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(번역) Exponential growth

by 다움위키 2024. 2. 9.
Original article: w:Exponential growth

 

지수 성장(Exponential growth)은 시간이 지남에 따라 양을 증가시키는 과정입니다. 그것은 시간에 관한 양의 순간 변화율(rate of change) (즉, 도함수(derivative))이 양 자체에 비례(proportional)일 때 발생합니다. 함수(function)로 설명된, 지수 성장을 겪는 양은 시간의 지수 함수(exponential function)이며, 즉, 시간을 나타내는 변수는 지수입니다 (이차 성장(quadratic growth)과 같은 성장의 다른 유형과 대조적입니다).

만약 비례의 상수가 음수이면, 양은 시간이 지남에 따라 감소하고, 대신 지수 감쇠(exponential decay)를 겪고 있다고 말합니다. 같은 구간을 갖는 정의의 이산 도메인(domain)의 경우에서, 그것은 역시 기하하적 성장 또는 기하학적 감쇠라고 불리는데 왜냐하면 함수 값이 기하 진행(geometric progression)을 형성하기 때문입니다.

성장률 r에서 변수 x의 지수 성장에 대해 공식은, 시간 t가 이산 구간 (즉, 정수 시간 0, 1, 2, 3, ...)에서 변해갈 때, 다음입니다:

\(\quad x_t = x_0(1+r)^t\)

여기서 \(x_0\)는 시간 0에서 x의 값입니다. 박테리아(bacteria) 집단(colony)의 성장은 종종 그것을 묘사하기 위해 사용됩니다. 하나의 박테리아는 스스로 둘로 나뉘고, 그것의 각각이 스스로 분리하여 4개 되고, 그런-다음 8, 16, 32, 이런 식으로 계속됩니다. 증가율은 증가를 계속 유지하는데 왜냐하면 계속-증가하는 박테리아의 숫자에 비례하기 때문입니다. 이와 같은 성장은 바이러스 감염의 확산, 복리(compound interest)로 인한 부채의 성장, 바이럴 비디오(viral video)의 확산과 같은 실-생활 활동 또는 현상에서 관찰됩니다. 실제 사례에서, 초기 지수 성장은 종종 마지막까지 영원하지 않고, 대신에 외부 요인으로 인한 위쪽 경계로 기인하여 결국 천천히 감소하고 물류 성장(logistic growth)으로 전환됩니다.

Examples

Biology

  • 배양(culture) 안에 미생물(microorganism)의 숫자는 필수 영양소가 고갈될 때까지 지수적으로 증가할 것입니다. 전형적으로 첫 번째 유기체는 두 개의 딸 유기체로 분리(splits)되고, 그것들은 그 후 각각 분리되어 4개를 형성하고, 그것들이 분리되어 8개를 형성하고, 이런 식입니다. 지수 성장은 상수 성장률을 나타내기 때문에, 그것은 지수적으로 성장하는 세포가 정상-상태에 있다고 자주 가정됩니다. 어쨌든, 세포는 그것들의 신진-대사와 유전자 발현을 재구성하는 동안 상수 율에서 기수적으로 성장할 수 있습니다.
  • 바이러스 (예를 들어 코비드-19(COVID-19), 또는 천연두(smallpox))는 전형적으로 만약 인공 예방접종(immunization)이 유용하지 않으면 처음에 지수적으로 확산될 것입니다. 각 감염자는 여러 명의 새로운 사람을 감염시킬 수 있습니다.

