수학에서, 항등식(identity)은, A와 B가 몇 개의 변수(variables)를 포함하고 A와 B 안의 각각의 변수에 어떤 값(보통 숫자)을 대입하는 것과 관계없이 서로 같은 값을 생성하는 상등(equality) 관계 A = B입니다. 다른 말로는, 만약 A와 B가 동일한 함수(functions)를 정의하면, A = B는 항등식이고, 항등식은 다르게 정의된 함수 사이의 상등(equality)입니다. 예를 들어, \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) 및 \(\cos^2\theta + \sin^2\theta =1\)은 항등식입니다. 항등식은 때때로 등호(equals sign) = 대신에 삼중 막대(triple bar) 기호 ≡로 표시됩니다.
Common identities
Algebraic identities
\(a+0=a\) 및 \(a+(-a)=0\)와 같은 특정 항등식은 대수학의 기초를 형성하고, 반면에 \((a+b)^2 = a^2 + 2ab +b^2\) 및 \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\)와 같은 항등식은 대수적 표현을 단순화하는 것 및 그들을 전개하는 것에서 유용할 수 있습니다.
Trigonometric identities
기하학적으로, 삼각 항등식은 하나 이상의 각도(angle)의 어떤 함수를 포함하는 항등식입니다. 그들은 삼각형(triangle)의 각과 변의 길이를 모두 포함하는 삼각형 항등식(triangle identities)과 구별됩니다. 이 기사에서는 오직 앞의 것을 다룹니다.
이들 항등식은 삼각 함수와 관련된 표현을 단순화가 필요할 때마다 유용합니다. 또 다른 중요한 응용은 비-삼각 함수의 적분(integration)입니다: 먼저 삼각 함수를 갖는 치환 규칙(substitution rule with a trigonometric function)을 사용한 다음, 삼각 항등식을 갖는 결과 적분을 단순화하는 공통적인 기술입니다.
삼각 항등식의 가장 두드러진 예제 중 하나는 방정식 \( \sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1\)을 포함하는데, 이것은 \(\theta\)의 모든 복소수(complex) 값에 참입니다 (왜냐하면 복소수 \(\mathbb{C}\)는 사인과 코사인의 도메인을 형성하기 때문입니다). 다른 한편, 방정식
\(\quad \cos \theta = 1\)
은, 전부가 아닌 (이웃(neighborhood)에서 모든 값에 대해 참이 아닌), \(\theta\)의 특정 값에 대해 오직 참입니다. 예를 들어, 이 방정식은 \( \theta = 0\)일 때 참이지만, \(\theta = 2\)일 때 거짓입니다.
삼각 항등식의 또 다른 그룹은 소위 덧셈/뺄셈 공식 (예를 들어, 이배-각 항등식 \(\sin (2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta\), \(\tan (x + y)\)에 대해 덧셈 공식)과 관련이 있는데, 이것은 더 큰 각도의 표현을 더 작은 성분을 가진 표현으로 잘게 분해하는 데 사용될 수 있습니다.
Exponential identities
다음 항등식은 밑수가 비-영으로 제공되는, 모든 정수 지수에 대해 유지됩니다:
\(\quad \begin{align}
b^{m + n} &= b^m \cdot b^n \\
(b^m)^n &= b^{m\cdot n} \\
(b \cdot c)^n &= b^n \cdot c^n
\end{align}\)
덧셈과 곱셈과는 다르게, 지수는 교환적(commutative)이지 않습니다. 예를 들어, 2 + 3 = 3 + 2 = 5 및 2 · 3 = 3 · 2 = 6이지만, \(2^3=8\)이고, 반면에 \(3^2=9\)입니다.
