수학(mathematics)에서, 짝수 함수(even functions)와 홀수 함수(odd functions)는, 덧셈의 역원을 취하는 것과 관련하여, 특정 대칭(symmetry) 관계를 만족시키는 함수(function)입니다. 그것들은 수학적 해석학(mathematical analysis)의 많은 영역, 특히 거듭제곱 급수(power series)와 푸리에 급수(Fourier series)의 이론에서 중요합니다. 그것들은 각 조건: 함수 \(f(x)=x^n\)이 만약 \(n\)이 짝수 정수이면 짝수 함수이고, 만약 \(n\)이 홀수 정수이면 홀수 함수인 것을 만족하는 거듭제곱 함수(power function)의 거듭제곱의 패리티(parity)를 위해 명명되었습니다.
Definition and examples
짝수성 또는 홀수성은 일반적으로 실수 함수, 즉 실수 변수의 실수 함수(real function)에 대해 고려됩니다. 어쨌든, 개념은 정의역(domain) 및 공역(codomain) 모두가 덧셈에 대한 역원(additive inverse)을 가지는 함수에 대해 보다 일반적으로 정의될 수 있습니다. 여기에는 덧셈적 그룹(additive groups), 모든 링(ring), 모든 필드(field), 그리고 모든 벡터 공간(vector space)이 포함됩니다. 따라서, 예를 들어, 벡터 변수의 복소수-값 함수가 그런 것처럼, 실수 함수 등이 있습니다.
주어진 예제는 그래프의 대칭(symmetry)을 설명하기 위한 실수 함수입니다.
Even functions
\(f(x)\)를 실수 변수의 실수(real)-값 함수로 놓습니다. 그런 다음 \(f\)는 만약 \(f\)의 정의역 안의 모든 \(x\) 및 \(-x\)에 대해 다음 방정식을 만족하면 짝수 함수입니다:
\(\quad f(x) = f(-x)\cdots\bf{(Eq. 1)}\)
또는 동등하게 만약 \(f\)의 정의역 안의 모든 \(x\) 및 \(-x\)에 대해 다음 방정식을 만족하면 짝수 함수입니다:
\(\quad f(x) - f(-x) = 0.\)
기하학적으로 말하면, 짝수 함수의 그래프 면은 y-축에 관하여 대칭(symmetry)이므로, y-축에 대한 반사(reflection) 후에도 그래프(graph)가 변경되지 않음을 의미합니다.
짝수 함수의 예제는 다음과 같은 것이 있습니다:
- 절댓값(Absolute value) \(|x|\)
- \(x^2\)
- \(x^4\)
- 코사인(cosine) \(\cos(x)\)
- 쌍곡 코사인(hyperbolic cosine) \(\cosh(x)\)
Odd functions
다시 한번, \(f(x)\)를 실수 변수의 실수(real)-값 함수로 놓습니다. 그런 다음 \(f\)는 만약 \(f\)의 정의역 안의 모든 \(x\) 및 \(-x\)에 대해 다음 방정식을 만족하면 홀수 함수입니다:
\(\quad -f(x) = f(-x)\cdots\bf{(Eq. 2)}\)
또는 동등하게 만약 \(f\)의 정의역 안의 모든 \(x\) 및 \(-x\)에 대해 다음 방정식을 만족하면 홀수 함수입니다:
\(\quad f(x) + f(-x) = 0.\)
기하학적으로 말하면, 짝수 함수의 그래프 면은 원점(origin)에 관하여 회전적 대칭(symmetry)을 가지므로, 원점에 대한 180 도(degree)의 회전(rotation) 후에도 그래프(graph)가 변경되지 않음을 의미합니다.
홀수 함수의 예제는 다음과 같은 것이 있습니다:
- \(f(x)=x\)
- \(f(x)=x^3\)
- 사인(sine) \(f(x)=\sin(x)\)
- 쌍곡 사인(hyperbolic sine) \(f(x)=\sinh(x)\)
- 오차 함수(error function) \(f(x)=\operatorname{erf}(x)\)
Basic properties
Uniqueness
- 만약 함수가 짝수이고 홀수이면, 그것은 그것이 정의된 모든 곳에서 0과 같습니다.