Physics

Economics

Finance

Computer science

  • 컴퓨터의 처리 능력. 역시 무어의 법칙(Moore's law)과 기술적 특이점(technological singularity)을 참고하십시오. (지수 성장 아래에서, 특이점이 없습니다. 특이점은 여기서 상상할-수-없는 미래를 전달하는 것을 의미하는 은유입니다. 이 가상의 개념과 지수 성장의 연결은 미래학자 레이 커즈와일(Ray Kurzweil)에 의해 가장 음성적으로 만들어졌습니다.)
  • 계산 복잡도 이론(computational complexity theory)에서, 지수 복잡도의 컴퓨터 알고리듬은 오직 문제 크기에서 상수 증가에 대해 지수적으로 증가하는 자원 (예를 들어, 시간, 컴퓨터 메모리)의 총양을 요구합니다. 따라서 시간 복잡도 2x의 알고리듬에 대해, 만약 크기 x = 10의 문제는 완료하기 위해 10초를 요구하고, 크기 x = 11의 문제는 20초를 요구하면, 크기 x = 12의 문제는 40초를 요구합니다. 이 종류의 알고리듬은 전형적으로 매우 작은 문제 크기, 종종 30에서 100 항목 사이에서 사용할 수 없게 됩니다 (대부분의 컴퓨터 알고리듬은 훨씬 더 큰 문제, 수만까지 또는 심지어 수백만 개의 항목, 지수 알고리듬과 함께 물리적으로 불가능한 어떤 것을 합리적인 시간에 해결할 수 있어야 합니다). 역시, 무어의 법칙(Moore's Law)의 효과는 그 상황에 별로 도움이 되지 않는데 왜냐하면 프로세서 속력을 두 배로 늘이는 것이 단지 문제 크기를 상수만큼 늘이는 것을 허용하기 때문입니다. 예를 들어, 만약 느린 프로세서가 시간 t에서 크기 x의 문제를 해결할 수 있다면, 두 배 빠른 프로세서는 같은 시간 t에서 크기 x + 상수의 문제를 오직 해결할 수 있습니다. 따라서 지수적으로 복잡한 알고리듬은 대부분 비실용적이고, 보다 효율적인 알고리듬을 찾는 것이 오늘날 컴퓨터 과학의 핵심 목표 중 하나입니다.

Internet phenomena

  • 인터넷 밈(internet meme) 또는 비디오(video)와 같은 인터넷 콘텐츠는 지수적 방식으로 확산될 수 있으며, 종종 바이러스의 확산에 대한 아날로그로 "go viral"이라고 말합니다. 소셜 네트워크(social networks)와 같은 미디어와 함께, 한 사람이 같은 콘텐츠를 여러 사람에게 동시에 전달할 수 있으며, 그 사람은 그런-다음 훨씬 더 많은 사람에게 퍼뜨리고, 이런 식으로 계속 퍼집니다. 예를 들어, 동영성 강남 스타일(Gangnam Style)은 2012년 7월 15일 유투브(YouTube)에 업로드되어, 첫날에는 수십만 시청자, 20일에 수백만에 도달하여, 2개월도 안되어 누적 조회수가 수억 명이 되었습니다.

Basic formula

양 x는 만약 다음이면 시간 t에 지수적으로 의존합니다:

\(\quad\displaystyle x(t)=a\cdot b^{t/\tau}\)

여기서 상수 a는 x의 초기 값입니다:

\(\quad\displaystyle x(0)=a\, ,\)

상수 b는 양의 성장 인수이고, τ는 시간 상수(time constant)–x에 대해 b의 하나의 인수만큼 증가하기 위해 요구된 시간입니다:

\(\quad\displaystyle x(t+\tau)=a \cdot b^{\frac{t+\tau}{\tau}} = a \cdot b^{\frac{t}{\tau}} \cdot b^{\frac{\tau}{\tau}} = x(t)\cdot b\, .\)

만약 τ > 0이고 b > 1이면, x는 지수 성장입니다. 만약 τ < 0이고 b > 1, 또는 τ > 0이고 0 < b < 1이면, x는 지수 감쇠(exponential decay)를 가집니다.

예제: 만약 한 종의 박테리아가 매 십분마다 두 배로 증가하면, 오직 한 박테리아로 시작하여, 한 시간 후에 얼마나 많은 박테리아가 존재할까요? 질문은 a = 1, b = 2 및 τ = 10 분을 의미합니다.

\(\quad\displaystyle x(t)=a\cdot b^{t/\tau}=1\cdot 2^{(60\text{ min})/(10\text{ min})}\)

\(\quad\displaystyle x(1\text{ hr})= 1 \cdot 2^6 =64.\)

한 시간, 또는 육십분 기간 후에, 64 박테리아가 있을 것입니다.

무차원(dimensionless) 비-음의 숫자 b와 시간 τ의 총양의 많은 쌍 (b, τ) (단위의 숫자와 시간의 단위의 곱으로 표현될 수 있는 물리적 양(physical quantity))은 log b에 비례하는 τ를 갖는 같은 성장 율을 나타냅니다. 1과 같지 않은 임의의 고정된 b (예를 들어, e 또는 2)에 대해, 성자율은 비-영 시간 τ에 의해 제공됩니다. 임의의 비-영 시간 τ에 대해, 성장률은 무차원 양의 숫자 b에 의해 주어집니다.