또한, 덧셈과 곱셈과 다르게, 지수는 역시 결합적(associative)이지 않습니다. 예를 들어, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 및 (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24이지만, \(2^3\)에 4를 올린 것은 \(8^4\) (또는 4,096)이고, 반면에 2에 \(3^4\)을 올린 것은 \(2^{81}\) (또는 2,417,851,639,229,258,349,412,352)입니다. 계산 순서를 수정하기 위한 괄호없이, 관례에 따라 순서는 상향식이 아니라 하향식입니다:
\(\quad b^{p^q} = b^{(p^q)} \ne (b^p)^q = b^{(p \cdot q)} = b^{p \cdot q} .\)
Logarithmic identities
때때로 로그 항등식(logarithmic identities) 또는 로그 법칙(log laws)이라고 불리는 몇 가지 중요한 공식은 로그를 서로 관련시킵니다.
Product, quotient, power and root
곱의 로그는 곱해지는 숫자의 로그의 합입니다; 두 숫자의 비율의 로그는 그들의 로그의 차이입니다. 숫자의 p-번째 거듭제곱의 로그는 숫자 그 자체의 로그의 p 배입니다; p-번째 근의 로그는 숫자의 로그를 p로 나눈 것입니다. 아래 테이블은 예제와 함께 이들 항등식의 목록입니다. 항등식의 각각은 로그 정의 \(x=b^{\log_b (x)}\), 및/또는 왼쪽 변에서 \(y=b^{\log_b(y)}\)의 치환 후에 구해질 수 있습니다
| Formula | Example | |
| product | \( \log_b(x y) = \log_b (x) + \log_b (y) \) | \( \log_3 (243) = \log_3(9 \cdot 27) = \log_3 (9) + \log_3 (27) = 2 + 3 = 5 \) |
| quotient | \(\log_b \!\left(\frac x y \right) = \log_b (x) - \log_b (y) \) | \( \log_2 (16) = \log_2 \!\left ( \frac{64}{4} \right ) = \log_2 (64) - \log_2 (4) = 6 - 2 = 4\) |
| power | \(\log_b(x^p) = p \log_b (x) \) | \( \log_2 (64) = \log_2 (2^6) = 6 \log_2 (2) = 6 \) |
| root | \(\log_b \sqrt[p]{x} = \frac {\log_b (x)} p \) | \( \log_{10} \sqrt{1000} = \frac{1}{2}\log_{10} 1000 = \frac{3}{2} = 1.5 \) |
Change of base
로그 \(\log_b(x)\)는 다음 공식을 사용하여 임의의 밑수 k에 관한 x와 b의 로그로부터 계산될 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle \log_b(x) = \frac{\log_k(x)}{\log_k(b)}.\)
전형적인 과학 계산기(scientific calculators)는 밑수 10과 e에 대한 로그를 계산합니다. 임의의 밑수 b에 관한 로그는 이전 공식에 의해 이들 두 로그 각각을 사용하여 계산될 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle \log_b (x) = \frac{\log_{10} (x)}{\log_{10} (b)} = \frac{\log_{e} (x)}{\log_{e} (b)}. \)
숫자 x와 알려지지 않은 밑수 b에 대한 그의 로그 \(\log_b(x)\)가 주어지면, 밑수는 다음에 의해 제공됩니다:
\(\quad\displaystyle b = x^\frac{1}{\log_b(x)}.\)
Hyperbolic function identities
쌍곡선 함수는 많은 항등식을 만족시키며, 이들 모두는 삼각 항등식(trigonometric identities)에 대한 형태에서 유사합니다. 사실, 오스본의 법칙(Osborn's rule)은 사인과 코사인의 정수 거듭제곱의 항으로 그것을 완전히 전개하고, sine을 sinh로 cosine을 cosh로 바꾸고, 2, 6, 10, 14, ... sinhs의 곱을 포함하는 모든 각 항의 부호를 바꿈으로써 임의의 삼각 항등식을 쌍곡선 항등식으로 변환할 수 있음을 말합니다.
구데르만 함수(Gudermannian function)는 순환 함수와 복소 함수를 포함하지 않는 쌍곡선 함수 사이에 직접적인 관계를 제공합니다.
External links
- The Encyclopedia of Equation Online encyclopedia of mathematical identities (archived)
- A Collection of Algebraic Identities