다항식의 차수(degree)는 영이 아닌 계수를 갖는 그의 단항식(monomial)(개별 항)의 가장 높은 차수입니다. 항의 차수(degree of a term)는 항 내에 보이는 변수(variables)의 지수의 합이며, 따라서 음수가 아닌 정수입니다. 용어 순서(order)는 차수(degree)의 동의어로 사용되었지만, 요즘에는, 여러 다른 개념을 참조할 수 있습니다 (다항식의 순서(order of a polynomial)를 참조하십시오). 예를 들어, 다항식 \(7x^2y^3 + 4x - 9\)은 세 항을 가진 \(7x^2y^3 + 4x^1y^0 - 9x^0y^0\)로써 역시 표현될 수 있습니다. 첫 번째 항은 5의 차수 (거듭제곱(powers) 2와 3의 합)를 갖고, 두 번째 항은 1의 차수를 갖고, 그리고 마지막 항은 0의 차수를 가집니다. 따라서 다항식의 차수는, 임의의 항의 최고 차수에 따라, 5입니다.
표준 형식이 아닌 다항식의 차수를 결정하기 위해서는 (예를 들어:\((x+1)^2-(x-1)^2\)), 먼저 곱을 (분배성에 의해) 확장하고 동류항을 결합하여 표준 형식으로 반드시 먼저 작성해야 합니다; 예를 들어 \( (x+1)^2-(x-1)^2= 4x\)는, 비록 각 합해지는 숫자(summand:피합수)가 차수가 2일지라도, 차수는 1입니다. 어쨌든, 이것은 표준 형식의 다항식의 곱으로써 표현될 때에는 필요하지 않습니다; 왜냐하면 곱의 차수는 인수의 차수의 합이기 때문입니다.
Names of polynomials by degree
다음 이름은 그들 차수에 따라 다항식에 지정됩니다:
- 특별한 경우 – 영(zero) (아래의 § Degree of the zero polynomial을 참조하십시오.)
- 차수 0 – 비-영의 상수(constant)
- 차수 1 – 선형(linear)
- 차수 2 – quadratic
- 차수 3 – cubic
- 차수 4 – quartic (또는, 만약 모든 항이 짝수 차수를 가지면, 복이차(biquadratic))
- 차수 5 – quintic
- 차수 6 – sextic (또는, 덜 공통적으로, hexic)
- 차수 7 – septic (또는, 덜 공통적으로, heptic)
더 높은 차수에 대해, 이름들이 때때로 제안되어 왔지만, 아래의 것들은 드물게 사용됩니다:
- 차수 8 – octic
- 차수 9 – nonic
- 차수 10 – decic
3보다 큰 차수에 대해 이름은 라틴 순서-숫자(ordinal number)를 기반으로, -ic로 끝납니다. 이것은 변수의 숫자에 대해 사용되는 이름, 애리티(arity)와 구별되어야 하는데, 애리티는 라틴어 분배 숫자(distributive number)를 기반으로, -ary로 끝납니다. 예를 들어, \(x^2 + xy + y^2\)와 같은 두 변수에서 이차 두 개의 다항식은 "이진 이차"라고 불립니다: 이진(binary)은 두 변수에 기인하고, 이차(quadratic)는 차수 2에 기인합니다. 항의 숫자에 대해 이름도 역시 있는데, 이 단어는 역시 라틴 분배 숫자를 기반으로, -nomial로 끝납니다; 공통적인 것은 단항(monomial), 이항(binomial) 및 (덜 공통적으로) 삼항(trinomial)이 있습니다; 따라서 \(x^2 + y^2\)는 "이진 이차 이항"입니다.
Other examples
- 다항식 \(3 - 5 x + 2 x^5 - 7 x^9\)은 9차 다항식입니다.
- 다항식 \((y - 3)(2y + 6)(-4y - 21)\)은 삼차 다항식입니다.
- 다항식 \((3 z^8 + z^5 - 4 z^2 + 6) + (-3 z^8 + 8 z^4 + 2 z^3 + 14 z)\)은 5차 다항식입니다 (왜냐하면 \(z^8\)은 제거되기 때문입니다).
