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(번역) Nilpotent matrix

by 다움위키 2024. 3. 10.
Original article: w:Nilpotent matrix

 

선형 대수(linear algebra)에서, 거듭제곱영 행렬(nilpotent matrix)은 어떤 양의 정수 \(\displaystyle k\)에 대해 다음임을 만족하는 정사각 행렬 \(\displaystyle N\)입니다:

\(\quad\displaystyle N^k = 0\,\)

가장 작은 그러한 \(\displaystyle k\)는 \(\displaystyle N\)의 인덱스(index), 때때로 \(\displaystyle N\)의 차수(degree)라고 불립니다.

보다 일반적으로, 거듭제곱영 변환(nilpotent transformation)은 일부 양의 정수 \(\displaystyle k\)에 대해 \(\displaystyle L^k = 0\) (따라서 모든 \(\displaystyle L^k = 0\)에 대해, \(\displaystyle L^j = 0\))임을 만족하는 벡터 공간(vector space)의 선형 변환(linear transformation) \(\displaystyle L\)입니다.  이들 개념 둘 다는 링(rings)의 원소에 적용되는 보다 일반적인 거듭제곱영(nilpotence)의 개념의 특수한 경우입니다.

Examples

Example 1

다음 행렬은

\(\quad\displaystyle  
A = \begin{bmatrix} 
0 & 1 \\
0 & 0 
\end{bmatrix}
\)

인덱스 2와 함께 거듭제곱영인데, 왜냐하면 \(\displaystyle A^2 = 0\).

Example 2

보다 일반적으로, 주요 대각선(main diagonal)을 따라 영을 갖는 임의의 \(\displaystyle n\)-차원 삼각 행렬(triangular matrix)은 인덱스  \(\displaystyle \le n\)과 함께 거듭제곱영입니다. 예를 들어, 다음 행렬은

\(\quad\displaystyle  
B=\begin{bmatrix} 
0 & 2 & 1 & 6\\
0 & 0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0 
\end{bmatrix}
\)

아래와 함께, 거듭제곱영입니다:

\(\quad\displaystyle 
B^2=\begin{bmatrix} 
0 & 0 & 2 & 7\\
0 & 0 & 0 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 
\end{bmatrix}
;\ 
B^3=\begin{bmatrix} 
0 & 0 & 0 & 6\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 
\end{bmatrix}

;\ 
B^4=\begin{bmatrix} 
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 
\end{bmatrix}.
\)

\(\displaystyle B\)의 인덱스는 따라서 4입니다.

Example 3

비록 위의 예제가 많은 수의 0 엔트리를 가지지만, 전형적인 거듭제곱영 행렬은 그렇지 않습니다. 예를 들어, 

\(\quad\displaystyle  
C=\begin{bmatrix} 
5 & -3 & 2 \\
15 & -9 & 6 \\
10 & -6 & 4
\end{bmatrix}
\qquad
C^2=\begin{bmatrix} 
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\)

그러나 행렬은 영 엔트리를 가지지 않습니다.

Example 4

추가적으로, 다음 형식의 임의의 행렬은

\(\quad\displaystyle 
\begin{bmatrix}
a_1 & a_1 & \cdots & a_1 \\
a_2 & a_2 & \cdots & a_2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
-a_1-a_2-\ldots-a_{n-1} & -a_1-a_2-\ldots-a_{n-1} & \ldots & -a_1-a_2-\ldots-a_{n-1} 
\end{bmatrix}\)

예를 들어, 

\(\quad\displaystyle 
\begin{bmatrix}
5 & 5 & 5 \\
6 & 6 & 6 \\
-11 & -11 & -11
\end{bmatrix}
\)

또는 

\(\quad\displaystyle \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 2 & 2 & 2 \\
4 & 4 & 4 & 4 \\
-7 & -7 & -7 & -7
\end{bmatrix}
\)

제곱하면 영이 됩니다.