따라서, 지수 성장의 법칙은 다른 밑수(base)를 사용함으로써 다르지만 수학적으로 동등한 형식으로 쓰일 수 있습니다. 가장 공통적인 형식은 다음과 같습니다:

\(\quad\displaystyle x(t) = x_0\cdot e^{kt} = x_0\cdot e^{t/\tau} = x_0 \cdot 2^{t/T}
= x_0\cdot \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^{t/p},\)

여기서 \(x_0\)는 초기 양 x(0)를 표현합니다.

매개변수 (지수 감쇠의 경우에서 음수):

양 k, τ와 T, 및 주어진 p에 대해 역시 r은 다음 방정식에 의해 주어진 일-대-일 연결을 가집니다 (이것은 위의 것에 자연 로그를 취함으로써 유도될 수 있습니다):

\(\quad\displaystyle k = \frac{1}{\tau} = \frac{\ln 2}{T} = \frac{\ln \left( 1 + \frac{r}{100} \right)}{p}\)

여기서 k = 0은 r = 0에 해당하고 τ와 T는 무한인 것에 해당합니다.

만약 p가 시간의 단위이면, 몫 t/p는 단순히 시간의 단위의 횟수입니다. 시간 자체가 아닌 (무차원) 시간의 단위의 횟수에 대해 표기법 t를 사용하면, t/p는 t로 대체될 수 있지만, 균등성에 대해 이것은 여기서 피해집니다. 이 경우에서, 마지막 공식에서 p에 의한 나눗셈은 역시 수치적 나눗셈이 아니라, 무차원 횟수를 단위를 포함하는 정확한 양으로 변환합니다.

성장률에서 두 배하는 시간을 계산하는 인기있는 방법은 70의 규칙(rule of 70), 즉, \(T \simeq 70 / r\)입니다.

Reformulation as log-linear growth

만약 변수 x가 \(x(t)=x_0(1+r)^t\)를 따라 지수 성장을 나타내면, x의 (임의의 밑수에 대한) 로그는 시간에 걸쳐 선형적으로 성장(grows linearly)하는데, 지수 성장 방정식의 양쪽 변에 로그(logarithm)를 취함으로써 보일 수 있기 때문입니다:

\(\quad \log x(t) = \log x_0 + t \cdot \log (1+r).\)

이것은 지수 성장하는 변수를 로그-선형 모델(log-linear model)로 모델링하는 것을 허용합니다. 예를 들어, 만약 우리가 x에 대한 시간-사이의 데이터에서 성장률을 경험적으로 추정하기를 원하면, 우리는 t에 대한 로그 x를 선형적으로 회귀(linearly regress)시킬 수 있습니다.

Differential equation

지수 함수(exponential function) \(x(t)=x(0) e^{kt}\)는 선형 미분 방정식(linear differential equation)을 만족시킵니다:

\(\quad\displaystyle \frac{dx}{dt} = kx\)

이것은 시간 t에서 x의 시간의 순간 당 변화는 x(t)의 값에 비례하고, x(t) 초기 값(initial value) \(x(0)\)를 가진다고 말합니다.

미분 방정식은 직접 적분화에 의해 해결됩니다:

\(\quad\displaystyle 
\begin{align}
\frac{dx}{dt} & = kx \\[5pt]
\frac{dx} x & = k\, dt \\[5pt]
\int_{x(0)}^{x(t)} \frac{dx}{x} & = k \int_0^t  \, dt \\[5pt]
\ln \frac{x(t)}{x(0)} & =  kt.
\end{align}
\)

따라서,

\(\quad\displaystyle  x(t) =  x(0) e^{kt}\)

위의 미분 방정식에서, 만약 k < 0이면, 양은 지수 감쇠(exponential decay)를 경험합니다.

이 성장 모델의 비-선형(nonlinear) 변동에 대해, 로지스틱 함수(logistic function)를 참조하십시오.

Other growth rates

장기적으로, 임의의 종류의 지수적 성장은 임의의 종류의 선형 성장 (즉, 맬서스 대이변(Malthusian catastrophe)의 기초)뿐만 아니라 임의의 다항식(polynomial) 성장을 추월할 것입니다. 즉, 모든 α에 대해 다음일 것입니다:

\(\quad\displaystyle \lim_{t\rightarrow\infty} {t^\alpha \over ae^t} =0.\)

(장기적으로) 지수적보다 느리고 선형적보다 빠른 생각할 수 있는 성장률의 전체 계층이 있습니다. Degree of a polynomial § Computed from the function values을 참조하십시오.

