선형 대수(linear algebra)에서, 크라메르의 규칙(Cramer's rule)은 미지수만큼 많은 방정식을 갖는 선형 방정식의 시스템의 해에 대한 명시적 공식이며, 시스템이 고유한 해를 가질 때마다 유효합니다. 그것은 방정식의 오른쪽-변 열 벡터에 의해 하나의 열을 대체함으로써 (정사각) 계수 행렬(coefficient matrix)과 그로부터 얻은 행렬의 행렬식(determinants)의 관점에서 해를 표현합니다. 그것은 콜린 매클로린(Colin Maclaurin)이 1748년에 규칙의 특별한 경우를 발표했지만 (그리고 아마도 1729년에 이미 알고 있었을 가능성이 있음), 1750년에 미지수의 임의의 개수에 대한 규칙을 발표했던 게브리엘 크라메르(Gabriel Cramer) (1704–1752)의 이름을 따서 지어졌습니다.
소박한 방식으로 구현된 크라메르의 규칙은 2개 또는 3개보다 많은 방정식으로 구성된 시스템에 대해 계산적으로 비효율적입니다. n개의 미지수에서 n개의 방정식의 경우에서, 그것은 n + 1개의 행렬식 계산을 요구하고, 반면에 가우스 소거법(Gaussian elimination)은 단일 행렬식의 계산과 같은 계산 복잡성(computational complexity)으로 결과를 생성합니다. 크라메르의 규칙은 2×2 시스템에서도 수치적으로 불안정할 수 있습니다. 어쨌든, 최근 크라메르의 규칙은 가우스 소거법과 같은 복잡성으로 구현될 수 있음이 밝혀져 왔습니다 (일관되게 두 배만큼 산술 연산을 필요하고 같은 순열 행렬이 적용될 때 같은 수치 안정성을 가집니다).
General case
다음과 같이 행렬 곱셈 형식으로 표현되는 n개의 미지수에 대한 n개의 선형 방정식 시스템을 생각해 보십시오:
\(\quad\displaystyle A\mathbf{x} = \mathbf{b}\)
여기서 n × n 행렬 \( A \)는 비-영 행렬식을 가지고, 벡터 \( \mathbf{x} = (x_1, \ldots, x_n)^\mathsf{T} \)는 변수의 열 벡터입니다. 그런-다음 그 정리는 이 경우에서 시스템에 고유한 해가 있으며, 미지수에 대한 개별 값은 다음과 같이 주어진다고 명시합니다:
\(\quad\displaystyle x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} \qquad i = 1, \ldots, n\)
여기서 \( A_i \)는 열 벡터 b에 의해 \( A \)의 i-번째 열을 대체함으로써 형성된 행렬입니다.
크라메르의 규칙의 보다 일반적인 버전은 다음 행렬 방정식을 고려합니다:
\(\quad\displaystyle AX = B\)
여기서 n × n 행렬 A는 비-영 행렬식을 가지고, X, B는 n × m 행렬입니다. 수열 \( 1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_k \leq n \)과 \( 1 \leq j_1 < j_2 < \cdots < j_k \leq m \)이 주어지면, \( X_{I,J} \)를 \( I := (i_1, \ldots, i_k ) \)에서 행과 \( J := (j_1, \ldots, j_k ) \)에서 열을 갖는 X의 k × k 부분행렬이라고 놓습니다. \( A_{B}(I,J) \)를 모든 \( s = 1,\ldots, k \)에 대해 A의 \(i_s\) 열과 B의 \(j_s\) 열을 대체함으로써 형성된 n × n 행렬이라고 놓습니다. 그런-다음
\(\quad\displaystyle \det X_{I,J} = \frac{\det(A_{B}(I,J))}{\det(A)}. \)
경우 \( k = 1 \)에서, 이것은 일반적인 크라메르의 규칙으로 줄어듭니다.
그 규칙은 실수뿐만 아니라 임의의 필드(field)에서 계수와 미지수를 갖는 방정식의 시스템에 적용됩니다.
Proof
크라메르의 규칙에 대한 증명은 다음에 오는 행렬식의 속성을 사용합니다: 임의의 주어진 열에 관한 선형성과 두 열이 같을 때마다 행렬식이 영이라는 사실, 이는 두 열을 전환하면 행렬식의 부호가 뒤집힌다는 속성에 의해 암시됩니다.