위의 세 예제의 정식 형태는 다음과 같습니다:
- \(3 - 5 x + 2 x^5 - 7 x^9\)에 대해, 순서를 바꾸어서, \(- 7 x^9 + 2 x^5 - 5 x + 3\);
- \((y - 3)(2y + 6)(-4y - 21)\)에 대해, 전개한 후에 같은 차수의 항을 정리하면, \(- 8 y^3 - 42 y^2 + 72 y + 378\);
- \((3 z^8 + z^5 - 4 z^2 + 6) + (-3 z^8 + 8 z^4 + 2 z^3 + 14 z)\)에 대해, 차수 8의 두 항은 제거되고, \(z^5 + 8 z^4 + 2 z^3 - 4 z^2 + 14 z + 6\).
Behavior under polynomial operations
두 다항식의 합, 곱 또는 합성의 차수는 입력 다항식의 차수와 밀접하게 관련되어 있습니다.
Addition
두 다항식의 합(또는 차)의 차수는 그들 각각의 차수 중에 큰 것과 같거나 작습니다; 등호는, 다항식의 차수가 다를 때, 항상 유지됩니다. 즉,
\(\quad \deg(P + Q) \leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}\).
\(\quad \deg(P - Q) \leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}\).
예를 들어,
- \((x^3+x)+(x^2+1)=x^3+x^2+x+1\)의 차수는 3입니다. 3 ≤ max{3, 2}임을 주목하십시오.
- \((x^3+x)-(x^3+x^2)=-x^2+x\)의 차수는 2입니다. 2 ≤ max{3, 3}임을 주목하십시오.
Scalar multiplication
비-영의 스칼라(scalar)에 의한 다항식 곱의 차수는 그 다항식의 차수와 같습니다. 즉,
\(\quad \deg(cP)=\deg(P)\).
예를 들어,
- \(2(x^2+3x-2)=2x^2+6x-4\)의 차수는 2인데, 바로 \(x^2+3x-2\)의 차수이기 때문입니다.
영의 인수(divisors of zero:영제수)를 포함하는 링(ring)에 걸쳐 다항식에 대해, 이것이 반드시 참인 것은 아님에 주목하십시오. 예를 들어, \(\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}\)에서, \(\deg(1+2x) = 1\)이지만 \(\deg(2(1+2x)) = \deg(2+4x) =\deg(2) = 0\)입니다.
주어진 필드 F로부터의 계수와 주어진 수 n보다 작거나 같은 차수를 갖는 다항식의 집합(Polynomial vector spaces)은 따라서 벡터 공간(vector space)을 형성합니다. (주목할 것은, 어쨌든, 이 집합은 링은 아닌 것으로써, 왜냐하면 그것은 아래에서 볼 수 있듯이, 곱셈 아래에 닫혀있지 않기 때문입니다.)
Multiplication
필드(field) 또는 정수 도메인(integral domain)에 걸쳐 두 다항식 곱의 차수는 그들 차수의 합입니다:
\(\quad \deg(PQ) = \deg(P) + \deg(Q)\).
예를 들어,
- \((x^3+x)(x^2+1)=x^5+2x^3+x\)의 차수는 3 + 2 = 5입니다.
임의의 링에 걸쳐 다항식에 대해, 이것은 반드시 참인 것이 아님을 주목하십시오. 예를 들어, \(\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}\)에서, \(\deg(2x) + \deg(1+2x) = 1 + 1 = 2\)이지만 \(\deg(2x(1+2x)) = \deg(2x) = 1\)입니다.
Composition
필드 또는 정수 도메인(integral domain)에 걸쳐 두 개의 비-상수 다항식 \(P\)와 \(Q\)의 합성의 차수는 그들 차수의 곱입니다:
\(\quad \deg(P \circ Q) = \deg(P)\deg(Q)\).
예를 들어,
- 만약 \(P = (x^3+x)\), \(Q = (x^2+1)\)이면, \(P \circ Q = P \circ (x^2+1) = (x^2+1)^3+(x^2+1) = x^6+3x^4+4x^2+2\)이므로, 차수 6을 가집니다.
