세는 것(Counting)은 대상의 유한 집합(finite set)의 원소(elements)의 숫자(number)를 결정하는, 즉, 집합의 크기(size)를 결정하는 과정입니다. 세는 것의 전통적인 방법은 어떤 순서에서 집합의 모든 각 원소에 대해 단위에 의한 (암기로 또는 구두로) 계수기를 연속적으로 증가시키는 것으로 구성되고, 반면에 표시되지 않은 원소가 남지 않을 때까지, 같은 원소를 한 번보다 많이 방문하는 것을 피하기 위해 그들 원소를 표시합니다 (또는 바꾸어 놓습니다); 만약 계수기가 첫 번째 대상 다음에 일로 설정하면, 마지막 대상을 방문한 후 값이 원소의 원했던 숫자를 제공합니다. 관련된 용어 열거(enumeration)는 각 원소에 숫자를 할당함으로써 유한(finite) (조합론적) 집합(set) 또는 무한 집합의 원소를 고유하게 식별하는 것을 참조합니다.
세는 것은 때때로 일이 아닌 숫자를 포함합니다; 예를 들어, 돈을 셀 때, 변화를 셀 때, "둘씩 세는 것" (2, 4, 6, 8, 10, 12, ...), 또는 "다섯씩 세는 것" (5, 10, 15, 20, 25,...)이 있습니다.
인간이 적어도 50,000 년에 대해 세는 것을 해 왔다는 고고학적 증거가 있습니다. 세는 것은 주로 고대 문화에 의해 집단 구성원, 가축, 재산 또는 부채 (즉, 회계(accountancy))의 숫자와 같은 사회적 및 경제적 데이터를 추적하기 위해 사용되었습니다. 새긴 눈금이 있는 뼈가 남아프리카 공화국의 Border Caves에서 역시 발견되었으며, 이것은 세는 것의 개념이 기원전 44,000년 전까지로 거슬러 올라가 인간에게 알려졌음을 시사합니다. 세는 것의 발달은 수학 표기법(mathematical notation), 숫자-표시 시스템(numeral system), 및 쓰는 것(writing)의 개발로 이어졌습니다.
Forms of counting
세는 것은 다양한 형태로 발생할 수 있습니다.
세는 것은 구두로 할 수 있습니다; 즉, 진행 상황을 추적하기 위해 모든 각 숫자를 큰 소리로 (또는 암기로) 말하는 것입니다. 이것은 시간이 지남에 따라 변하는 것을 계산하는 대신 이미 존재하는 대상을 세기 위해 종종 사용됩니다.
세는 것은 역시 각 숫자에 대한 표시를 만들고 그런-다음 집계가 완료될 때 모든 표시를 세는 집계 표시(tally marks)의 형식일 수 있습니다. 이것은 하루 중 어떤 일이 발생하는 횟수와 같이 시간이 지남에 따라 대상을 셀 때 유용합니다. 집계는 밑수 1 셈입니다; 정규 셈은 밑수 10에서 수행됩니다. 컴퓨터는 밑수 2(base 2) 셈 (0과 1)을 사용하며, 역시 부울 대수(Boolean algebra)로 알려져 있습니다.
세는 것은 특히 작은 숫자를 셀 때, 역시 손가락 셈(finger counting)의 형태일 수 있습니다. 이것은 아이들에 의해 셈과 간단한 수학 연산을 용이하게 하기 위해 자주 사용됩니다. 손가락-셈은 단항 표기법 (손가락 한 개 = 한 단위)을 사용하고, 따라서 셈 10으로 제한됩니다 (발가락으로 시작하지 않는 한). 오래된 손가락 셈은 네 손가락과 각 손가락 (지골)의 세 뼈를 사용하여 숫자 12를 셉니다. 다른 손-몸짓 시스템은 역시 사용 중이며, 예를 들어 한 손의 몸짓만으로 10을 셀 수 있는 중국 시스템이 있습니다. 손가락 이진법(finger binary) (밑수 2 셈)를 사용하여 손가락 셈을
손 집계 게수기와 주판(abacus)과 같은, 다양한 장치가 역시 셈을 용이하게 하기 위해 사용될 수 있습니다.
