수학(mathematics)에서, 퇴화 분포(degenerate distribution)는 오직 더 낮은 차원(dimension)의 공간에서 지원(support)을 갖는 (이산(discrete) 또는 연속(continuous)) 공간에서 확률 분포(probability distribution)입니다. 만약 퇴화 분포가 (오직 단일 확률 변수(random variable)를 포함하는) 일변수(univariate)이면, 그것은 결정론적 분포(deterministic distribution)이고 오직 단일 값을 취합니다. 예제는 양-면 동전과 그의 면 모두가 같은 숫자를 보이는 주사위(die)를 포함입니다. 이 분포는 심지어 비록 그것이 단어의 일상적인 의미에서 무작위(random)로 나타나지 않을지라도 "확률 변수"의 정의를 만족시킵니다; 따라서 그것은 퇴화(degenerate)로 여겨집니다.
실수-값 확률 변수의 경우에서, 퇴화 분포는 실수 직선(real line) 위의 점 \(k_0\)에 집중됩니다. 확률 질량 함수(probability mass function)는 이 점에서 1과 같고 어떤 딴 곳에서 0입니다.
퇴화 일변수 분포는 그것의 분산(variance)이 확률 밀도 함수(probability density function)를 \(k_0\)에서 무한한 높이이지만 넓이는 1을 갖는 델타 함수(delta function)가 되는 것을 초래하여 0에 이르는 연속 분포의 극한적인 경우로 보일 수 있습니다.
일변수 퇴화 분포의 누적 분포 함수(cumulative distribution function)는 다음과 같습니다:
\(\quad F_{k_0}(x)=\left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{if }x\ge k_0 \\ 0, & \mbox{if }x<k_0 \end{matrix}\right.\)
Constant random variable
확률 이론(probability theory)에서, 상수 확률 변수(constant random variable)는 발생하는 임의의 사건(event)에 관계없이 상수(constant) 값을 취하는 이산 확률 변수(discrete random variable)입니다. 이것은 다른 값을 취할 수 있지만 오직 영 확률을 갖는 사건에 대한 거의 확실하게 상수 확률 변수(almost surely constant random variable)와는 기술적으로 다릅니다. 퇴화 분포는 거의 확실하게 상수 확률 변수이며, 이것은 퇴화 분포를 가지며, 확률론적 프레임워크에서 상수 값을 처리하는 방법을 제공합니다.
X: Ω → R를 확률 공간 (Ω, P) 위에 정의된 확률 변수로 놓습니다. 그런-다음 X는 만약 다음을 만족하는 \( k_0 \in \mathbb{R} \)가 존재하면 거의 확실하게 상수 확률 변수입니다:
\(\quad \Pr(X = k_0) = 1,\)
그리고 더 나아가서 만약 다음이면 상수 확률 변수입니다:
\(\quad X(\omega) = k_0, \quad \forall\omega \in \Omega.\)
상수 확률 변수는 거의 확실하게 상수이지만, 반대로는 반드시 그럴 필요는 없는데, 왜냐하면 만약 X가 거의 확실하게 상수이면 \(X(\gamma) \neq k_0\)를 만족하는 \(\gamma \in \Omega\)가 존재할 수 있음을 주목하십시오 (그러나 그때에 필연적으로 \(\operatorname{Pr}({\gamma})=0\)이며, 사실 \(\operatorname{Pr}(X \neq k_0)=0\)입니다).
실용적 목적에 대해, 상수 또는 거의 확실하게 상수인 X 사이의 구별은 중요하지 않는데, 왜냐하면 X의 누적 분포 함수(cumulative distribution function) F(x)는 X가 상수 또는 '단지' 거의 확실하게 상수인지 여부에 의존하지 않기 때문입니다. 두 경우 모두에서,
\(\quad F(x) = \begin{cases}1, &x \geq k_0,\\0, &x < k_0.\end{cases}\)
함수 F(x)는 계단 함수(step function)입니다; 특히 그것은 헤비사이드 계단 함수(Heaviside step function)의 평행이동(translation)입니다.
Higher dimensions
n 개의 확률 변수에서 다변수 분포(multivariate distribution)의 퇴화성은 그 지원이 n보다 작은 차원의 공간에 놓일 때 발생합니다. 이것은 변수 중 적어도 하나가 다른 변수의 결정론적 함수일 때 발생합니다. 예를 들어, 2-변수 경우에서 스칼라 확률 변수 X와 Y 및 스칼라 상수 a ≠ 0와 b에 대해 Y = aX + b임을 가정합니다; 여기서 X 또는 Y 중 하나의 값을 아는 것은 나머지 값의 정확한 지식을 제공합니다. 모든 가능한 점 (x, y)는 일-차원 직선 y = ax + b 위에 있습니다.
일반적으로 n 확률 변수 중 하나 이상이 다른 변수에 의해 정확히 선형적으로 결정될 때, 만약 공분산 행렬(covariance matrix)이 존재하면 그것의 행렬식(determinant)은 0이므로, 그것은 양의 반-한정(positive semi-definite)이지만 양의 한정이 아니고, 결합 확률 분포(joint probability distribution)는 퇴화입니다.
퇴화성은 심지어 비-영 공분산을 갖는 것에도 역시 발생합니다. 예를 들어, 스칼라 X가 0에 대해 대칭적으로 분포(symmetrically distributed)되고 Y가 \(Y=X^2\)으로 정확하게 주어지면, 모든 가능한 점 (x, y)가 포물선 \(y=x^2\) 위에 있으며, 이것은 이-차원 공간의 일-차원 부분집합입니다.