임의의 링에 걸쳐 다항식에 대해, 이것은 반드시 참인 것이 아님을 주목하십시오. 예를 들어, \(\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}\)에서, \(\deg(2x) \deg(1+2x) = 1\cdot 1 = 1\)이지만, \(\deg(2x\circ(1+2x)) = \deg(2+4x)=\deg(2) = 0\)입니다.
Degree of the zero polynomial
영 다항식(zero polynomial)의 차수는 정의되지 않은 채 남겨 두거나, 또는 음의 차수(보통 −1 또는 \(-\infty\))가 되는 것으로 정의됩니다.
임의의 상수 값과 마찬가지로, 값 0은 하나의 (상수) 다항식으로 여겨질 수 있으므로, 영 다항식으로 불립니다. 그것은 비-영 항을 가지지 않으므로, 엄격하게 말하면, 차수를 역시 가지지 않습니다. 이를테면, 그것의 차수는 정의되지 않습니다. 위의 섹션에서 다항식의 합과 곱의 차수에 대해 전제는 만약 포함된 다항식의 임의의 것이 영다항식이면 적용되지 않습니다.
어쨌든, 영 다항식의 차수를 ''음의 무한대'', \(-\infty\)로 정의하고, 다음과 같은 산술 규칙을 도입하는 것이 편리합니다:
\(\quad \max(a,-\infty) = a ,\)
그리고
\(\quad a + (-\infty) = -\infty .\)
다음 예제는 이 확장이 위의 동작 규칙(behavior rules)을 어떻게 만족시키는지 보여줍니다:
- 합 \((x^3+x)+(0)=x^3+x\)의 차수는 3입니다. 이것은 기대했던 동작을 만족하는데, \(3 \le \max(3, -\infty)\)입니다.
- 차 \((x)-(x) = 0\)의 차수는 \(-\infty\)입니다. 이것은 기대했던 동작을 만족하는데, \(-\infty \le \max(1,1)\)입니다.
- 곱 \((0)(x^2+1)=0\)의 차수는 \(-\infty\)입니다. 이것은 기대했던 동작을 만족하는데, \(-\infty = -\infty + 2\)입니다.
Computed from the function values
다항 함수 f의 차수를 평가할 많은 공식이 존재합니다. 점근 해석학(asymptotic analysis)을 기초로 한 것 중 하나는
\(\quad\displaystyle \deg f = \lim_{x\to \infty}\frac{\log |f(x)|}{\log x}\);
이것은 로그–로그 그래프(log–log plot)에서 기울기를 추정하는 방법과 정확히 짝입니다.
이 공식은 다항식이 아닌 어떤 함수에 대한 차수의 개념을 일반화합니다.
예를 들면:
- 곱셈의 역원(multiplicative inverse), \(\ 1/x\)의 차수는 −1입니다.
- (이)제곱근(square root), \(\sqrt x \)의 차수는 1/2입니다.
- 로그(logarithm), \(\ \log x\)의 차수는 0입니다.
- 지수 함수(exponential function), \(\exp x\)의 차수는 \(\infty\)입니다.
공식은 그러한 함수의 많은 조합에 대해 합리적인 결과를 역시 제공합니다. 예를 들어, \(\frac{1 + \sqrt{x}}{x}\)의 차수는 \(-1/2\)입니다.
그의 값으로부터 f의 차수를 계산하기 위한 다른 공식은
\(\quad\displaystyle \deg f = \lim_{x\to\infty}\frac{x f'(x)}{f(x)}\);
이 두 번째 공식은 로피탈의 규칙(L'Hôpital's rule)을 첫 번째 공식에 따른 것입니다. 직관적으로, 그것은 \( x^d \)의 도함수 \( d x^{d-1} \)에서 추가적 상수 인수로서 차수 d를 나타내는 것에 관한 것입니다.