Inclusive counting
포함 셈은 보통 로마 달력(Roman calendar)과 로망스 언어(Romance language)에서 시간을 다룰 때 마주칩니다. "포함"으로 계산할 때, 일요일 (시작일)은 1일이 되고 따라서 다음 일요일은 여덟 번째 날일 것입니다. 예를 들어, "fortnight"에 대한 프랑스어 어구는 quinzaine (15 [일])이고, 유사한 단어는 그리스어 (δεκαπενθήμερο, dekapenthímero), 스페인어 (quincena), 및 포르투갈어 (quinzena)에 존재합니다. 대조적으로, 영어 단어 "fortnight" 자체는 "sennight"가 "a seven-night"에서 파생된 것처럼 "a fourteen-night"에서 파생됩니다; 영어 단어는 포함 셈의 예제가 아닙니다. 영어와 같은 배타적인 셈 언어에서, "일요일부터" 팔일을 셀 때, 월요일은 1일, 화요일은 2일, 및 다음 월요일은 여덟 번째 날일 것입니다. 수년 동안 그것은 "from the date"라는 문구에 대해 "beginning on the day after that date"를 의미하는 영어 법률에서 표준 관행이었습니다: 이 관행은 오해의 위험이 높기 때문에 이제 더 이상 사용되지 않습니다.
포함 셈에 기반된 이름은 마찬가지로 다른 달력에 나타납니다: 로마 달력에서 nones ("9"을 의미)은 ides보다 8일 앞습니다; 그리고 기독교 달력에서 Quinquagesima (50을 의미)는 부활절 일요일 49일 전입니다. .
음악 용어는 역시 표준 음계의 음표 사이의 음정(intervals)을 포함 셈을 사용합니다: 한 음표를 올리는 것은 두 번째 음정, 두 개 음표를 올리는 것은 세 번째 음정 등이고, 일곱 음표를 올리는 것은 옥타브(octave)입니다.
Education and development
세는 법을 배우는 것은 세계 대부분의 문화에서 중요한 교육/발달 이정표입니다. 숫자 세기를 배우는 것은 수학에 대한 어린이의 첫 번째 단계이고, 해당 분야의 가장 기본적인 개념을 구성합니다. 어쨌든, Amazonia와 Australian Outback의 일부 문화권은 셈을 포함하지 않고, 그들의 언어는 숫자 단어를 가지지 않습니다.
2세에 불과한 많은 어린이들은 숫자 세기 (즉, "하나, 둘, 셋, ..."라고 말하기)를 암송하는 기술을 가지고 있습니다. 그들은 역시 "삼 다음에 오는 것은 무엇입니까?"와 같이 작은 숫자에 대한 순서에 대한 질문에 답할 수 있습니다. 그들은 역시 집합에서 각 대상을 가리키고 단어를 차례로 암송하기 위해 능숙할 수 있습니다. 이것은 많은 부모와 교육자들이 아이가 집합의 크기를 결정하기 위해 세는 방법을 알고 있다는 결론에 이르게 합니다. 연구에 따르면 이들 기술을 배운 후 어린이가 그 의미와 절차가 수행되는 이유를 이해하는 데 약 1년이 걸린다고 합니다. 그 동안, 아이들은 하위화(subitize)할 수 있는 카디널리티의 이름을 지정하는 방법을 배웁니다.
Counting in mathematics
수학에서, 집합을 세고 결과 n을 찾는 것의 본질은 양의 정수의 부분집합을 갖는 집합 {1, 2, ..., n}의 일-대-일 대응(one-to-one correspondence) (또는 전단사)을 설정한다는 것입니다. 수학적 귀납법(mathematical induction)에 의해 증명될 수 있는 근본적인 사실은 n = m이 아닌 한 {1, 2, ..., n}과 {1, 2, ..., m} 사이에 전단사가 존재할 수 없다는 것입니다; 이 사실 (두 개의 전단사는 또 다른 전단사를 제공하기 위해 합성될(composed) 수 있다는 사실과 함께)은 같은 집합을 다른 방법으로 세는 것은 (오류가 발생하지 않는 한) 결코 다른 숫자가 될 수 없음을 보장합니다. 이것은 셈의 목적을 제공하는 기본적인 수학적 정리입니다; 어쨌든 여러분이 (유한) 집합을 세어도, 그 답은 같습니다. 더 넓은 문맥에서, 그 정리는 (유한) 조합론(combinatorics)의 수학적 분야에서 정리의 한 예제입니다–따라서 (유한) 조합론은 때때로 "셈의 수학"으로 참조됩니다.
