수학(mathematics), 및/또는 특히 형식적인 대수학(algebra)에서, 불확정성수(indeterminate)는 변수로 취급되는 기호이지만, 자신을 제외하고는 다른 것을 의미하지는 않고, 종종 다항식(polynomial)과 형식적 거듭제곱 급수(formal power series)와 같은 대상에서 자리-표시-자로 사용됩니다. 특히:
- 그것은 문제의 상수 또는 매개 변수(parameter)를 지정하지 않습니다.
- 그것은 풀릴 수 있는 미지수가 아닙니다.
- 그것은 함수 인수를 지정하는 변수, 또는 더해지거나 또는 적분되는 변수(variable)가 아닙니다.
- 그것은 경계 변수(bound variable)의 임의의 유형이 아닙니다.
- 그것은 단지 전체적으로 형식적 방법에서 사용도니 기호입니다.
Polynomials
불확정수 \(X\)에서 다항식은 형식 ㅍ의 표현이며, 여기서 \(a_i\)는 다항식의 계수(coefficient)라고 불립니다. 두 그러한 다항식은 오직 만약 대응하는 계수가 같으면 같습니다. 반대로, 변수 \(x\)에서 두 다항 함수는 \(x\)의 특정 값에서 같은 수도 있고 아닐 수도 있습니다.
예를 들어, 다음 함수는:
\(\quad f(x) = 2 + 3x, \quad g(x) = 5 + 2x\),
\(x = 3\)일 때 같고 그렇지 않으면 같지 않습니다. 그러나, 다음 두 다항식은:
\(\quad 2 + 3X, \quad 5 + 2X\),
같지 않은데, 왜냐하면 2는 5와 같지 않고, 3은 2와 같지 않기 때문입니다. 사실, 다음은,
\(\quad 2 + 3X = a + bX\)
만약 \(a = 2\)와 \(b = 3\)이 아니면 유지되지 않습니다. 이것은 \(X\)가 아니고, 하나의 숫자를 가리키지 않기 때문입니다.
그 구별은 미묘한데, 왜냐하면 \(X\)에서 다항식은 함수에서 치환에 의해 \(x\)로 변경될 수 있기 때문입니다. 그러나 그 구별은 중요한데 왜냐하면 정보는 이 대체가 만들어지지 않을 때 잃어버릴 수 있기 때문입니다. 예를 들어, 모듈로 2(modulo 2)에서 동작할 때, 우리는 다음임을 가집니다:
\(\quad 0 - 0^2 = 0, \quad 1 - 1^2 = 0,\)
따라서 다항 함수 \(x - x^2\)는 모듈로-2 시스템에서 임의의 값을 가지는 \(x\)에 대해 0과 동일하게 같기 때문입니다. 어쨌든, 다항식 \(X - X^2\)는 영 다항식이 아닌데, 왜냐하면 계수, 0, 1, 및 −1 각각은 모두 영은 아니기 때문입니다.
Formal power series
불확정수 \(X\)에서 형식적 거듭제곱 급수(formal power series)는 형식 \(a_0 + a_1X + a_2X^2 + \ldots\)의 표현이며, 여기서 어떤 값도 기호 \(X\)에 할당되지 않습니다. 이것은 계수의 무한 숫자가 비-영일 수 있다는 점을 제외하고 다항식의 정의와 유사합니다. 미적분학에서 만나는 거듭제곱 급수(power series)와 달리, 수렴(convergence)의 질문은 관련이 없습니다 (왜냐하면 함수 역할이 없기 때문입니다). 따라서 \(1 + x + 2x^2 + 6x^3 + \ldots + n!x^n + \ldots\,\)와 같은 \(x\)의 값에 대해 발산하는 거듭제곱 급수가 허용됩니다.
As generators
불확정수는 수학적 구조(mathematical structure)를 생성하는 것에 대해 추상적 대수학(abstract algebra)에서 유용합니다. 예를 들어, 필드(field) \(K\)가 주어지면, \(K\)에서 계수를 갖는 다항식의 집합은 연산으로 다항식 덧셈과 곱셈을 갖는 다항식 링(polynomial ring)입니다. 특히, 만약 두 불확정수 \(X\)와 \(Y\)가 사용되면, 다항식 링 \(K[X,Y]\)는 역시 이들 연산을 사용하, 관례는 \(XY=YX\)임을 유지합니다.
불확정수는 역시 교환 링(commutative ring) \(A\)에 걸쳐 자유 대수(free algebra)를 생성하기 위해 사용될 수 있습니다. 예를 들어, 두 불확정수 \(X\)와 \(Y\)를 갖는, 자유 대수 \(A\langle X,Y \rangle\)는 \(A\)에서 계수를 갖는, 및 \(XY\)와 \(YX\)가 반드시 같지는 않다는 이해와 함께 \(X\)와 \(Y\)에서 문자열의 합을 포함합니다 (왜냐하면 자유 대수는 정의에 의해 비-교환적이기 때문입니다).
See also
References
- Herstein, I. N. (1975). Topics in Algebra. Wiley.
- McCoy, Neal H. (1973), Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon, LCCN 68015225