함수의 점근선을 (단순한 숫자 차수보다) 더 좋은 세분화된 설명은 대문자 O 표기법(big O notation)을 사용함으로써 가능할 수 있습니다. 알고리듬의 분석(analysis of algorithms)에서, 예를 들어, \( x \)와 \( x \log x \)의 사이의 성장률을 구별하는 것이 종종 그것이 관련되며, 이는 둘 모두 위의 공식에 따라 같은 차수를 갖는 것으로 나타날 수 있습니다.
Extension to polynomials with two or more variables
두 개 이상의 변수를 갖는 다항식에 대해, 항의 차수는 항에서 변수의 지수의 합입니다; (때때로 전체 차수(total degree)라고 불리는) 다항식의 차수는 다항식에서 모든 항의 차수의 최대입니다. 예를 들어, 다항식 \(x^2y^2+3x^3+4y\)은 차수 4를 가지는데, 항 \(x^2y^2\)와 같은 차수입니다.
어쨌든, 변수 x 및 y에 대한 다항식은, 각각, y의 다항식을 계수로 갖는 x에 대한 다항식이고, 마찬가지로 x의 다항식을 계수로 갖는 y에 대한 다항식입니다. 다항식
\(\quad x^2y^2 + 3x^3 + 4y = (3)x^3 + (y^2)x^2 + (4y) = (x^2)y^2 + (4)y + (3x^3)\)
은 x에 대해 차수 3을 가지고 y에 대해 차수 2를 가집니다.
Degree function in abstract algebra
링(ring) R이 주어지면, 다항식 링(polynomial ring) R[x]는 R에서 계수를 가지는 x에서 모든 다항식의 집합입니다. R은 역시 필드(field)인 특별한 경우에서, 다항식 링 R[x]는 주요 아이디얼 도메인(principal ideal domain)이고, 여기서 우리의 논의에서 보다 중요하게, 유클리드 도메인(Euclidean domain)입니다.
필드에 걸쳐 다항식의 차수는 유클리드 도메인에서 노름 함수의 요구-사항의 모두를 충족시킨다는 것을 알 수 있습니다. 즉, 두 다항식 f(x)와 g(x)가 주어지면, 곱 f(x)g(x)의 차수는 개별적으로 f와 g 둘 다의 차수보다 커야 합니다. 사실, 얼마쯤 더 강한 것이 유지됩니다:
\(\quad\)차수(f(x)g(x)) = 차수(f(x)) + 차수(g(x))
차수 함수가 필드가 아닌 링에 걸쳐 실패할 수 있는 이유의 예제에 대해, 다음 예제를 취하십시오. R = \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\), 정수 모듈로(modulo) 4의 링으로 놓습니다. 이 링은 2 × 2 = 4 ≡ 0 (모드 4)이기 때문에 필드가 아닙니다 (그리고 심지어 정수 도메인(integral domain)도 아닙니다). 그러므로, f(x) = g(x) = 2x + 1.로 놓습니다. 그런-다음, \(f(x)g(x)=4x^2+4x+1=1\)입니다. 따라서 차수(f⋅g) = 0이며 이것은 f와 g의 차수 (각각 1 차수를 가짐)의 차수보다 더 크지 않습니다.
노름 함수는 링의 영 원소에 대해 정의되지 않았으므로, 우리는 다항식 f(x) = 0의 차수를 그것이 유클리드 도메인에서 노름의 규칙을 따르도록 역시 정의되지 않은 것으로 여집니다.
References
- Axler, Sheldon (1997), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Springer Science & Business Media
- Childs, Lindsay N. (1995), A Concrete Introduction to Higher Algebra (2nd ed.), Springer Science & Business Media
- Childs, Lindsay N. (2009), A Concrete Introduction to Higher Algebra (3rd ed.), Springer Science & Business Media
- Grillet, Pierre Antoine (2007), Abstract Algebra (2nd ed.), Springer Science & Business Media
- King, R. Bruce (2009), Beyond the Quartic Equation, Springer Science & Business Media
- Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999), Algebra (3rd ed.), American Mathematical Society
- Shafarevich, Igor R. (2003), Discourses on Algebra, Springer Science & Business Media
External links
- Polynomial Order; Wolfram MathWorld