열의 인덱스 j를 고정하고, 열의 엔트리가 고정된 값을 가진다고 고려합니다. 이것은 행렬식을 j번째 열의 엔트리의 함수로 만듭니다. 이 열에 관한 선형성은 이 함수가 다음 형식을 가진다는 것을 의미합니다:
\(\quad\displaystyle D_j(a_{1,j}, \ldots, a_{n,j})= C_1a_{1,j}+\cdots, C_na_{n,j},\)
여기서 \(C_j\)는 열 j에 없는 A의 엔트리에 의존하는 계수입니다. 따라서, 다음을 가집니다:
\(\quad\displaystyle \det(A)=D_j(a_{1,j}, \ldots, a_{n,j})=C_1a_{1,j}+\cdots, C_na_{n,j}\)
(라플라스 전개(Laplace expansion)는 \(C_i\)를 계산하기 위한 공식을 제공하지만, 여기서는 그 표현이 중요하지 않습니다.)
만약 함수 \(D_j\)가 A의 임의의 다른 k 열에 적용되면, 결과는 열 j를 열 k의 복사본으로 대체함으로써 A에서 얻은 행렬의 행렬식이므로, 결과 행렬식은 영입니다 (두 개의 같은 열의 경우).
이제 n개의 미지수 \(x_1, \ldots,x_n\)에서 n개의 선형 방정식 시스템을 생각해 보십시오, 그것의 계수 행렬은 A이고, det(A)는 비-영인 것으로 가정됩니다:
\(\quad \begin{matrix}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n&=&b_1\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n&=&b_2\\
&\vdots&\\
a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n&=&b_n.
\end{matrix}\)
만약 첫 번째 방정식에 \(C_1\)을 곱하고 두 번째 방정식에 \(C_2\)를 곱하고, 마지막 방정식에 \(C_n\)을 곱하는 식으로 이들 방정식을 결합하면, 모든 각 k에 대해 \(x_k\)의 계수는 다음이 됩니다:
\(\quad\displaystyle D_j(a_{1,k},\ldots,a_{n,k})\)
따라서, \(\det(A)\)가 되는 \(x_j\)의 계수를 제외한 모든 계수는 영이 됩니다. 마찬가지로, 상수 계수는 \(D_j(b_1,\ldots,b_n)\)이 되고, 결과 방정식은 따라서 다음과 같습니다:
\(\quad\displaystyle \det(A)x_j=D_j(b_1,\ldots, b_n),\)
이는 \(x_j\)의 값을 다음과 같이 제공합니다:
\(\quad\displaystyle x_j=\frac1{\det(A)}D_j(b_1,\ldots, b_n).\)
구성에 의해, 분자는 열 j를 b로 대체함으로써 A에서 얻은 행렬의 행렬식이므로, 크라메르의 규칙의 표현을 해에 대한 필요 조건으로 얻습니다. 다른 미지수에 대한 값을 찾기 위해 j의 다른 값에 대해 같은 절차를 반복할 수 있습니다.
입증해야 할 유일한 점은 미지수에 대한 이들 값이 해를 형성한다는 것입니다. M을 \(j=1,\ldots,n\)에 대해 j-번째 행으로 \(D_j\)의 계수를 가지는 n × n 행렬이라고 놓습니다 (이것은 A에 대한 수반 행렬(adjugate matrix)입니다). 행렬 항으로 표현하면, 따라서 다음임을 증명해야 합니다:
\(\quad\displaystyle \mathbf x = \frac1{\det(A)}M\mathbf b\)
위는 해입니다; 즉, 다음입니다:
\(\quad\displaystyle A\left(\frac1{\det(A)}M\right)\mathbf b=\mathbf b.\)
이를 위해, 다음임을 입증하는 것으로 충분합니다:
\(\quad\displaystyle A\,\left(\frac1{\det(A)}M\right)=I_n,\)
여기서 \(I_n\)은 항등 행렬(identity matrix)입니다.
