수학(mathematics)에서, 항등 함수(identity function)는, 역시 항등 관계(identity relation) 또는 항등 맵(identity map) 또는 항등 변환(identity transformation)이라고 불리며, 그것의 인수로 사용된 것과 같은 값을 항상 반환하는 함수(function)입니다. 즉, 항등인 f에 대해, 상등(equality) f(x) = x은 모든 x에 대해 유지됩니다.
Definition
공식적으로, 만약 M이 집합(set)이면, M 위에 항등 함수 f는 다음을 만족시키는 도메인(domain)과 코도메인(codomain) M을 갖는 해당 함수로 정의됩니다:
\(\quad\)M에서 모든 원소 x에 대해 f(x) = x.
달리 말해서, M (즉, 코도메인)에서 함수 값 f(x)은 항상 M (지금 도메인으로 고려됨)의 같은 입력 원소 x입니다. M 위의 항등 함수는 분명하게 단사 함수(injective function)와 마찬가지로 전사 함수(surjective function)이므로, 그것은 역시 전단사(bijective)입니다.
M 위의 항등 함수 f는 종종 \(\text{id}_M\)으로 표시됩니다.
집합 이론(set theory)에서, 여기서 함수는 이항 관계(binary relation)의 특정 종류로 정의되며, 항등 함수는 항등 관계, 또는 M의 대각선(diagonal)에 의해 제공됩니다.
Algebraic properties
만약 f : M → N가 임의의 함수이면, 우리는 \(f\circ \text{id}_M = f = \text{id}_N \circ f\)를 가집니다 (여기서 "∘"는 함수 합성(function composition)을 표시합니다). 특히, \(\text{id}_M\)은 M에서 M으로의 모든 함수의 모노이드(monoid)의 항등 원소(identity element)입니다.
모노이드의 항등 원소는 고유(unique)하므로, 우리는 대리로 이 항등 원소로 M 위의 항등 함수를 정의할 수 있습니다. 그러한 정의는 카테고리 이론(category theory)에서 항등 사상(identity morphism)의 개념으로 일반화되며, 여기서 M의 자기-사상(endomorphism)은 함수일 필요는 없습니다.
Properties
- 항등 함수는 벡터 공간(vector space)에 적용될 때 선형 연산자(linear operator)입니다.
- 양의 정수(integer) 위에 항등 함수는 숫자 이론(number theory)에서 고려된 완전하게 곱셈 함수(completely multiplicative function) (본질적으로 1에 의한 곱셈)입니다.
- n-차원 벡터 공간(vector space)에서, 항등 함수는 기저(basis)에 관계없이 항등 행렬(identity matrix) \(I_n\)로 표현됩니다.
- 메트릭 공간(metric space)에서, 항등원 자명하게 등거리-변환(isometry)입니다. 임의의 대칭(symmetry)없이 대상은 이 등거리-변환 (대칭 유형 \(C_1\))을 오직 포함하는 자명한 그룹을 대칭 그룹(symmetry group)을 가집니다.
- 토폴로지적 공간(topological space)에서, 항등 함수는 항상 연속입니다.
- 항등 함수는 거듭상등(idempotent)입니다.
See also