(번역) Event (probability theory)

Original article: w:Event (probability theory)

 

확률 이론(probability theory)에서, 사건(event)은 확률이 할당되는 실험(experiment)의 결과(outcomes)의 집합(set) (표본 공간(sample space)의 부분-집합(subset))입니다. 단일 결과는 많은 다른 사건의 원소일 수 있고, 실험에서 다른 사건은 보통 같은 가능성이 아닌데, 왜냐하면 그들은 결과의 매우 다른 그룹을 포함할 수 있기 때문입니다. 사건은 여사건(complementary event), 즉 여집합 (발생하지 않은 사건)을 정의하고, 함께 이것들은 베르누이 시행(Bernoulli trial): 사건이 발생했는지 여부?를 정의합니다.

전형적으로, 표본 공간(sample space)이 유한일 때, 표본 공간의 임의의 부분-집합은 사건입니다 (즉, 표본 공간의 거듭제곱 집합(power set)의 모든 원소는 사건으로 정의됩니다). 어쨌든, 이 접근법은 표본 공간이 셀-수-없이 무한한(uncountably infinite) 경우에는 잘 작동하지 않습니다. 따라서, 확률 공간(probability space)을 정의할 때, 표본 공간의 특정 부분 집합을 사건에서 제외하는 것이 가능하고, 종종 필연적입니다 (아래의 확률 공간의 사건(Events in probabiliity spaces)을 참조하십시오).

A simple example

만약 우리가 조커를 갖지 않는 52개의 플레잉 카드(playing card)의 덱을 모으고, 덱에서 하나의 카드를 뽑으면, 표본 공간은 52-원소 집합인데, 왜냐하면 각 카드가 가능한 결과이기 때문입니다. 사건은, 어쨌든, 한원소 집합(singleton set) (기본 사건), 빈 집합(empty set) (확률 0을 갖는 불가능 사건) 및 표본 공간 자체 (확률 일을 갖는 특정 사건)를 포함하는, 표본 공간의 임의의 부분-집합입니다. 다른 사건은 여러 원소를 포함하는 표본 공간의 적절한 부분집합(proper subsets)입니다. 따라서, 예를 들어, 잠재적인 사건은 다음을 포함합니다:

• "조커없이 동시에 붉은 색과 검은 색" (0 원소),
• "하트의 5" (1 원소),
• "킹" (4 원소),
• "얼굴 카드" (12 원소),
• "스페이드" (13 원소),
• "얼굴 카드 또는 빨간색 카드" (32 원소),
• "카드" (52 원소).

모든 사건은 집합이므로, 그들은 보통 집합으로 쓰이고 (예를 들어 {1, 2, 3}), 벤 다이어그램(Venn diagram)을 사용하여 그래픽적으로 표현됩니다. 표본 공간 Ω에서 각 결과가 같은 가능성인 상황에서, 사건 A의 확률 $P$는 다음 공식입니다:

${\displaystyle \mathrm{P}(A)=\frac{|A|}{|\mathrm{\Omega }|}(\text{alternatively:}Pr(A)=\frac{|A|}{|\mathrm{\Omega }|})}$

이 규칙은 위의 예제 사건의 각각에 대해 쉽게 적용될 수 있습니다.

Events in probability spaces

표본 공간의 모든 부분 집합을 사건으로 정의하는 것은 오직 유한하게 많은 결과일 때 잘 작동하지만, 표본 공간이 무한할 때 문제가 발생합니다. 정규 분포(normal distribution)와 같은, 많은 표준 확률 분포(probability distributions)에 대해, 표본 공간은 실수(real numbers)의 집합 또는 실수의 일부 부분-집합입니다. 실수의 모든 부분집합에 대해 확률을 정의하려는 시도는 우리가 비-측정가능 집합(nonmeasurable set)과 같은 '나쁘게 행동하는(badly behaved)' 집합을 고려할 때, 어려움을 겪습니다. 따라서, 부분집합의 보다 제한된 가족에 대해 주의를 제한하는 것이 필요합니다. 결합(joint) 및 조건부 확률(conditional probabilities)과 같은 확률 이론의 표준 도구에 대해, 작동하기 위해, σ-대수(σ-algebra), 즉, 구성원의 여집합 및 셀-수-있는 합집합 아래에서 닫힌 가족을 사용하는 것이 필요합니다. 가장 자연스러운 선택은 구간의 합집합과 교집합으로부터 유도된 보렐 측정-가능(Borel measurable) 집합입니다. 어쨌든, 르베그 측정-가능(Lebesgue measurable) 집합의 더 큰 클래스가 실제에서 더 유용함이 입증되었습니다.

확률 공간(probability space)의 일반적인 측정-이론적(measure-theoretic) 설명에서, 사건은 표본 공간의 부분-집합의 선택된 σ-대수(σ-algebra)의 원소로 정의될 수 있을 것입니다. 이 정의 아래에서, σ-대수의 원소가 아닌 표본 공간의 임의의 부분-집합은 사건이 아니고, 확률을 가지지 않습니다. 확률 공간의 합리적인 명세와 함께, 어쨌든, 모든 관심있는 모든 사건은 σ-대수의 원소입니다.

A note on notation

비록 사건은 일부 표본 공간 Ω의 부분집합일지라도, 그들은 확률 변수(random variable)를 포함하는 술어 또는 표시기로 보통 쓰입니다. 예를 들어, 만약 X가 표본 공간 Ω 위에 정의된 실수-값 확률 변수이면, 사건

${\displaystyle \{\omega \in \mathrm{\Omega }\mid u<X(\omega )\le v\}}$

은 간단히 다음으로 보다 편리하게 쓰일 수 있습니다: 

${\displaystyle u<X\le v.}$

이것은 다음과 같은 확률(probability)에 대한 공식에서 특히 공통적입니다:

${\displaystyle Pr(u<X\le v)=F(v)-F(u).}$

집합(set) u < X ≤ v는 매핑(mapping) X 아래에서 역 이미지(inverse image)의 예제인데, 왜냐하면 $\omega \in X^{-1}((u,v])$인 것과 $u<X(\omega )\le v$인 것은 필요충분 조건이기 때문입니다.

See also

• Complementary event
• Elementary event
• Independent event

External links

• "Random event", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Formal definition in the Mizar system.