함수 \(D_j\)의 위의 속성은 \(MA=\det(A)I_n\)임을 가지고, 따라서 다음임을 보여줍니다:
\(\quad\displaystyle \left(\frac1{\det(A)}M\right)\,A=I_n.\)
이것은 증명을 완성하는데, 왜냐하면 정사각 행렬의 왼쪽 역(left inverse)은 역시 오른쪽-역이기 때문입니다 (역가능 행렬 정리 참조).
다른 증명에 대해, 아래를 참조하십시오.
Finding inverse matrix
A를 필드(field) F에서 엔트리를 갖는 n × n 행렬이라고 놓습니다. 그런-다음
\(\quad\displaystyle A\,\operatorname{adj}(A) = \operatorname{adj}(A)\,A=\det(A) I\)
여기서 adj(A)는 수반 행렬(adjugate matrix)을 나타내고, det(A)는 행렬식이고, I는 항등 행렬(identity matrix)입니다. 만약 det(A)가 비-영이면, A의 역 행렬은 다음과 같습니다:
\(\quad\displaystyle A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \operatorname{adj}(A).\)
이는 det(A) ≠ 0라는 조건으로 하여 A의 역에 대한 공식을 제공합니다. 사실, 이 공식은 det(A)가 단위(unit)라는 조건으로 하여 F가 교환 링(commutative ring)일 때마다 작동합니다. 만약 det(A)가 단위가 아니면, A는 링에 걸쳐 역-가능이 아닙니다 (그것은 F의 일부 비-단위 원소가 역-가능일 수 있는 더 큰 링에 걸쳐 역-가능일 수 있습니다).
Applications
Explicit formulas for small systems
다음 선형 시스템을 생각해 보십시오:
\(\quad\displaystyle \left\{\begin{matrix}
a_1x + b_1y&= {\color{red}c_1}\\
a_2x + b_2y&= {\color{red}c_2}
\end{matrix}\right.\)
이는 행렬 형식에서 다음과 같습니다:
\(\quad\displaystyle \begin{bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\color{red}c_1} \\ {\color{red}c_2} \end{bmatrix}.\)
\(a_1b_2 - b_1a_2\)가 비-영이라고 가정합니다. 그런-다음, 행렬식(determinants)의 도움과 함께, x와 y는 크라메르의 규칙과 함께 다음으로 구할 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle \begin{align}
x &= \frac{\begin{vmatrix} {\color{red}{c_1}} & b_1 \\ {\color{red}{c_2}} & b_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}} = { {\color{red}c_1}b_2 - b_1{\color{red}c_2} \over a_1b_2 - b_1a_2}, \quad
y = \frac{\begin{vmatrix} a_1 & {\color{red}{c_1}} \\ a_2 & {\color{red}{c_2}} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}} = { a_1{\color{red}c_2} - {\color{red}c_1}a_2 \over a_1b_2 - b_1a_2}
\end{align}.\)
3 × 3 행렬에 대한 규칙은 유사합니다. 다음이라고 주어지면,
\(\quad\displaystyle \left\{\begin{matrix}
a_1x + b_1y + c_1z&= {\color{red}d_1}\\
a_2x + b_2y + c_2z&= {\color{red}d_2}\\
a_3x + b_3y + c_3z&= {\color{red}d_3}
\end{matrix}\right.\)
이는 행렬 형식에서 다음과 같습니다:
\(\quad\displaystyle \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\color{red}d_1} \\ {\color{red}d_2} \\ {\color{red}d_3} \end{bmatrix}.\)
그런-다음 x, y, 및 z의 값은 다음과 같이 구할 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle x = \frac{\begin{vmatrix} {\color{red}d_1} & b_1 & c_1 \\ {\color{red}d_2} & b_2 & c_2 \\ {\color{red}d_3} & b_3 & c_3 \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}}, \quad
y = \frac {\begin{vmatrix} a_1 & {\color{red}d_1} & c_1 \\ a_2 & {\color{red}d_2} & c_2 \\ a_3 & {\color{red}d_3} & c_3 \end{vmatrix}} {\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}}, \text{ and }
z = \frac { \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & {\color{red}d_1} \\ a_2 & b_2 & {\color{red}d_2} \\ a_3 & b_3 & {\color{red}d_3} \end{vmatrix}} {\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} }.\)
Differential geometry
Ricci calculus
크라메르의 규칙은 리치 계산법(Ricci calculus)에서 첫 번째와 두 번째 종류의 리스토펠 기호(Christoffel symbols)를 포함하는 다양한 계산에 사용됩니다.