- 만약 함수가 홀수이면, 그 함수의 절댓값(absolute value)은 짝수 함수입니다.
Addition and subtraction
- 두 짝수 함수의 합(sum)은 짝수입니다.
- 두 홀수 함수의 합은 홀수입니다.
- 두 홀수 함수의 차(difference)는 홀수입니다.
- 두 짝수 함수의 차는 짝수입니다.
- 짝수 함수와 홀수 함수의 합은, 함수 중의 하나가 주어진 정의역(domain)에 걸쳐 0과 같지 않으면, 짝수 또는 홀수가 아닙니다.
Multiplication and division
- 두 짝수 함수의 곱(product)은 짝수 함수입니다.
- 두 홀수 함수의 곱은 홀수 함수입니다.
- 짝수 함수와 홀수 함수의 곱은 홀수 함수입니다.
- 두 짝수 함수의 몫(quotient)은 짝수 함수입니다.
- 두 홀수 함수의 몫은 짝수 함수입니다.
- 짝수 함수와 홀수 함수의 몫은 홀수 함수입니다.
Composition
- 두 짝수 함수의 합성(composition)은 짝수입니다.
- 두 홀수 함수의 합성은 홀수입니다.
- 짝수 함수와 홀수 함수의 합성은 짝수입니다.
- 짝수 함수와 함께 임의의 함수의 합성은 짝수입니다 (그러나 반대는 그렇지 않습니다).
Even–odd decomposition
모든 각 함수는 짝수 함수와 홀수 함수의 합으로 고유하게 분해될 수 있는데, 함수의 짝수 부분(even part)과 홀수 부분(odd part)이라고 불립니다. 사실, 만약
\(\quad\displaystyle f_\text{e}(x) = \frac {f(x)+f(-x)}{2}\cdots\bf{(Eq. 3)}\)
및
\(\quad\displaystyle f_\text{o}(x) = \frac {f(x)-f(-x)}{2}\cdots\bf{(Eq. 4)}\)
을 정의하면 \(f_\text{e}\)는 짝수이고, \(f_\text{o}\)는 홀수이고,
\(\quad\displaystyle f(x)=f_\text{e}(x) + f_\text{o}(x).\)
역으로, 만약
\(\quad\displaystyle f(x)=g(x)+h(x),\)
여기서 g는 짝수이고 h가 홀수이면, \(g=f_\text{e}\) 및 \(h=f_\text{o}\)인데, 왜냐하면
\(\quad\displaystyle \begin{align}
2f_\text{e}(x) &=f(x)+f(-x)= g(x) + g(-x) +h(x) +h(-x) = 2g(x),\\
2f_\text{o}(x) &=f(x)-f(-x)= g(x) - g(-x) +h(x) -h(-x) = 2h(x).
\end{align}\)
예를 들어, 쌍곡 코사인(hyperbolic cosine)과 쌍곡 사인(hyperbolic sine)은 지수 함수의 짝수 및 홀수 부분으로 정의될 수 있는데, 왜냐하면 첫 번째 함수는 짝수 함수이고, 두 번째 함수는 홀수이고,
\(\quad\displaystyle e^x=\underbrace{\cosh (x)}_{f_\text{e}(x)} + \underbrace{\sinh (x)}_{f_\text{o}(x)}\).
Further algebraic properties
- 짝수 함수의 임의의 선형 조합(linear combination)은 짝수이고, 짝수 함수는 실수(real)에 걸쳐 벡터 공간(vector space)을 형성합니다. 마찬가지로, 홀수 함수의 임의의 선형 조합은 홀수이고, 홀수 함수는 실수에 걸쳐 벡터 공간을 역시 형성합니다. 사실, 모든 실수 함수의 벡터 공간은 짝수 및 홀수 함수의 부분-공간(sub-space)들의 직접 합(direct sum)입니다. 이것은 이전 섹션의 속성을 표현하는 것에 대해 보다 추상적인 방법입니다.