Example 5

거듭제곱영 행렬의 가장 놀라운 예제 중 일부는 다음 형식의 \(\displaystyle n\times n\) 정사각형행렬일 것입니다:

\(\quad\displaystyle \begin{bmatrix}
2 & 2 & 2 & \cdots & 1-n \\
n+2 & 1 & 1 & \cdots & -n \\
1 & n+2 & 1 & \cdots & -n \\
1 & 1 & n+2 & \cdots & -n \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
\end{bmatrix}\)

그 중 처음 몇 가지는 다음과 같습니다:

\(\quad\displaystyle \begin{bmatrix}
2 & -1 \\
4 & -2
\end{bmatrix}
\qquad
\begin{bmatrix}
2 & 2 & -2 \\
5 & 1 & -3 \\
1 & 5 & -3
\end{bmatrix}
\qquad
\begin{bmatrix}
2 & 2 & 2 & -3 \\
6 & 1 & 1 & -4 \\
1 & 6 & 1 & -4 \\
1 & 1 & 6 & -4
\end{bmatrix}
\qquad
\begin{bmatrix}
2 & 2 & 2 & 2 & -4 \\
7 & 1 & 1 & 1 & -5 \\
1 & 7 & 1 & 1 & -5 \\
1 & 1 & 7 & 1 & -5 \\
1 & 1 & 1 & 7 & -5
\end{bmatrix}
\qquad
\ldots
\)

이들 행렬은 거듭제곱영이지만 인덱스보다 작은 그것들의 임의의 거듭제곱에 영 엔트리가 없습니다.

Example 6

경계진 차수의 다항식(polynomials)의 선형 공간을 생각해 보십시오. 도함수(derivative) 연산자는 선형 맵입니다. 도함수를 다항식에 적용하는 것은 차수가 1 감소하므로, 그것을 반복적으로 적용할 때 결국 0이 됩니다. 그러므로, 그러한 공간 위에, 도함수는 거듭제곱영 행렬에 의해 나타낼 수 있습니다.

Characterization

실수 (또는 복소수) 엔트리를 갖는 \(\displaystyle n \times n\) 정사각 행렬 \(\displaystyle N\)에 대해, 다음은 동등합니다:

  • \(\displaystyle N\)은 거듭제곱영입니다.
  • \(\displaystyle N\)에 대해 특성 다항식(characteristic polynomial)은 \(\displaystyle \det \left(xI - N\right) = x^n\)입니다.
  • \(\displaystyle N\)에 대해 최소 다항식(minimal polynomial)은 일부 양의 정수 \(\displaystyle k \leq n\)에 대해 \(\displaystyle x^k\)입니다.
  • \(\displaystyle N\)에 대해 유일한 복소수 고윳값은 0입니다.

마지막 정리는 특성 0 또는 충분하게 큰 특성의 임의의 필드에 걸쳐 행렬에 대해 참입니다. (비고. 뉴턴의 항등식)

이 정리는 다음을 포함하여 여러 결론을 가집니다:

역시 참조: Jordan–Chevalley decomposition#Nilpotency criterion.

Classification

\(\displaystyle n \times n\) (위쪽) 미는 행렬(shift matrix)을 생각해 보십시오:

\(\quad\displaystyle S = \begin{bmatrix} 
   0 & 1 & 0 & \ldots & 0  \\
   0 & 0 & 1 & \ldots & 0  \\
   \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
   0 & 0 & 0 & \ldots & 1  \\
   0 & 0 & 0 & \ldots & 0
\end{bmatrix}.\)

이 행렬은 상부대각선(superdiagonal)을 따라 1을 가지고 다른 모든 곳에 0을 가집니다. 선형 변환으로서, 미는 행렬은 벡터의 구성 원소를 왼쪽으로 한 위치 "밀"고, 마지막 위치에 0이 나타납니다.

\(\quad\displaystyle S(x_1,x_2,\ldots,x_n) = (x_2,\ldots,x_n,0).\)

이 행렬은 차수 \(\displaystyle n\)을 갖는 거듭제곱영이고, 정식의(canonical) 거듭제곱영 행렬입니다.

구체적으로, 만약 \(\displaystyle N\)이 임의의 거듭제곱영 행렬이면, \(\displaystyle N\)으 다음 형식의 블록 대각 행렬(block diagonal matrix)과 닮았습니다(similar)

\(\quad\displaystyle  \begin{bmatrix} 
   S_1 & 0 & \ldots & 0 \\ 
   0 & S_2 & \ldots & 0 \\
   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
   0 & 0 & \ldots & S_r 
\end{bmatrix} \)

여기서 각 블록 \(\displaystyle S_1,S_2,\ldots,S_r\)은 (아마도 다른 크기의) 미는 행렬입니다.  이 형식은 행렬에 대한 조르당 정식의 형식(Jordan canonical form)의 특수한 경우입니다.