특히, 크라메르의 규칙은 리만 매니폴드의 다이버전스 연산자가 좌표의 변경에 관해 불변임을 입증하기 위해 사용될 수 있습니다. 우리는 리스토펠 기호의 역할을 억제하여 직접적인 증명을 제공합니다. \((M,g)\)를 지역적 좌표 \( (x^1, x^2, \dots, x^n)\)를 갖춘 리만 매니폴드(Riemannian manifold)라고 놓습니다. \(A=A^i \frac{\partial}{\partial x^i}\)
를 벡터 필드(vector field)라고 놓습니다. 전체적으로 합계 관례(summation convention)를 사용합니다.
Theorem.
\(A\)의 다이버전스는,
\(\quad \operatorname{div} A = \frac{1}{\sqrt{\det g}} \frac{\partial}{\partial x^i} \left( A^i \sqrt{\det g} \right),\)
좌표의 변경 아래에서 불변입니다.
Proof
\((x^1,x^2,\ldots,x^n)\mapsto (\bar x^1,\ldots,\bar x^n)\)를 비-특이 야코비를 갖는 좌표 변환이라고 놓습니다. 그런-다음 고전적 변환 법칙은 \(A=\bar A^{k}\frac{\partial}{\partial\bar x^{k}}\)임을 의미하며, 여기서 \(\bar A^{k}=\frac{\partial \bar x^{k}}{\partial x^{j}}A^{j}\)입니다. 유사하게, 만약 \(g=g_{mk}\,dx^{m}\otimes dx^{k}=\bar{g}_{ij}\,d\bar x^{i}\otimes d\bar x^{j}\)이면, \(\bar{g}_{ij}=\,\frac{\partial x^{m}}{\partial\bar x^{i}}\frac{\partial x^{k}}{\partial \bar x^{j}}g_{mk}\)입니다. 행렬의 관점에서 이 변환 법칙을 쓰는 것은 \(\bar g=\left(\frac{\partial x}{\partial\bar{x}}\right)^{\text{T}}g\left(\frac{\partial x}{\partial\bar{x}}\right)\)를 산출하며, 이는 \(\det\bar g=\left(\det\left(\frac{\partial x}{\partial\bar{x}}\right)\right)^{2}\det g\)임을 의미합니다.
이제 다음을 계산합니다:
\(\quad \begin{align}
\operatorname{div} A &=\frac{1}{\sqrt{\det g}}\frac{\partial}{\partial x^{i}}\left( A^{i}\sqrt{\det g}\right)\\
&=\det\left(\frac{\partial x}{\partial\bar{x}}\right)\frac{1}{\sqrt{\det\bar g}}\frac{\partial \bar x^k}{\partial x^{i}}\frac{\partial}{\partial\bar x^{k}}\left(\frac{\partial x^{i}}{\partial \bar x^{\ell}}\bar{A}^{\ell}\det\!\left(\frac{\partial x}{\partial\bar{x}}\right)^{\!\!-1}\!\sqrt{\det\bar g}\right).
\end{align}\)
이것이 \(\frac{1}{\sqrt{\det\bar g}}\frac{\partial}{\partial\bar x^{k}}\left(\bar A^{k}\sqrt{\det\bar{g}}\right)\)와 같음을 보이기 위해, 다음임을 보이는 것과 필요충분 조건입니다:
\(\quad\displaystyle \frac{\partial\bar x^{k}}{\partial x^{i}}\frac{\partial}{\partial\bar x^{k}}\left(\frac{\partial x^{i}}{\partial \bar x^{\ell}}\det\!\left(\frac{\partial x}{\partial\bar{x}}\right)^{\!\!\!-1}\right)=0\qquad\text{for all } \ell, \)
이는 다음과 동등합니다:
\(\quad\displaystyle \frac{\partial}{\partial \bar x^{\ell}}\det\left(\frac{\partial x}{\partial\bar{x}}\right)
=\det\left(\frac{\partial x}{\partial\bar{x}}\right)\frac{\partial\bar x^{k}}{\partial x^{i}}\frac{\partial^{2}x^{i}}{\partial\bar x^{k}\partial\bar x^{\ell}}.