- 함수의 공간은 이 속성에 의해 실수에 걸쳐 등급화된 대수(graded algebra)로 여겨질 수 있으며, 그들 위의 일부에서도 마찬가지입니다.
- 짝수 함수는 실수에 걸쳐 교환 대수(commutative algebra)를 형성합니다. 어쨌든, 홀수 함수는 실수에 걸쳐 대수를 형성하지 않는데, 왜냐하면 그들은 곱셈 아래에 닫혀(closed) 있지 않습니다.
Calculus properties
짝수 또는 홀수 함수의 존재가 미분가능성(differentiability), 또는 심지어 연속성(continuity)을 의미하지는 않습니다. 예를 들어, 디리클레 함수(Dirichlet function)는 짝수이지만, 어느 곳에서도 연속이 아닙니다.
다음에서, 도함수(derivative), 푸리에 급수(Fourier series), 테일러 급수(Taylor series), 등을 포함하는 속성은 이들 개념이 고려되는 함수로 정의되었다고 가정합니다.
Basic calculus properties
- 짝수 함수의 도함수(derivative)는 홀수입니다.
- 홀수 함수의 도함수는 짝수입니다.
- −A에서 +A까지 홀수 함수의 적분(integral)은 (여기서 A는 유한하고, 함수는 −A와 A 사이에 수직 점근선을 가지지 않습니다). 대칭 구간, 예를 들어 \([-A,A]\)에 걸쳐 적분가능한 홀수 함수에 대해, 구간에 걸쳐 적분의 결과는 동일하게 영입니다; 즉
- \(\int_{-A}^{A} f(x) dx = 0\).
- −A에서 +A까지 짝수 함수의 적분은 0에서 +A까지 적분의 두 배입니다 (여기서 A는 유한하고, 함수는 −A와 A 사이에 수직 점근선을 가지지 않습니다. 이것은 A가 무한일 때, 단지 적분이 수렴하면, 역시 참을 유지합니다); 즉
- \(\int_{-A}^{A} f(x) dx = 2\int_{0}^{A} f(x) dx\).
Series
- 짝수 함수의 매클로린 급수(Maclaurin series)는 오직 짝수 거듭제곱을 포함합니다.
- 홀수 함수의 매클로린 급수는 오직 홀수 거듭제곱을 포함합니다.
- 주기적(periodic) 짝수 함수의 푸리에 급수(Fourier series)는 오직 코사인(cosine) 항들을 포함합니다.
- 주기적 홀수 함수의 푸리에 급수는 오직 사인(sine) 항들을 포함합니다.
- 순수하게 실수-값 짝수 함수의 푸리에 변환(Fourier transform)은 실수이고 짝수입니다. (Fourier analysis § Symmetry properties을 참조하십시오)
- 순수하게 실수-값 홀수 함수의 푸리에 변환은 허수이고 홀수입니다. (Fourier analysis § Symmetry properties을 참조하십시오)
Harmonics
신호 처리(signal processing)에서, 고조파 왜곡(harmonic distortion)은 사인 파동(sine wave) 신호가 메모리-없는 비선형 시스템, 즉, 시간 t에서 그것의 출력이 오직 시간 t의 입력에 의존하고 임의의 이전 시간에서 입력에 의존하지 않는 시스템을 통해 전송될 때 발생합니다. 그러한 시스템은 응답 함수 \(V_\text{out}(t) = f(V_\text{in}(t))\)로 설명됩니다. 생성된 고조파(harmonic)의 유형은 응답 함수 f에 따라 다릅니다:
- 응답 함수가 짝수일 때, 결과 신호는 입력 사인 파동의 오직 짝수 고조파로 구성될 것입니다: \(0f, 2f, 4f, 6f, \dots \)
- 기본(fundamental)은 역시 홀수 고조파이므로, 존재하지 않을 것입니다.