예를 들어, 임의의 비-영 2 × 2 거듭제곱영 행렬은 다음 행렬과 닮았습니다:

\(\quad\displaystyle  \begin{bmatrix} 
   0 & 1 \\
   0 & 0
\end{bmatrix}. \)

즉, 만약 \(\displaystyle N\)이 임의의 비-영 2 × 2 거듭제곱영 행렬이면, \(N\mathbf{b}_1 = 0\) 및 \(N\mathbf{b}_2=\mathbf{b}_1\)를 만족하는 기저 \(\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2\)가 존재합니다.

이 분류 정리는 임의의 필드(field)에 걸쳐 행렬에 대해 유지됩니다. (필드가 대수적으로 닫힐 필요는 없습니다.)

Flag of subspaces

\(\displaystyle \mathbb{R}^n\) 위에 거듭제곱영 변환 \(\displaystyle L\)은 자연스럽게 부분 공간의 플래그(flag)를 결정합니다:

\(\quad\displaystyle  \{0\} \subset \ker L \subset \ker L^2 \subset \ldots \subset \ker L^{q-1} \subset \ker L^q = \mathbb{R}^n\)

그리고 시그니처를 결정합니다:

\(\quad\displaystyle  0 = n_0 < n_1 < n_2 < \ldots < n_{q-1} < n_q = n,\qquad n_i = \dim \ker L^i. \)

시그니처는 \(\displaystyle L\)을 역-가능 선형 변환까지(up to) 특성화합니다. 게다가, 그것은 다음 부등식을 만족시킵니다:

\(\quad\displaystyle  n_{j+1} - n_j \leq n_j - n_{j-1}, \qquad \mbox{for all } j = 1,\ldots,q-1. \)

반대로, 이들 부등식을 만족시키는 자연수의 임의의 수열은 거듭제곱영 변환의 시그니처입니다.

Additional properties

  • 만약 \(\displaystyle N\)가 인덱스 \(\displaystyle k\)의 거듭제곱영이면, \(\displaystyle I+N\)과 \(\displaystyle I-N\)는 역가능(invertible)이며, 여기서 \(\displaystyle I\)는 \(\displaystyle n \times n\) [[identity matrix|항등 행렬]]입니다. 역은 다음에 의해 제공됩니다:
    • \(\displaystyle \begin{align}
      (I + N)^{-1} &= \displaystyle\sum^k_{m=0}\left(-N\right)^m = I - N + N^2 - N^3 + N^4 - N^5 + N^6 - N^7 + \cdots +(-N)^k \\
      (I - N)^{-1} &= \displaystyle\sum^k_{m=0}N^m = I + N + N^2 + N^3 + N^4 + N^5 + N^6 + N^7 +  \cdots + N^k \\
      \end{align}\)
  • 만약 \(\displaystyle N\)이 거듭제곱영이면, 다음과 같습니다:
    • \(\displaystyle \det (I + N) = 1.\)
    • 반대로, 만약 \(\displaystyle A\)가 행렬이고 \(\displaystyle t\)의 모든 값에 대해 다음이면,
    • \(\displaystyle \det (I + tA) = 1\!\,\)
    • \(\displaystyle A\)는 거듭제곱영입니다. 실제로, \(\displaystyle p(t) = \det (I + tA) - 1\)가 차수 \(\displaystyle n\)의 다항식이면, \(\displaystyle t\)의 \(\displaystyle n+1\)개의 구별되는 값에 대해 유지하는 것으로 충분합니다.
  • 모든 각 시그니처 행렬은 거듭제곱영 행렬의 곱으로 쓸 수 있습니다.
  • 거듭제곱영 행렬은 수렴 행렬의 특수한 경우입니다.

Generalizations

선형 연산자(linear operator) \(\displaystyle T\)가 모든 각 벡터 \(\displaystyle v\)에 대해, 다음임을 만족하는 \(\displaystyle k\in\mathbb{N}\)가 존재하면 지역적으로 거듭제곱영(locally nilpotent)입니다:

\(\quad\displaystyle T^k(v) = 0.\!\,\)
유한-차원 벡터 공간 위에 연산자에 대해, 지역적 거듭제곱영은 거듭제곱영과 동등합니다.

References

External links

 
 

 

 

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