\)
왼쪽 변에서 미분을 수행하면, 다음을 얻습니다:
\(\quad \begin{align}
\frac{\partial}{\partial\bar x^{\ell}}\det\left(\frac{\partial x}{\partial\bar{x}}\right)
&=(-1)^{i+j}\frac{\partial^{2}x^{i}}{\partial\bar x^{\ell}\partial\bar x^{j}}\det M(i|j)\\
&=\frac{\partial^{2}x^{i}}{\partial\bar x^{\ell}\partial\bar x^{j}}\det\left(\frac{\partial x}{\partial\bar{x}}\right)\frac{(-1)^{i+j}}{\det\left(\frac{\partial x}{\partial\bar{x}}\right)}\det M(i|j)=(\ast),
\end{align}\)
여기서 \(M(i|j)\)는 \(i\)번째 행과 \(j\)번째 열을 삭제함으로써 \(\left(\frac{\partial x}{\partial\bar{x}}\right)\)에서 얻은 행렬을 나타냅니다. 그러나 크라메르의 규칙은 다음이 행렬 \(\left(\frac{\partial \bar{x}}{\partial x}\right)\)의 \((j,i)\)번째 엔트리라고 말합니다:
\(\quad\displaystyle \frac{(-1)^{i+j}}{\det\left(\frac{\partial x}{\partial\bar{x}}\right)}\det M(i|j) \)
따라서
\(\quad\displaystyle (\ast)=\det\left(\frac{\partial x}{\partial\bar{x}}\right)\frac{\partial^{2}x^{i}}{\partial\bar x^{\ell}\partial\bar x^{j}}\frac{\partial\bar x^{j}}{\partial x^{i}},\)
이것으로 증명을 완료합니다.
Computing derivatives implicitly
두 방정식 \(F(x, y, u, v) = 0\)와 \(G(x, y, u, v) = 0\)를 생각해 보십시오. u와 v가 독립 변수일 때, \(x = X(u, v)\)와 \(y = Y(u, v)\)를 정의할 수 있습니다.
\(\dfrac{\partial x}{\partial u}\)에 대한 방정식은 크라메르의 규칙을 적용함으로써 구할 수 있습니다.
Calculation of \(\dfrac{\partial x}{\partial u}\
먼저, F, G, x, 및 y의 첫 번째 도함수를 계산합니다:
\(\quad \begin{align}
dF &= \frac{\partial F}{\partial x} dx + \frac{\partial F}{\partial y} dy +\frac{\partial F}{\partial u} du +\frac{\partial F}{\partial v} dv = 0 \\[6pt]
dG &= \frac{\partial G}{\partial x} dx + \frac{\partial G}{\partial y} dy +\frac{\partial G}{\partial u} du +\frac{\partial G}{\partial v} dv = 0 \\[6pt]
dx &= \frac{\partial X}{\partial u} du + \frac{\partial X}{\partial v} dv \\[6pt]
dy &= \frac{\partial Y}{\partial u} du + \frac{\partial Y}{\partial v} dv.
\end{align}\)
dx, dy를 dF 및 dG에 대입하여, 다음을 가집니다:
\(\quad \begin{align}
dF &= \left(\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} + \frac{\partial F}{\partial u} \right) du + \left(\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial v} \right) dv = 0 \\ [6pt]
dG &= \left(\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial u} \right) du + \left(\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial v} \right) dv = 0.
\end{align}\)
u, v가 둘 다 독립이기 때문에, du, dv의 계수는 영이어야 합니다. 따라서 계수에 대한 방정식을 쓸 수 있습니다:
\(\quad \begin{align}
\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} & = -\frac{\partial F}{\partial u} \\[6pt]
\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} & = -\frac{\partial G}{\partial u} \\[6pt]
\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} & = -\frac{\partial F}{\partial v} \\[6pt]
\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} & = -\frac{\partial G}{\partial v}.