성장률은 역시 지수적보다 빠를 수 있습니다. 가장 극단적인 경우에서, 성장이 유한 시간에서 경계없이 증가할 때, 그것은 쌍곡선 성장이라고 불립니다. 지수 성장과 쌍곡선 성장 사이에 테트레이션(tetration)에서 시작하는 초연산(hyperoperation)과 아커만 함수(Ackermann function)의 대각선, \(A(n,n)\)과 같은 더 많은 종류의 성장 동작이 펼쳐져 있습니다.

Logistic growth

실제에서, 초기 지수적 성장은 종종 영원히 지속되지 않습니다. 일정 기간 후에, 그것은 외부 또는 환경 요인에 의해 속도가 느려질 것입니다. 예를 들어, 인구 성장은 자원 제한으로 인해 위쪽 극한에 도달할 수 있습니다. 1845년에, 벨기에의 수학자 피에르 프랑수아 베르훌스트(Pierre François Verhulst)는 "로지스틱 성장(logistic growth)"이라고 불리는 이와 같은 수학적 성장의 모델을 처음 제안했습니다.

Limitations of models

물리적 현상의 지수적 성장 모델은 제한된 지역 내에서 오직 적용되는데, 왜냐하면 무-경계진 성장은 물리적으로 현실적이지 않기 때문입니다. 비록 성장이 초기에 지수적일지라도, 모델링된 현상은 결국 이전에 무시되었던 음성 피드백(negative feedback) 요인이 중요해지거나 (로지스틱 성장(logistic growth) 모델로 이어짐) 연속성 또는 순간적 피드백, 중단과 같은 지수 성장 모델의 다른 놓여있는 가정이 되는 영역으로 들어갑니다.

Exponential growth bias

연구는 인간은 지수적 성장을 이해하는 데 어려움을 가짐을 보입니다. 지수적 성장 편향은 복합 성장 과정을 과소평가하는 경향입니다. 이 편향은 마찬가지로 재정적 영향을 가질 수 있습니다. 아래는 이 편향을 강조하는 몇 가지 이야기입니다.

Rice on a chessboard

옛 전설에 따르면, 비지어 시사 벤 다히르(vizier Sissa Ben Dahir)는 인도 왕 샤림에게 아름다운 수제 체스판(chessboard)을 선물했습니다. 왕은 그가 자신의 선물에 대한 대가로 무엇을 원하는지 물었고 브로커는 첫 번째 정사각형에 쌀 한 알, 두 번째에 두 알, 세 번째에 네 알, 등을 요청함으로써 왕을 놀라게 했습니다. 왕은 즉시 동의하고 쌀을 가져오도록 명령했습니다. 처음에는 모든 것이 순조롭게 진행되었지만, n-번째 정사각형에 \(2^{n-1}\) 곡물에 대한 요구 사항은 21번째 정사각형에 백만이 넘는 곡물을 요구했고, 41번째에 1조 (일명 틸리언(trillion)) 이상의 곡물을 요구했고 최종 정사각형에 대해 전 세계에 충분한 쌀이 없었습니다. (스월스키(Swirski)로부터, 2006)

체스판의 후반부(second half of the chessboard)는 지수적으로 성장하는 영향력이 조직의 전체 비즈니스 전략에 상당한 경제적 영향을 가지는 것일 때 시기입니다.

Water lily

프랑스 어린이들에게 지수적 성장의 측면을 보여주는 수수께끼를 제공합니다: "지수적으로 성장하는 양이 고정된 극한에 접근하는 명백한 돌연". 수수께끼는 연못에서 성장하는 수련 식물을 상상합니다. 그 식물은 매일 크기가 두 배로 늘어나고, 만약 홀로 방치하면, 그것은 30일 만에 연못을 질식시켜 물속의 다른 모든 생물을 죽일 것입니다. 날마다, 그 식물의 성장이 작으므로, 그것이 연못의 절반을 덮을 때까지 걱정하지 않기로 결정했습니다. 어느 날이 그렇게 될까요? 29일, 연못을 살리기 위해 오직 하루를 남깁니다.

References

External links

 

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