수학(mathematics)에서, 퇴화 경우(degenerate case)는 클래스의 나머지 부분과 질적으로 다른 (및 보통 보다 더 단순한) 대상의 클래스의 극한하는 경우(limiting case)이고, 용어 퇴화(degeneracy)는 퇴화 경우가 되는 조건입니다.
합성 또는 구조화된 대상의 많은 클래스의 정의는 종종 부등식을 암시적으로 포함합니다. 예를 들어, 삼각형(triangle)의 각도(angle)와 변 길이는 양수로 가정됩니다. 이들 불평등 중 하나 또는 여러 개가 상등이 되는 극한하는 경우는 퇴화입니다. 삼각형의 경우에서, 우리는 만약 적어도 한 변의 길이 또는 각도가 영이면 퇴화 삼각형을 가집니다. 동등하게, 그것은 "선분"이 됩니다.
종종, 퇴화 경우는 대상 (또는 개체의 어떤 부분)의 보통의 차원(dimension) 또는 카디널리티(cardinality)에 대한 변경이 발생하는 예외적인 경우입니다. 예를 들어, 삼각형은 차원 2의 대상이고, 퇴화 삼각형은 그것의 차원을 일로 만드는 직선(line)에 포함됩니다. 이것은 원의 경우와 유사하며, 그것의 차원은 그것이 점으로 퇴화할 때 2에서 0으로 축소됩니다. 또 다른 예제로, 매개변수(parameter)에 의존하는 방정식의 시스템(system of equations)의 해 집합(solution set)은 일반적으로 고정된 카디널리티와 차원을 가지지만, 카디널리티 및/또는 차원은 퇴화 경우라고 불리는 일부 예외적인 값에 대해 다를 수 있습니다. 그러한 퇴화 경우에서, 그 해 집합은 퇴화라고 불립니다.
일부 합성 대상의 클래스에 대해, 퇴화 경우는 특별하게 연구된 속성에 따라 다릅니다. 특히, 대상의 클래스는 종종 방정식 시스템에 의해 정의되거나 특성화될 수 있습니다. 대부분의 시나리오에서, 주어진 대상의 클래스는 여러 다른 방정식의 시스템에 의해 정의될 수 있고, 이들 다른 방정식의 시스템은 같은 비-퇴화 경우를 특성화하는 동안 다른 퇴보 경우로 이어질 수 있습니다. 이것은 각 특정 상황에서 (만약 필요하다면) 그 개념이 널리 사용되고 정의된다는 사실에도 불구하고, 퇴화의 일반적인 정의가 없는 이유일 수 있습니다.
퇴화 경우는 따라서 그것을 비-일반(non-generic)으로 만드는 특별 특색을 가집니다. 어쨌든, 모든 비-일반 경우가 퇴화인 것은 아닙니다. 예를 들어, 직각 삼각형(right triangle), 이등변 삼각형(isosceles triangle), 및 등변 삼각형(equilateral triangle)은 비-일반이고 비-퇴화입니다. 사실, 퇴화 경우는 종종 대상 또는 일부 구성 공간(configuration space)에서 특이(singularities)에 해당합니다. 예를 들어, 원뿔 단면(conic section)이 퇴화인 것과 그것이 특이점 (예를 들어, 점, 직선, 교차 직선)을 가지는 것은 필요충분 조건입니다.
In geometry
Conic section
퇴화 원뿔형은 기약 곡선(irreducible curve)이 됨에 실패한 원뿔 단면(conic section) (차수 이의 다항 방정식(polynomial equation)으로 정의되는 이-차 평면 곡선(plane curve))입니다.
- 점(point)은 퇴화 원(circle), 즉 반지름 0을 갖는 원입니다.
- 직선(line)은 만약 포물선이 접 평면(tangent plane)에 놓이면 포물선(parabola)의 퇴화 경우입니다. 역 기하학(inversive geometry)에서, 직선은 무한 반지름을 갖는 원(circle)의 퇴화 경우입니다.
- 두 평행(parallel) 직선은 역시 퇴화 포물선을 형성합니다.
- 선분(line segment)은 반보조 축(semiminor axis)이 영으로 가고, 초점(foci)이 끝점으로 가고, 이심률(eccentricity)이 일로 가는 타원(ellipse)의 퇴화 경우로 보일 수 있습니다.
- 원은 이심률(eccentricity)이 0으로 접근하고 초점이 병합될 때 퇴화 타원으로 생각될 수 있습니다.
- 타원은 역시 단일 점으로 퇴화될 수 있습니다.
- 쌍곡선(hyperbola)은 공통 점근선(asymptote)으로 해당 직선을 갖는 쌍곡선의 가족을 통해 한 점에서 교차하는 두 선으로 퇴화될 수 있습니다.
