수학(mathematics)에서, 함수(functions)의 연속성(continuity)에 대한 개념은 두 집합 A와 B 사이의 다중-값 매핑(multivalued mappings) 또는 대응으로 즉시 확장할 수는 없습니다. 위쪽 반연속성(upper hemicontinuity)과 아래쪽 반연속성(lower hemicontinuity)의 이중 개념은 그러한 확장을 용이하게 합니다. 두 속성을 모두 갖는 대응은 함수에 대해 같은 이름의 속성에 대한 아날로지에서 연속(continuous)이라고 말합니다.
대략적으로 말하면, 함수는 (1) 도메인에서 점들의 수렴하는 수열이 (2) 또 다른 수렴하는 수열을 포함하는 치역에서 집합의 수열에 매핑하고, 그런-다음 도메인에서 극한하는 점의 이미지가 치역에서 수열의 극한을 포함해야 할 때 위쪽 반연속입니다. 아래쪽 반연속성은 본질적으로 이것을 역전하며, 말하자면 만약 극한의 치역에서 한 점이 주어지면, 도메인에서 수열이 수렴하면, 여러분은 그것의 미이지가 주어진 점에 대한 수렴하는 수열을 포함하는 부분-수열을 찾을 수 있습니다.
Upper hemicontinuity
대응 Γ : A → B는 만약 Γ(a)의 임의의 열린 이웃 V에 대해 U에서 모든 x에 대해, Γ(x)가 V의 부분집합을 만족하는 a의 이웃 U가 존재하면 점 a에서 위쪽 반연속(upper hemicontinuous)이라고 말합니다.
Sequential characterization
닫힌 값을 갖는 대응 Γ : A → B에 대해, 만약 Γ : A → B가 \(a\in A\)에서 위쪽 반연속이면, \(\forall a_n \in A\), \(\forall b \in B\)이고 \(\forall b_n \in \Gamma(a_n)\) 다음입니다:
\(\quad\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = a,\; \lim_{n\to\infty} b_n = b \implies b \in \Gamma(a) \)
만약 B가 컴팩트이면, 그 수렴은 역시 참입니다.
Closed graph theorem
대응 Γ : A → B의 그래프는 \(Gr(\Gamma) = \{(a,b)\in A\times B : b\in\Gamma(a)\}\)에 의해 정의된 집합입니다.
만약 Γ : A → B가 닫힌 도메인 (즉, 점 a ∈ A의 집합이 닫혀 있으며, 여기서 Γ(a)는 빈 집합이 아님)이고 닫힌 값 (즉, Γ(a)가 A에서 모든 a에 대해 닫혀 있음)을 갖는 위쪽 반연속 대응이면, Gr(Γ)는 닫혀 있습니다. 만약 B가 컴팩트이면, 그 전환은 역시 참입니다.
Lower hemicontinuity
대응 Γ : A → B는 만약 Γ(a)를 교차하는 임의의 열린 집합 V에 대해 Γ(x)가 U에서 모든 x에 대해 V를 교차함을 만족하는 a의 이웃 U가 존재하면 아래쪽 반연속(lower hemicontinuous)이라고 말합니다. (여기서 V가 S를 교차한다는 것은 비-빈 교집합 \(V \cap S \neq\emptyset\)을 의미합니다).
Sequential characterization
Γ : A → B는 a에서 아래쪽 반연속인 것과 다음은 필요충분 조건입니다:
\(\quad\displaystyle \forall a_m \in A, \, a_m \to a, \forall b \in \Gamma(a), \exists a_{m_k}\) subsequence of \(a_m, \, \exists b_k \in \Gamma(a_{m_k}), \, b_k \to b \)
Open graph theorem
대응 Γ : A → B는 만약 집합 \(\Gamma^{-1}(b) =\{ a \in A : b \in \Gamma(a)\}\)이 모든 각 b ∈ B에 대해 A에서 열린 것이면 열린 아래쪽 섹션(open lower sections) 가집니다. 만약 Γ 값이 B에서 모든 열린 집합이면, Γ는 열린 위쪽 섹션(open upper sections)을 가진다고 말합니다.
만약 Γ가 열린 그래프 Gr(Γ)를 가지면, Γ는 열린 위쪽 및 아래쪽 섹션을 가지고 만약 Γ가 열린 아래쪽 섹션을 가지면 그것은 아래쪽 반연속입니다.
열린 그래프 이론은 만약 \(\Gamma : A \to P(\mathbf{R}^n)\)가 열린 위쪽 섹션을 갖는 볼록-값 대응이면, Γ가 \(A \times \mathbf{R}^n\)에서 열린 그래프를 가지는 것과 Γ가 아래쪽 반연속인 것은 필요충분 조건임을 말합니다.
Properties
(합집합, 합성, 합, 볼록 껍질, 클러저와 같은) 다중-값 맵에 대한 집합-이론적, 대수적 및 토폴로지적 연산은 보통 연속성의 유형을 보존합니다. 그러나 이것은 적절한 주의를 기울여야 하는데 왜냐하면, 예를 들어, 그것의 교차가 아래쪽 반연속이 아닌 한 쌍의 아래쪽 반연속 대응이 존재하기 때문입니다. 이것은 연속성 속성을 강화함으로써 해결될 수 있습니다: 만약 아래쪽 반연속 다중-함수 중 하나가 열린 그래프를 가지면 교차가 다시 아래쪽 반연속입니다.
(응용의 관점에서) 집합-값 해석학에 중요한 것은 단일-값 선택(selections)과 다중-값 맵에 대한 근사를 조사하는 것입니다. 전형적으로 아래쪽 반연속 대응은 단일-값 선택 (미카엘 선택 정리(Michael selection theorem), 브리산-콜롬보(Bressan-Colombo) 방향 연속 선택 정리, 프리스콥스키(Fryszkowski) 분해-가능 맵 선택)을 허용합니다. 마찬가지로, 위쪽 반연속 맵은 근사를 인정합니다 (예를 들어, Ancel–Granas–Górniewicz–Kryszewski 정리).
Implications for continuity
만약 대응이 위쪽 반연속 및 아래쪽 반연속 둘 다이면, 그것은 연속이라고 말합니다. 연속 함수는 모든 경우에서 위쪽 및 아래쪽 반연속입니다.
Other concepts of continuity
위쪽 및 아래쪽 반연속은 보통 연속성으로 보일 수 있습니다:
- Γ : A → B가 아래쪽 [각각 위쪽] 반연속인 것과 매핑 Γ : A → P(B)은 초공간(hyperspace) P(B)가 아래쪽 [각각 위쪽] 피토리스 토폴로지를 부여받는 곳에서 연속인 것은 필요충분 조건입니다.
(초공간의 개념에 대해 역시 거듭제곱 집합(power set) 및 함수 공간(function space)을 비교하십시오).
아래쪽 및 위쪽 하우스도르프(Hausdorff) 균등성(uniformity)을 사용하면 우리는 소위 하우스도르프의 의미에서 위쪽 및 아래쪽 반연속 맵을 역시 정의할 수 있습니다 (역시 거리적으로 아래쪽 / 위쪽 반연속 맵으로 알려져 있습니다).
See also
References
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