\end{align}\)
이제, 크라메르의 규칙에 의해, 다음임을 알고 있습니다:
\(\quad\displaystyle \frac{\partial x}{\partial u} = \frac{\begin{vmatrix} -\frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial y} \\ -\frac{\partial G}{\partial u} & \frac{\partial G}{\partial y}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\frac{\partial F}{\partial x} & \frac{\partial F}{\partial y} \\ \frac{\partial G}{\partial x} & \frac{\partial G}{\partial y}\end{vmatrix}}.\)
이것은 이제 두 야코비의 관점에서 공식입니다:
\(\quad\displaystyle \frac{\partial x}{\partial u} = -\frac{\left(\frac{\partial (F, G)}{\partial (u, y)}\right)}{\left(\frac{\partial (F, G)}{\partial(x, y)}\right)}.\)
유사하게 공식은 \(\frac{\partial x}{\partial v}, \frac{\partial y}{\partial u}, \frac{\partial y}{\partial v}\)에 대해 유도될 수 있습니다.
Integer programming
크라메르의 규칙은 제약 조건 행렬이 전체적으로 유니모듈러(totally unimodular)이고 오른쪽 변이 정수인 정수 프로그래밍 문제가 정수 기본 해를 가진다는 것을 입증하기 위해 사용될 수 있습니다. 이것은 정수 프로그램을 해결하기에 대체로 더 쉽게 만듭니다.
Ordinary differential equations
크라메르의 규칙은 비-동차 선형 미분 방정식에 대한 일반적인 해를 매개변수의 변동(variation of parameters)의 방법으로 유도하기 위해 사용됩니다.
Geometric interpretation
크라메르의 규칙은 증명 또는 단순히 기하학적 본성에 대한 통찰력을 제공하는 것으로 고려될 수 있는 기하학적 해석을 가집니다. 이들 기하학적 논증은 여기에 제시된 두 개의 미지수를 갖는 두 개의 방정식의 경우뿐만 아니라 일반적으로 작동합니다.
다음 방정식의 시스템이 주어지면,
\(\quad \begin{matrix}a_{11}x_1+a_{12}x_2&=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2&=b_2\end{matrix}\)
그것은 다음 벡터 사이의 방정식으로 고려될 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle x_1\binom{a_{11}}{a_{21}}+x_2\binom{a_{12}}{a_{22}}=\binom{b_1}{b_2}. \)
\(\binom{a_{11}}{a_{21}}\)과 \(\binom{a_{12}}{a_{22}}\)에 의해 결정된 평행사변형의 넓이는 다음 방정식의 시스템의 행렬식에 의해 주어집니다:
\(\quad \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}.\)
일반적으로, 더 많은 변수와 방정식이 있을 때, 길이 n의 n 벡터의 행렬식은 n-차원 유클리드 공간에서 해당 벡터에 의해 결정되는 평행육면체(parallelepiped)의 부피를 제공할 것입니다:
그러므로, \(x_1\binom{a_{11}}{a_{21}}\)와 \(\binom{a_{12}}{a_{22}}\)에 의해 결정된 평행사변형의 넓이는 첫 번째 것의 넓이의 \(x_1\)배여야 하는데, 왜냐하면 변 중 하나에 이 인수를 곱했기 때문입니다. 이제, 이 마지막 평행사변형은, 카발리에리의 원리(Cavalieri's principle)에 의해, \(\binom{b_1}{b_2}=x_1\binom{a_{11}}{a_{21}}+x_2\binom{a_{12}}{a_{22}}\)와 \(\binom{a_{12}}{a_{22}}\)에 의해 결정된 평행사변형과 같은 넓이를 가집니다.
이 마지막 평행사변형과 두 번째 평행사변형의 넓이를 같게 하면, 다음 방정식을 제공합니다:
\(\quad \begin{vmatrix}b_1&a_{12}\\b_2&a_{22}\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}a_{11}x_1&a_{12}\\a_{21}x_1&a_{22}\end{vmatrix} =x_1 \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix} \)
이로부터 크라메르의 규칙이 따릅니다.
Other proofs
A proof by abstract linear algebra
이것은 위의 증명을 추상적 언어로 재진술한 것입니다.
