수학(mathematics)에서, 에르미트 행렬(Hermitian matrix 또는 자기-인접 행렬(self-adjoint matrix))은 자신의 켤레 전치와 같은 복소수 정사각 행렬입니다—즉, i-번째 행과 j-번째 열의 원소는 모든 인덱스 i와 j에 대한 j-번째 행과 i-번째 열의 원소의 복소수 켤레와 같습니다:
\(\quad A \text{ Hermitian} \quad \iff \quad a_{ij} = \overline{{a}_{ji}}\)
또는 행렬 형식에서:
\(\quad A \text{ Hermitian} \quad \iff \quad A = \overline {A^\mathsf{T}}.\)
에르미트 행렬은 실수 대칭 행렬(symmetric matrices)의 복소수 확장으로 이해될 수 있습니다.
만약 행렬 \(A\)의 켤레 전치(conjugate transpose)가 \(A^\mathsf{H}\)로 표시되면, 에르미트 속성은 다음으로 간결하게 쓸 수 있습니다:
\(\quad A \text{ Hermitian} \quad \iff \quad A = A^\mathsf{H}\)
에르미트 행렬은 1855년에 이 형식의 행렬이 항상 실수 고윳값을 갖는 실수 대칭 행렬과 속성을 공유한다는 것을 시연한 샤를 에르미트(Charles Hermite)의 이름을 따서 지었습니다. 공통적으로 사용되는 다른 동등한 표기법은 \(A^\mathsf{H} = A^\dagger = A^\ast\)이지만, 양자 역학(quantum mechanics)에서, \(A^\ast\)는 전형적으로 켤레 전치가 아닌 복소수 켤레만을 의미합니다.
Alternative characterizations
에르미트 행렬은 여러 동등한 방법으로 특성화할 수 있으며, 그 중 일부는 아래에 나열되어 있습니다:
Equality with the adjoint
정사각 행렬 \(A\)가 에르미트인 것과 그것이 그 인접(adjoint)과 같은 것은 필요충분 조건입니다, 즉, 그것은 임의의 벡터 쌍 \(\mathbf v, \mathbf w\)에 대해, 다음을 만족시킵니다:
\(\quad \langle \mathbf w, A \mathbf v\rangle = \langle A \mathbf w, \mathbf v\rangle,\)
여기서 \(\langle \cdot, \cdot\rangle\)는 안의 곱(inner product) 연산을 나타냅니다.
이것은 역시 자기-인접 연산자(self-adjoint operator)의 보다 일반적인 개념이 정의되는 방식이기도 합니다.
Reality of quadratic forms
\(n\times{}n\) 행렬 \(A\)가 에르미트인 것과 다음은 필요충분 조건입니다:
\(\langle \mathbf{v}, A \mathbf{v}\rangle\in\mathbb{R}, \quad \mathbf{v}\in \mathbb{C}^{n}.\)
Spectral properties
정사각 행렬 \(A\)가 에르미트인 것과 그것이 실수 고윳값(eigenvalues)을 갖는 유니태리적으로 대각화-가능(diagonalizable)인 것은 필요충분 조건입니다.
Applications
에르미트 행렬은 반드시 실수 고윳값을 갖는 연산자를 설명하기 때문에 [[quantum mechanics|양자 역학(quantum mechanics)]]의 토대적입니다. 일부 양자 상태 \(|\psi\rangle\)에서 연산자 \(\hat{A}\)의 고윳값 \(a\)는 연산자의 가능한 측정 결과 중 하나이며, 실수 고윳값을 갖는 연산자에 대한 요구를 필요로 합니다.
Examples and solutions
이 섹션에서 행렬 \( A \)의 켤레 전치는 \( A^\mathsf{H}\)로 표시되고, 행렬 \( A \)의 전치는 \( A^\mathsf{T} \)로 표시되고 행렬 \( A \)의 켤레는 \( \overline{A}\)로 표시됩니다.
다음 예제를 참조하십시오:
\(\quad \begin{bmatrix}
0 & a - ib & c-id \\
a+ib & 1 & m-in \\
c+id & m+in & 2
\end{bmatrix}\)
대각 원소는 실수(real)여야 하는데, 왜냐하면 그것들은 자신의 복소수 켤레이기 때문입니다.
에르미트 행렬의 잘-알려진 가족은 파울리 행렬(Pauli matrices), 겔-맨 행렬(Gell-Mann matrices), 및 그것들의 일반화를 포함합니다. 이론 물리학(theoretical physics)에서, 그러한 에르미트 행렬은 종종 허수 계수로 곱해져, 반-에르미트 행렬(skew-Hermitian matrices)을 초래합니다.