Triangle
- 퇴화 삼각형(triangle)은 공선형(collinear) 꼭짓점과 영 넓이를 가지고, 따라서 두 번 덮인 선분과 일치합니다 (만약 셋의 꼭짓점이 모두 같지 않으면; 그렇지 않으면, 삼각형이 단일 점으로 퇴화합니다). 만약 셋의 꼭짓점이 쌍별로 구별되면, 그것은 둘의 0° 각도와 하나의 180° 각도를 가집니다. 만약 두 꼭짓점이 같으면, 그것은 하나의 0° 각도와 둘의 비-정의된 각도를 가집니다.
Rectangle
- 선분은 길이 0의 한 변을 가지는 직사각형(rectangle)의 퇴화 경우입니다.
- * 임의의 비-빈 부분집합 \(S \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}\)에 대해, 경계진, 축-정렬된 퇴화 직사각형이 있습니다:
- \(R \triangleq \left\{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n: x_i = c_i \ (\text{for } i\in S) \text{ and } a_i \leq x_i \leq b_i \ (\text{for } i \notin S)\right\}\)
- 여기서 \(\mathbf{x} \triangleq \left[x_1, x_2, \ldots, x_n\right]\)이고 \(a_i, b_i, c_i\)는 (모든 \(i\)에 대해 \(a_i \ge b_i\)를 갖는) 상수입니다. R의 퇴화 변의 숫자는 부분집합 S의 원소의 숫자입니다. 따라서, 퇴화 "변"이 하나만큼 적거나 n만큼 많을 수 있습니다 (이 경우에서 R은 한원소 점으로 줄어듭니다).
Convex polygon
- 볼록 다각형(convex polygon)은 만약 적어도 둘의 연속 변이 적어도 부분적으로 일치하거나, 적어도 한 변이 영 길이를 가지거나, 적어도 하나의 각도가 180°이면 퇴화입니다. 따라서 n 변의 퇴화 볼록 다각형은 더 적은 변을 갖는 다각형처럼 보입니다. 삼각형의 경우에서, 이 정의는 위에 주어져 왔던 정의와 일치합니다.
Convex polyhedron
- 볼록 다면체(convex polyhedron)는 만약 둘의 인접한 패싯이 공통-평면(coplanar)에 있거나 둘의 가장자리가 정렬되면 퇴화입니다. 사면체(tetrahedron)의 경우에서, 이것은 모든 그것의 꼭짓점(vertices)이 같은 평면(plane)에 놓여, 그것에 영의 부피(volume)를 제공한다고 말하는 것과 동등합니다.
Standard torus
- 자체-교차가 허용되는 문맥에서, 구(sphere)는 회전의 축이 생성하는 원의 외부가 아니라 중심을 통과하는 퇴화 표준 토러스(standard torus)입니다.
- 토러스는 그것의 보조 반지름이 0으로 갈 때 원으로 퇴화됩니다.
Sphere
- 구의 반지름이 영이 갈 때, 영 부피의 결과하는 퇴화 구는 점(point)입니다.
Other
- 다른 예제에 대해 일반적인 위치(general position)를 참조하십시오.
Elsewhere
- 단일 점을 포함하는 집합은 퇴화 연속체(continuum)입니다.
- 이각형(digon)과 일각형(monogon)과 같은 대상은 다각형(polygon)의 퇴화 경우로 보일 수 있습니다: 일반적인 추상 수학적 의미에서 유효하지만, 다각형의 원래 유클리드 개념의 일부는 아닙니다.
- 오직 하나의 값을 취할 수 있는 확률 변수(random variable)는 퇴화 분포(degenerate distribution)를 가집니다; 만약 해당 값이 실수 0이면, 그것의 확률 밀도는 디랙 델타 함수(Dirac delta function)입니다.
- 다항식(polynomial)의 근(root)은 때때로 만약 그것이 중복 근(multiple root)을 가지면 퇴화라고 말해지는데, 왜냐하면 일반적으로 n번째 차수 다항식의 n 근이 모두 구별되기 때문입니다. 이 사용법은 고유문제로 이어집니다: 퇴화 고윳값(eigenvalue)은 특성 다항식(characteristic polynomial)의 다중 근입니다.
- 양자 역학(quantum mechanics)에서, 해밀턴 연산자(Hamiltonian operator)의 고윳값에서 임의의 그러한 종복성(multiplicity)은 퇴화 에너지 수준(degenerate energy level)을 발생시킵니다. 보통 임의의 그러한 퇴화는 시스템에서 일부 놓여있는 대칭(symmetry)을 나타냅니다.