이라고 불립니다.

적응 구적법에 대해 휴리스틱은 Forsythe et al. (섹션 5.4)에 의해 토론됩니다.

Extrapolation methods

뉴턴–코츠(Newton–Cotes) 유형의 구적법 규칙의 정확도는 일반적으로 평가 점의 숫자의 함수입니다. 그 결과는 보통 평가 점의 숫자가 증가할 때, 또는, 동등하게, 점 사이의 단계 크기의 너비가 감소할 때 더 정확합니다. 단계 크기가 영에 접근하도록 허용되면 결과가 어떻게 되는지 묻는 것이 자연스럽습니다. 이것은 리처드슨 외삽법(Richardson extrapolation)과 같은 급수 가속(series acceleration) 방법을 사용하여 둘 이상의 비-영 단계 크기에서 결과를 외삽함으로써 답해질 수 있습니다. 외삽법 함수는 다항식(polynomial) 또는 유리 함수(rational function)일 수 있습니다. 외삽법 방법은 Stoer와 Bulirsch (섹션 3.4)에 의해 더 자세히 설명되어 있고 QUADPACK 라이브러리에서 많은 루틴에서 구현됩니다.

Conservative (a priori) error estimation

\(\displaystyle f\)가 \(\displaystyle [a,b]\)에 걸쳐 경계진 첫 번째 도함수를 가진다, 즉, \(\displaystyle f \in C^1([a,b])\)라고 놓습니다. \(\displaystyle  f\)에 대해 평균 값 정리(mean value theorem)는, 여기서 \(\displaystyle x \in [a,b)\)이며, \(\displaystyle  x \)에 의존하는 일부 \(\displaystyle  \xi_x \in (a,x] \)에 대해 다음을 제공합니다:

\(\quad\displaystyle  (x - a) f'(\xi_x) = f(x) - f(a)\).

만약 우리는 양쪽 변에 \(\displaystyle  a \)에서 \(\displaystyle  b \)까지 \(\displaystyle  x \)에서 적분하고 절댓값을 취하면, 우리는 다음을 얻습니다:

\(\quad\displaystyle 
    \left| \int_a^b f(x)\, dx - (b - a) f(a) \right|
  = \left| \int_a^b (x - a) f'(\xi_x)\, dx \right| .
\)

우리는 절댓값을 피적분으로 가져오고, \(\displaystyle  f' \)의 항을 위쪽 경계로 대체함으로써 오른쪽 변에 대한 적분을 더 근사할 수 있습니다:

\(\quad\displaystyle 
  \left| \int_a^b f(x)\, dx - (b - a) f(a) \right| 
  \leq {(b - a)^2 \over 2} \sup_{a \leq x \leq b} \left| f'(x) \right| ,\cdots\bf{(1)}
\)

여기서 상한(supremum)은 근사하기 위해 사용되었습니다.

그러므로, 만약 우리는 구적법 규칙(quadrature rule) \(\displaystyle  (b - a) f(a) \)에 의해 적분 \(\displaystyle  \int_a^b f(x) \, dx \)을 근사하면, 우리의 오류는 1의 오른쪽 변보다 크지 않습니다. 우리는 이것을 리만 합(Riemann sum)에 대해 오류 분석으로 변환할 수 있으며, 해당 특정 근사치의 오차 항에 대해, 다음의 이쪽 경계를 제공합니다:

\(\quad\displaystyle \frac{n^{-1}}{2} \sup_{0 \leq x \leq 1} \left| f'(x) \right|\).

(이것은 정확하게 우리가 예제 \(\displaystyle f(x) = x\)에 대해 계산한 오류임을 주목하십시오.) 더 많은 도함수를 사용하고, 구적법을 조정함으로써, 우리는 f에 대해 (나머지 항을 갖는 부분 합을 사용하여) 테일러 급수(Taylor series)를 사용하여 유사한 오차 분석을 수행할 수 있습니다. 이 오류 분석은 f의 도함수가 사용할 수 있으면 오류에 대한 엄격한 위쪽 경계를 제공합니다.

이 적분 방법은 구간 산술(interval arithmetic)을 컴퓨터 증명(computer proof)과 검증된 계산을 생성하기 위해 결합될 수 있습니다.

Integrals over infinite intervals

여러 방법이 무-경계진 구간에 걸쳐 적분을 근사화하는 것이 있습니다. 표준 기법은 전체 실수 직선에 대한 적분을 위해 가우스-에르미트 구적법(Gauss-Hermite quadrature)과 양의 실수에 대한 적분에 대해 가우스-라게르 구적법(Gauss-Laguerre quadrature)과 같은 특별히 파생된 구적법 규칙을 포함합니다. 몬테 카를로 방법이 역시 사용되거나, 유한 구간에 변수의 변경이 사용될 수도 있습니다; 예를 들어, 전체 직선에 대해 우리는 가능한 변형으로 다음을 사용할 수 있습니다:

\(\quad\displaystyle 
  \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx
= \int_{-1}^{+1} f\left( \frac{t}{1-t^2} \right) \frac{1+t^2}{\left(1-t^2\right)^2} \, dt,
\)

그리고 준-무한 구간에 대해, 우리는 가능한 변형으로 다음을 사용할 수 있습니다:

\(\quad\displaystyle \begin{align}
\int_a^{\infty} f(x) \, dx &= \int_0^1 f\left(a + \frac{t}{1-t}\right) \frac{dt}{(1-t)^2}, \\
\int_{-\infty}^a f(x) \, dx &= \int_0^1 f\left(a - \frac{1-t}{t}\right) \frac{dt}{t^2},
\end{align}\).