여기서, 추상적인 예를 사용하여 또 다른 유용한 에르미트 행렬을 제공합니다. 만약 정사각 행렬 \( A \)가 그것의 켤레 전치를 갖는 행렬의 곱과 같으면, 즉, \( A = BB^\mathsf{H}\)이면, \( A \)는 에르미트 양수 반-한정 행렬(positive semi-definite matrix)입니다. 더욱이, 만약 \( B \)가 행 전체-랭크이면, \( A \)는 양수 한정입니다.
Properties
Main diagonal values are real
임의의 에르미트 행렬의 (꼭대기 왼쪽에서 바닥 오른쪽까지) 주요 대각선(main diagonal)에 있는 엔트리는 실수입니다.
Proof
에르미트 행렬의 정의에 의해
\(\quad H_{ij} = \overline{H}_{ji} \)
따라서 i = j에 대해 위가 따라옵니다.\(\square\)
주요 대각선 엔트리만 반드시 실수입니다; 에르미트 행렬은 대각선적으로-반대 엔트리가 켤레 복소수인 한 비-대각선 원소(off-diagonal elements)에 임의적인 복소수-값 엔트리를 가질 수 있습니다.
Symmetric
실수 엔트리만 있는 행렬이 대칭인 것과 그것이 에르미트 행렬인 것은 필요충분 조건입니다. 실수 행렬과 대칭 행렬은 단순히 에르미트 행렬의 특수한 경우입니다.
Proof
정의에 의해 \(H_{ij} = \overline{H}_{ji}\). 따라서 \(H_{ij} = H_{ji}\) (대칭 행렬)인 것과 \(H_{ij} = \overline{H}_{ij}\) (\(H_{ij}\)가 실수)인 것은 필요충분 조건입니다.\(\square\)
따라서, 만약 실수 반-대칭 행렬은 허수 단위 \(i\)의 실수 배를 곱하면, 그것은 에르미트가 됩니다.
Normal
모든 각 에르미트 행렬은 정규 행렬(normal matrix)입니다. 즉 말하자면, \(AA^\mathsf{H} = A^\mathsf{H}A.\)
Proof
\(\quad A = A^\mathsf{H},\) 따라서 \(AA^\mathsf{H} = AA = A^\mathsf{H}A.\)\(\square\)
Diagonalizable
유한-차원 스펙트럼 정리는 임의의 에르미트 행렬은 유니태리 행렬(unitary matrix)에 의해 대각화될 수 있고, 결과 대각 행렬은 실수 엔트리만 가진다고 말합니다. 이것은 차원 n을 갖는 에르미트 행렬 A의 모든 고윳값(eigenvalues)이 실수이고, A가 n개의 선형적으로 독립 고유벡터(eigenvectors)를 가짐을 의미합니다. 게다가, 에르미트 행렬은 구별되는 고윳값에 대한 직교(orthogonal) 고유벡터를 가집니다. 심지어 퇴화 고윳값이 있더라도, A의 n 고유벡터로 구성된 \(\mathbf{C}^n\)의 직교 기저(orthogonal basis)를 찾는 것은 항상 가능합니다.
Sum of Hermitian matrices
임의의 두 에르미트 행렬의 합은 에르미트입니다.
Proof
\(\quad (A + B)_{ij} = A_{ij} + B_{ij} = \overline{A}_{ji} + \overline{B}_{ji} = \overline{(A + B)}_{ji},\) 주장한 바와 같습니다.\(\square\)
Sum of Hermitian matrices
역가능 에르미트 행렬의 역(inverse)은 마찬가지로 에르미트입니다.
Proof
만약 \(A^{-1}A = I\)이면, \(I= I^\mathsf{H} = \left(A^{-1}A\right)^\mathsf{H} = A^\mathsf{H}\left(A^{-1}\right)^\mathsf{H} = A \left(A^{-1}\right)^\mathsf{H}\)이므로, 주장한 대로 \(A^{-1}=\left(A^{-1}\right)^\mathsf{H}\)입니다.\(\square\)
Associative product of Hermitian matrices
두 에르미트 행렬 A와 B의 곱(product)이 에르미트인 것과 AB = BA인 것은 필요충분 조건입니다.
Proof
\(\quad (AB)^\mathsf{H} = \overline{(AB)^\mathsf{T}} = \overline{B^\mathsf{T} A^\mathsf{T}} = \overline{B^\mathsf{T}} \ \overline{A^\mathsf{T}} = B^\mathsf{H} A^\mathsf{H} = BA.\)
따라서 \((AB)^\mathsf{H} = AB\)인 것과 \(AB = BA\)인 것은 필요충분 조건입니다.
따라서 \(A^n\)은 A가 에르미트이고 n이 정수이면 에르미트입니다.\(\square\)
ABA Hermitian
만약 A와 B가 에르미트이면, ABA는 역시 에르미트입니다.
