기하학(geometry)에서, 아홉-점 중심(nine-point center)은 삼각형 중심(triangle center), 삼각형의 배치나 스케일에 의존하지 않는 방법으로 주어진 삼각형(triangle)으로부터 정의된 점입니다. 그것은 삼각형의 아홉 개의 중요한 점: 세 가장자리의 중점, 세 고도(altitudes)의 발, 및 직교-중심(orthocenter)과 각각의 세 꼭짓점 사이의 중간 점을 통과하는 원, 아홉-점 원(nine-point circle)의 중심이기 때문에 그렇게 부릅니다. 아홉-점 중심은 Clark Kimberling의 삼각형 중심 백과사전에서 점 X(5)로 나열됩니다.
Properties
아홉-점 중심 N은 해당 삼각형의 직교-중심(orthocenter) H와 둘레-중심(circumcenter) O 사이의 중간점(midpoint)에서 삼각형의 오일러 직선(Euler line) 위에 놓입니다. 도형중심 G도 같은 직선 위에 직교-중심에서 둘레-중심으로의 방향의 2/3에 놓이며, 따라서
\(\quad\displaystyle NO=NH=3NG.\)
따라서, 만약 이들 네 개의 삼각형 중심 중 임의의 둘이 알려져 있으면, 나머지 둘의 위치가 그것들로부터 결정될 수 있습니다.
Andrew Guinand는 1984년에 현재 오일러의 삼각형 결정 문제(Euler's triangle determination problem)로 알려진 문제의 일부로 이들 중심의 위치가 미지수 삼각형에 대해 주어지면 삼각형의 내중심은 직교-도형중심 원(orthocentroidal circle, 도형중심에서 직교-중심까지의 선분을 지름으로 가지는 원) 내에 놓음을 입증했습니다. 이 원 내부에서 내중심이 될 수 없는 유일한 점은 아홉-점 중심이고, 원의 모든 각 다른 내부 점은 고유한 삼각형의 내-중심입니다.
아홉-점 중심에서 내-중심(incenter)까지의 거리 I는 다음을 만족시킵니다:
\(\quad\displaystyle IN < \tfrac{1}{2}IO,\)
\(\quad\displaystyle IN=\tfrac{1}{2}(R-2r) < \frac{R}{2},\)
\(\quad\displaystyle 2R\cdot IN=OI^2,\)
여기서 R과 r은 각각 둘레-반지름(circumradius)과 내-반지름(inradius)입니다.
아홉-점 중심은 주어진 삼각형의 중앙 삼각형(medial triangle)의 둘레-중심, 주어진 삼각형의 직교 삼각형(orthic triangle)의 둘레-중심, 및 오일러 삼각형의 둘레-중심입니다. 더 일반적으로, 그것은 아홉-점 원을 정의하는 아홉 점 중 세 개에서 정의된 임의의 삼각형의 둘레-중심입니다.
아홉-점 중심은 네 점: 삼각형의 세 꼭짓점과 직교-중심(orthocenter)의 도형-중심(centroid)에 놓입니다.
직교-중심 시스템(orthocentric system, 각각이 다른 세 점에 꼭짓점을 갖는 삼각형의 직교-중심(orthocenter)임을 만족하는 네 점의 집합)에 의해 형성된 네 개의 삼각형의 오일러 직선(Euler lines)은 모든 삼각형에 공통인 아홉-점 중심에서 공점(concurrent)입니다.
아홉-점 원을 정의하는 아홉 개 점 중, 꼭짓점과 직교 중심-사이의 선분의 세 개의 중간점은 아홉-점 중심에 대한 삼각형의 중간점의 반사입니다. 따라서, 아홉-점 중심은 중앙 삼각형을 오일러 삼각형에 매핑하는 점 반사(point reflection)의 중심을 형성하고, 그 반대도 마찬가지입니다.
레스터의 정리(Lester's theorem)에 따르면, 아홉-점 중심은 세 개의 다른 점: 두 개의 페르마 점(Fermat points)과 둘레-중심을 갖는 공통 원 위에 놓입니다.
코스니타의 정리(Kosnita's theorem)와 결합된 삼각형 중심, 삼각형의 코스니타 점(Kosnita point)은 아홉-점 중심의 등각형 켤레(isogonal conjugate)입니다.
Coordinates
아홉-점 중심의 삼선형 좌표(Trilinear coordinates)는 다음입니다:
\(\quad\displaystyle
\begin{align}
& \cos(B-C) : \cos(C-A) : \cos(A-B) \\
= {} & \cos A+2\cos B \cos C:\cos B+2\cos C \cos A:\cos C+2\cos A\cos B \\
= {} & \cos A-2\sin B \sin C:\cos B-2\sin C\sin A:\cos C-2\sin A\sin B \\
= {} & bc[a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2]:ca[b^2(c^2+a^2)-(c^2-a^2)^2]:ab[c^2(a^2+b^2)-(a^2-b^2)^2].
\end{align}
\)
아홉-점 중심의 베리센터 좌표(barycentric coordinates)는 다음입니다:
\(\quad\displaystyle
\begin{align}
& a\cos(B-C):b\cos (C-A):c\cos (A-B) \\
= {} & a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2:b^2(c^2+a^2)-(c^2-a^2)^2:c^2(a^2+b^2)-(a^2-b^2)^2.
\end{align}
\)
따라서, 꼭짓점 각도 중 두 개가 서로 90°보다 많게 다른 것과 베리센터 좌표 중 하나가 음수이고 따라서 아홉-점 중심이 그 삼각형의 외부에 있는 것은 필요충분 조건입니다.
References
- Kimberling, Clark (1994), "Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle", Mathematics Magazine, 67 (3): 163–187, doi:10.2307/2690608, JSTOR 2690608, MR 1573021.
- Encyclopedia of Triangle Centers, accessed 2014-10-23.
- Dekov, Deko (2007), "Nine-point center" (PDF), Journal of Computer-Generated Euclidean Geometry.
- Stern, Joseph (2007), "Euler's triangle determination problem" (PDF), Forum Geometricorum, 7: 1–9.
- Euler, Leonhard (1767), "Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum", Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae (in Latin), 11: 103–123.
- Guinand, Andrew P. (1984), "Euler lines, tritangent centers, and their triangles", American Mathematical Monthly, 91 (5): 290–300, doi:10.2307/2322671, JSTOR 2322671.
- Franzsen, William N. "The distance from the incenter to the Euler line", Forum Geometricorum 11, 2011, 231-236. http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201126index.html
- The Encyclopedia of Triangle Centers credits this observation to Randy Hutson, 2011.
- Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover Publications, 2007 (orig. Barnes & Noble 1952).
- Yiu, Paul (2010), "The circles of Lester, Evans, Parry, and their generalizations", Forum Geometricorum, 10: 175–209, MR 2868943.
- Rigby, John (1997), "Brief notes on some forgotten geometrical theorems", Mathematics and Informatics Quarterly, 7: 156–158.
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