맵 \(\mathbf{x}=(x_1,\ldots, x_n) \mapsto \frac{1}{\det A} \left(\det (A_1),\ldots, \det(A_n)\right)\)을 생각해 보십시오, 여기서 \(A_i\)는 크라메르의 규칙에서와 같이 \(i\)-번째 열에 대체된 \(\mathbf{x}\)를 갖는 행렬 \(A\)입니다. 모든 각 열에서 행렬식의 선형성 때문에, 이 맵은 선형입니다. \(A\)의 \(i\)-번째 열을 \(i\)-번째 기저 벡터 \(\mathbf{e}_i=(0,\ldots, 1, \ldots, 0) \) (\(i\)-번째 자리에 1을 가짐)로 보내는 것을 관찰하십시오, 왜냐하면 반복되는 열을 갖는 행렬의 행렬식은 0이기 때문입니다. 따라서 우리는 열 공간 위에 \(A\)의 역과 일치하는 선형 맵을 가집니다; 따라서 그것은 열 공간의 스팬 위에 \(A^{-1}\)와 일치합니다. \(A\)는 역-가능이므로, 열 벡터는 모든 \(\mathbb{R}^n\)을 스팬하므로, 우리의 맵은 실제로 \(A\)의 역입니다. 크라메르의 규칙이 따릅니다.
A short proof
\(x_1\)이 다음 행렬의 행렬식임을 알아차림으로써 크라메르의 규칙의 짧은 증명이 제공될 수 있습니다.
\(\quad X_1=\begin{bmatrix}
x_1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\
x_2 & 1 & 0 & \cdots & 0\\
x_3 & 0 & 1 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\
x_n & 0 & 0 & \cdots & 1
\end{bmatrix}\)
다른 한편, 원래 행렬 {{mvar|A}}가 역-가능이라고 가정하여, 이 행렬 \(X_1\)는 열 \(A^{-1}\mathbf{b}, A^{-1}\mathbf{v}_2, \ldots, A^{-1}\mathbf{v}_n \)을 가지며, 여기서 \(\mathbf{v}_n\)은 행렬 {{mvar|A}}의 \(n\)-번째 열입니다. 행렬 \(A_1\)는 열 \(\mathbf{b}, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n \)을 가지고, 따라서 \(X_1=A^{-1}A_1\)임을 상기하십시오. 따라서, 두 행렬의 곱의 행렬식이 행렬식의 곱이라는 것을 사용함으로써, 다음을 가집니다:
\(\quad\displaystyle x_1= \det (X_1) = \det (A^{-1}) \det (A_1)= \frac{\det (A_1)}{\det (A)}.\)
다른 \(x_j\)에 대해 증명은 유사합니다.
Inconsistent and indeterminate cases
방정식의 시스템은 해가 없을 때 불일치(inconsistent)라고 말하고 하나보다 많은 해가 있을 때 불확정(indeterminate)이라고 불립니다. 선형 방정식에 대해, 해가 임의적인 값을 가질 수 있는 하나 이상의 매개변수의 관점에서 표현될 수 있기 때문에 불확정 시스템은 (그것이 무한 필드에 걸쳐 있으면) 무한하게 많은 해를 가질 것입니다.
크라메르의 규칙은 계수 행렬식이 비-영인 경우에 적용됩니다. 2×2의 경우에서, 계수 행렬식이 영이면, 그 시스템은 분자 행렬식이 비-영이면 호환되지 않거나, 분자 행렬식이 영이면 불확정입니다.
3×3 이상의 시스템에 대해, 계수 행렬식이 영과 같을 때 말할 수 있는 유일한 것은 분자 행렬식 중 하나라도 비-영이면 시스템이 불일치라는 것입니다. 어쨌든, 모든 행렬식이 0이라는 것이 그 시스템이 불확정이라는 것을 의미하지는 않습니다. 모든 행렬식이 사라지지만 (0과 같음) 시스템이 여전히 호환되지 않는 간단한 예는 3×3 시스템 x+y+z=1, x+y+z=2, x+y+z=3입니다.
External links
- Proof of Cramer's Rule
- WebApp descriptively solving systems of linear equations with Cramer's Rule
- Online Calculator of System of linear equations
- Wolfram MathWorld explanation on this subject