Proof
\(\quad (ABA)^\mathsf{H} = (A(BA))^\mathsf{H} = (BA)^\mathsf{H}A^\mathsf{H} = A^\mathsf{H}B^\mathsf{H}A^\mathsf{H} = ABA \)\(\square\)
\(\rm v^H A v\) is real for complex v
임의적인 복소수-값 벡터 v에 대해, 곱 \( \mathbf{v}^\mathsf{H} A \mathbf{v} \)는 \( \mathbf{v}^\mathsf{H} A \mathbf{v} = \left(\mathbf{v}^\mathsf{H} A \mathbf{v}\right)^\mathsf{H}\)이기 때문에 실수입니다. 이것은 에르미트 행렬이 시스템의 속성, 예를 들어, 실수여야 하는 총 스핀(spin)을 측정하는 연산자인 양자 물리학에서 특히 중요합니다.
Complex Hermitian forms vector space over R
에르미트 복소수 \(n \times n\) 행렬은 복소수 C에 걸쳐 벡터 공간을 형성하지 않는데, 왜냐하면 항등 행렬 \(I_n\)은 에르미트이지만, \(i\,I_n\)은 그렇지 않기 때문입니다. 어쨌든 복소수 에르미트 행렬은 실수 R에 걸쳐 벡터 공간을 형성합니다. R에 걸쳐 복소수 \(n \times n\) 행렬의 \(2n^2\)-차원 벡터 공간에서, 복소수 에르미트 행렬은 차원 \(n^2\)의 부분공간을 형성합니다. 만약 \(E_{jk}\)가 j,k 위치에 1를 갖고 다른 위치에 0을 갖는 \(n \times n\) 행렬을 나타내면, 기저 (프로베니우스 안의 곱에 관해 직교정규)는 다음과 같이 설명될 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle E_{jj} \text{ for } 1 \leq j \leq n \quad (n \text{ matrices}) \)
이때 다음 형식의 행렬의 집합과 함께
\(\quad\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\left(E_{jk} + E_{kj}\right) \text{ for } 1 \leq j < k \leq n \quad \left( \frac{n^2-n} 2 \text{ matrices} \right) \)
그리고 다음 행렬과 함께
\(\quad\displaystyle \frac{i}{\sqrt{2}}\left(E_{jk} - E_{kj}\right) \text{ for } 1 \leq j < k \leq n \quad \left( \frac{n^2-n} 2 \text{ matrices} \right) \)
여기서 \(i\)는 허수 단위(imaginary unit), \(i = \sqrt{-1}\)를 나타냅니다.
예를 들어 4개의 파울리 행렬(Pauli matrices)이 R에 걸쳐 모든 복소수 \(2\times 2\) 에르미트 행렬의 벡터 공간에 대한 완전한 기저를 형성한다는 것입니다.
Eigendecomposition
만약 에르미트 행렬의 n 직교정규 고유벡터 \(\mathbf{u}_1, \dots, \mathbf{u}_n\)가 선택되고 행렬 U의 열로 쓰면, A의 하나의 고유분해(eigendecomposition)는 \( A = U \Lambda U^\mathsf{H}\)이며, 여기서 \(U U^\mathsf{H} = I = U^\mathsf{H} U\)이고 따라서 다음과 같습니다:
\(\quad\displaystyle A = \sum_j \lambda_j \mathbf{u}_j \mathbf{u}_j ^\mathsf{H},\)
여기서 \(\lambda_j\)는 대각 행렬 \(\Lambda\)의 대각선 위에 있는 고윳값입니다.
Singular values
\(A\)의 특이값은 그것의 고윳값의 절댓값입니다:
\(A\)가 고유분해 \(A=U\Lambda U^H\)를 가지기 때문에, 여기서 \(U\)는 유니태리 행렬(unitary matrix)이며 (그 열은 직교정규 벡터입니다; 위를 참조), \(A\)의 특이값 분해(singular value decomposition)는 \(A=U|\Lambda|\text{sgn}(\Lambda)U^H\)이며, 여기서 \(|\Lambda|\)와 \(\text{sgn}(\Lambda)\)는 각각 \(A\)의 고윳값의 절댓값 \(|\lambda|\)과 부호 \(\text{sgn}(\lambda)\)를 포함하는 대각 행렬입니다. \(\text{sgn}(\Lambda)U^H\)는 유니태리인데, 왜냐하면 \(U^H\)의 열은 \(\pm 1\)만 곱해지기 때문입니다. \(|\Lambda|\)는 \(A\)의 특이값, 즉, 그 고윳값의 절댓값을 포함합니다.