셈의 개념은 일부 잘-이해된 집합을 갖는 전단사(의 존재)를 설정한다는 의미에서 그것들로 확장될 수 있습니다. 예를 들어, 만약 집합이 모든 자연수의 집합으로 전단사로 전환될 수 있으면, 그것은 "셀-수-있는 무한(countably infinite)"이라고 불립니다. 이러한 종류의 셈은, 원래 집합과의 전단사 가능성이 배제되지 않기 때문에, 집합에 새 원소를 추가해도 크기가 반드시 증가하지는 않는다는 점에서 유한 집합의 셈과 근본적으로 다릅니다. 예를 들어, 모든 정수(integer)의 집합 (음수 포함)은 자연수의 집합을 갖는 전단사로 전환될 수 있고, 유리수의 모든 유한 수열의 집합과 같이 겉보기에는 훨씬 더 큰 집합도 여전히 (오직) 셀-수-있는 무한입니다. 그럼에도 불구하고, 실수의 집합과 같이 자연수를 갖는 전단사를 허용하기에는 "너무 큰" 것으로 표시될 수 있는 집합이 있고, 이들 집합은 "셀-수-없는(uncountable)" 것이라고 합니다. 그들 사이에 전단사가 존재하는 집합은 같은 카디널리티(cardinality)를 갖는다고 하고, 가장 일반적인 의미에서 집합을 세는 것은 그 카디널리티를 결정하는 것으로 취해질 수 있습니다. 각 자연수에 의해 주어진 카디널리티 너머에는, 무한 카디널리티의 무한 계층이 있지만, 보통 수학 (즉, 가능한 카디널리티를 명시적으로 연구하는 외부 집합 이론(set theory))에서 그러한 카디널리티가 거의 발생하지 않습니다.
주로 유한 집합의 셈은 수학에서 다양한 응용을 가지고 있습니다. 한 가지 중요한 원칙은 만약 두 집합 X와 Y가 같은 유한 원소의 수를 가지고 있고, 함수 f: X → Y가 단사(injective)로 알려져 있으면, 그것은 역시 전사(surjective)이고, 그 반대도 마찬가지라는 것입니다. 관련된 사실은 비둘기집 원리(pigeonhole principle)로 알려져 있으며, 그것은 만약 두 집합 X와 Y에 n > m과 함께 유한 숫자의 요소 n과 m이 있으면, 임의의 맵 f: X → Y는 단사가 아닙니다 (따라서 f가 Y의 같은 원소로 보내는 X의 둘의 구별되는 원소가 존재합니다); 이것은 전자의 원칙을 따르는데, 왜냐하면 만약 f가 단사였으면, m개의 원소를 갖는 X의 엄격한 부분집합 S에 대한 제한(restriction)도 마찬가지이므로, 이 제한은 그런-다음 S 외부의 X에서 x에 대해, f(x)는 제한의 이미지에 절대 있지 않는다는 사실에 위배됩니다. 유사한 셈의 인증은 명시적으로 예제를 제공하지 않고 특정 대상의 존재를 입증할 수 있습니다. 무한 집합의 경우에서, 이것은 예제를 제공할 수 없는 상황에서도 심지어 적용될 수 있습니다.
열거 조합론(enumerative combinatorics)의 영역은 그것들을 실제로 셈없이 유한 집합의 원소의 수를 세는 것입니다; 후자는 임의의 자연수 n에 대해 {1, 2, ..., n}의 순열(permutation)의 집합과 같이 유한 집합의 무한 가족이 한 번에 고려되기 때문에 보통 불가능합니다.