Multidimensional integrals

지금까지 논의된 구적법 규칙은 모두 일-차원 적분을 계산하기 위해 설계되었습니다. 여러 차원에서 적분을 계산하기 위한, 한 가지 접근 방식은 푸비니의 정리(Fubini's theorem) (텐서 곱 규칙)를 적용함으로써 다중 적분을 반복된 일-차원 적분으로 표현하는 것입니다. 이 접근 방식은 차원 수가 증가함에 따라 함수 평가를 기하급수적 증가(grow exponentially)함을 요구합니다. 셋의 방법이 이른바 차원의 저주(curse of dimensionality)를 극복하기 위해 알려져 있습니다.

다양한 가중치 함수에 대해 다차원 큐브 적분화 규칙을 형성하기 위한 매우 많은 추가 기법이 Stroud에 의한 연구논문에서 제공됩니다. 구체(sphere)에 대한 적분은 Hesse et al.에 의해 검토되어 왔습니다.

Monte Carlo

몬테 카를로 방법(Monte Carlo method)과 준-몬테 카를로 방법(quasi-Monte Carlo method)은 다-차원 적분에 적용하기 쉽습니다. 그것들은 일-차원 방법을 사용하는 반복된 적분보다 같은 수의 함수 평가에 대해 더 높은 정확도를 산출할 수 있습니다.

유용한 몬테 카를로 방법의 큰 클래스는 메트로폴리스–헤이스팅스 알고리듬(Metropolis–Hastings algorithm)과 깁스 표본화(Gibbs sampling)를 포함하는 소위 마르코프 체인 몬테 카를로(Markov chain Monte Carlo) 알고리듬입니다.

Sparse grids

희소 그리드(Sparse grid)는 원래 고-차원 함수의 구적법을 위해 스몰리에크(Smolyak)에 의해 개발되었습니다. 그 방법은 항상 일-차원 구적법 규칙을 기반으로 하지만, 일변수 결과의 보다 정교한 조합을 수행합니다. 어쨌든, 텐서 곱 규칙은 구적법 점의 가중치가 양수이면 모든 큐빅 점의 가중치가 양수일 것임을 보장하고, 반면에 스몰리에크의 규칙은 가중치가 모두 양수일 것임을 보장하지 않습니다.

Bayesian Quadrature

베이즈 구적법(Bayesian quadrature)은 적분 계산의 수치적 문제에 대한 통계적 접근 방식이고 확률적 수치(probabilistic numerics)의 분야 아래에 떨어집니다. 그것은 가우스 프로세스(Gaussian process) 이후 분산으로 표현된 적분의 해에 걸쳐 불확실성의 완벽한 처리를 제공할 수 있습니다.

Connection with differential equations

다음 적분을 평가하는 것의 문제는

\(\quad\displaystyle F(x) = \int_a^x f(u)\, du\)

미적분학의 기본 정리(fundamental theorem of calculus)의 첫 번째 부분을 적용함으로써 보통의 미분 방정식(ordinary differential equation)의 초기값 문제(initial value problem)로 줄어들 수 있습니다. 인수 x에 관해 위의 양쪽 변을 미분함으로써, 함수 F가 다음을 만족함을 알 수 있습니다:

\(\quad\displaystyle  \frac{d F(x)}{d x} = f(x), \quad F(a) = 0. \)

룽게–쿠타 방법(Runge–Kutta Methods)과 같은 보통의 미분 방정식을 위해 개발된 방법은 다시 기술된 문제에 적용될 수 있고 따라서 적분을 평가하기 위해 사용될 수 있습니다. 예를 들어, 미분 방정식에 적용된 표준 사-차 룽게–쿠타 방법은 위에서 심슨의 규칙을 산출합니다.

미분 방정식 \(\displaystyle F'(x) = f(x)\)은 특별한 형식을 가집니다: 오른쪽 변은 오직 독립 변수 (여기서 \(\displaystyle x\))를 포함하고 종속 변수 (여기서 \(\displaystyle F\))를 포함하지 않습니다. 이것은 이론과 알고리듬을 상당히 단순화합니다. 적분을 평가하는 문제는 따라서 그 자체로 가장 잘 연구됩니다.

See also

 

 

References

External links

관련글

티스토리툴바