- 간단한 예제는 전체-파동 정류기(full-wave rectifier)입니다.
- \(0f\) 성분은 짝수-대칭 전송 함수의 한-쪽 본성으로 인해 DC 오프셋을 나타냅니다.
- 그것이 홀수일 때, 결과 신호는 입력 사인 파동의 오직 홀수 고조파로 구성될 것입니다; \(1f, 3f, 5f, \dots \)
- 출력 신호는 절반-파동 대칭(symmetric)일 것입니다.
- 간단한 예제는 대칭 푸시-풀 증폭기(push-pull amplifier)에서 클리핑(clipping)입니다.
- 그것이 대칭일 때, 결과 신호는 짝수 또는 홀수 고조파 중 하나를 포함할 것입니다; \(1f, 2f, 3f, \dots \)
- 간단한 예제는 절반-파동 정류기, 및 비대칭적 클래스-A 증폭기(class-A amplifier)에서 클리핑입니다.
이것은 보다 복잡한 파형에 대해 참으로 유지되지 않음에 주목하십시오. 톱니 파동(sawtooth wave)은, 예를 들어, 짝수와 홀수 고조파 둘 다를 포함합니다. 짝수-대칭 전체-파동 정류 후에, 그것은 삼각형 파동(triangle wave)이 되며, 이것은, DC 오프셋 외에, 오직 홀수 고조파를 포함합니다.
Generalizations
Multivariate functions
짝수 대칭:
함수 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \)는 만약 다음이면 짝수 대칭이라고 불립니다:
\(\quad f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=f(-x_1,-x_2,\ldots,-x_n) \quad \text{for all } x_1,\ldots,x_n \in \mathbb{R}\)
홀수 대칭:
함수 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \)는 만약 \quad
\(\quad f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=-f(-x_1,-x_2,\ldots,-x_n) \quad \text{for all } x_1,\ldots,x_n \in \mathbb{R}\)
Complex-valued functions
실수 인수의 복소-값(complex-valued) 함수에 대해 짝수와 홀수 대칭에 대한 정의는 실수 경우와 비슷하지만 복소 켤레화(complex conjugation)를 포함합니다.
짝수 대칭:
실수 인수의 복소-값 함수 \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{C}\)는 만약 다음이면 짝수 대칭이라고 불립니다:
\(\quad f(x)=\overline{f(-x)} \quad \text{for all } x \in \mathbb{R}\)
홀수 대칭:
실수 인수의 복소-값 함수 \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{C}\)는 만약 다음이면 홀수 대칭이라고 불립니다:
\(\quad f(x)=-\overline{f(-x)} \quad \text{for all } x \in \mathbb{R}\)
Finite length sequences
홀수와 짝수 대칭의 정의는 다음처럼 N-점 수열 (즉, 형식 \(f: \left\{0,1,\ldots,N-1\right\} \to \mathbb{R}\)의 함수)로 확장됩니다:
짝수 대칭:
N-점 수열은 만약 다음이면 짝수 대칭이라고 불립니다:
\(\quad f(n) = f(N-n) \quad \text{for all } n \in \left\{ 1,\ldots,N-1 \right\}.\)
그러한 수열은 종종 회문 수열(palindromic sequence)이라고 불립니다; 역시 회문 방정식(Palindromic polynomial)을 참조하십시오.
홀수 대칭:
N-점 수열은 만약 다음이면 홀수 대칭이라고 불립니다:
\(\quad f(n) = -f(N-n) \quad \text{for all } n \in \left\{1,\ldots,N-1\right\}. \)
그러한 수열은 때때로 역-회문 수열(anti-palindromic sequence)이라고 불립니다; 역시 역회문 방정식(Antipalindromic polynomial)을 참조하십시오.
References
- Gelfand, I. M.; Glagoleva, E. G.; Shnol, E. E. (2002) [1969], Functions and Graphs, Mineola, N.Y: Dover Publications