Real determinant
에르미트 행렬의 행렬식은 실수입니다:
Proof
\(\quad \det(A) = \det\left(A^\mathsf{T}\right)\quad \Rightarrow \quad \det\left(A^\mathsf{H}\right) = \overline{\det(A)} \)
Therefore if \(A = A^\mathsf{H}\quad \Rightarrow \quad \det(A) = \overline{\det(A)} .\)\(\square\)
(대안적으로, 행렬식은 행렬의 고윳값의 곱이고, 앞서 언급한 바와 같이, 에르미트 행렬의 고윳값은 실수입니다.)
Decomposition into Hermitian and skew-Hermitian matrices
에르미트 행렬과 관련된 추가적인 사실은 다음을 포함합니다:
- 정사각 행렬과 그 켤례 전치의 합 \(\left(A + A^\mathsf{H}\right)\)은 에르미트입니다.
- 정사각 행렬과 그 켤레 전치의 차이 \(\left(A - A^\mathsf{H}\right)\)는 반-에르미트(skew-Hermitian)입니다 (역시 antihermitian라고 불립니다). 이것은 두 에르미트 행렬의 교환자(commutator)가 반-에르미트임을 의미합니다.
- 임의적인 정사각 행렬 C는 에르미트 행렬 A와 반-에르미트 행렬 B의 합으로 쓸 수 있습니다. 이것은 C의 퇴플리츠 분해라고 알려져 있습니다.
- \(C = A + B \quad\text{with}\quad A = \frac{1}{2}\left(C + C^\mathsf{H}\right) \quad\text{and}\quad B = \frac{1}{2}\left(C - C^\mathsf{H}\right)\)
Rayleigh quotient
수학에서, 주어진 복소수 에르미트 행렬 M과 비-영 벡터 x에 대해, 레일리(Rayleigh) 몫 \(R(M, \mathbf{x})\) 다음과 같이 정의됩니다:
\(\quad\displaystyle R(M, \mathbf{x}) := \frac{\mathbf{x}^\mathsf{H} M \mathbf{x}}{\mathbf{x}^\mathsf{H} \mathbf{x}}.\)
실수 행렬과 벡터에 대해, 에르미트가 되는 조건은 대칭이 되는 조건으로 줄어들고, 켤레 전치 \(\mathbf{x}^\mathsf{H}\)는 보통의 전치 \(\mathbf{x}^\mathsf{T}\)로 줄어듭니다. 임의의 비-영 실수 스칼라 \(c\)에 대해 \(R(M, c \mathbf x) = R(M, \mathbf x)\)입니다. 역시, 에르미트 (또는 실수 대칭) 행렬은 실수 고윳값을 가짐을 기억하십시오.
주어진 행렬에 대해, \(\mathbf x\)가 \(\mathbf v_\min\) (해당 고유벡터)일 때, 레일리 몫이 최솟값 \(\lambda_\min\) (\(M\)의 최소 고윳값)에 도달한다는 것을 알 수 있습니다. 마찬가지로, \(R(M, \mathbf x) \leq \lambda_\max\)와 \(R(M, \mathbf v_\max) = \lambda_\max\)입니다.
레일리 몫은 모든 고윳값의 정확한 값을 얻기 위해 최소-최대 정리에서 사용됩니다. 그것은 역시 고유벡터 근사에서 고윳값 근사를 얻기 위해 고윳값 알고리듬에서 사용됩니다. 특히, 이것은 레일리 몫 반복의 기초입니다.
(반드시 에르미트 행렬이 아닌 행렬에 대해) 레일리 몫의 범위는 수치적 범위 (또는 함수형 해석에서 스펙트럼)라고 불립니다. 행렬이 에르미트일 때, 수치적 범위는 스펙트럼 노름과 같습니다. 여전히 함수형 해석에서, \(\lambda_\max\)는 스펙트럼 반지름으로 알려져 있습니다. C*-대수 또는 대수적 양자 역학의 맥락에서, M이 대수를 통해 변화하는 고정된 x와 M에 대해 레일리 몫 \(R(M,\mathbf x)\)를 결합하는 함수는 대수의 "벡터 상태"라고 참조됩니다.
See also
- Normal matrix – Matrix that commutes with its conjugate transpose
- Skew-Hermitian matrix – Matrix whose conjugate transpose is its negative (additive inverse) (anti-Hermitian matrix)
- Unitary matrix – Complex matrix whose conjugate transpose equals its inverse
- Vector space – Algebraic structure in linear algebra
External links
- "Hermitian matrix", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
- Visualizing Hermitian Matrix as An Ellipse with Dr. Geo, by Chao-Kuei Hung from Chaoyang University, gives a more geometric explanation.
- "Hermitian Matrices". MathPages.com.
