수학(mathematics)에서, 상용 로그(common logarithm)는 밑수 10을 갖는 로그(logarithm)입니다. 이것은 그의 밑수의 이름을 따서 지어진, 십진 로그(decadic logarithm 또는 decimal logarithm), 또는 그의 사용법을 개척한 영국 수학자, 헨리 브릭스(Henry Briggs)의 이름을 따서 지어진, 브릭스 로그(Briggsian logarithm), 마찬가지로 "표준 로그(standard logarithm)"로 역시 알려져 있습니다. 역사적으로, 이것은 logarithmus decimalis 또는 logarithmus decadis로 알려져 있습니다. 그것은 \(\log_{10}(x)\), 또는 대문자 L과 함께 때때로 Log(x)로 표시될 수 있습니다 (어쨌든, 그것은 복소 자연 로그 다중-값 함수(multi-valued function)를 역시 의미하기 때문에, 이 표기법은 모호합니다). 계산기에서는 보통 "log"이지만, 수학자(mathematician)는 "log"를 작성할 때 상용 로그라기 보다는 (밑수 e ≈ 2.71828를 갖는) 자연 로그(natural logarithm)를 보통 의미합니다. 이 모호성을 완화하기 위해 ISO 80000 사양(ISO 80000 specification)은 \(\log_{10}(x)\)을 lg (x)로 반드시 작성하고 \(\log_e (x)\)는 ln (x)으로 반드시 작성하기를 권장합니다.
1970년대 초 이전에는, 휴대용 전자 계산기(calculator)는 이용할 수 없었고 곱셈이 가능한 기계식 계산기(mechanical calculator)가 부피가 크고, 너무 비싸고 널리 사용되지 않았습니다. 대신에, 계산이 미끄럼 자(slide rule)로 얻을 수 있는 것보다 더 큰 정확도를 요구할 때, 밑수-10 로그(logarithm)의 테이블(tables)이 과학, 공학 및 항해에서 사용되었습니다. 로그의 사용은 힘들고 오류가 발생하기 쉬운 종이-와-연필의 곱셈과 나눗셈을 피하게 했습니다. 로그가 매우 유용했기 때문에, 밑수-10 로그의 테이블(table)이 많은 교과서의 부록에 주어졌습니다. 수학적 및 항법 핸드북은 마찬가지로 삼각 함수의 로그의 테이블을 포함합니다. 그러한 테이블의 역사에 대해 로그 테이블(log table)을 참조하십시오.
Mantissa and characteristic
밑수-10 로그의 중요한 속성은, 그것은 로그를 계산에서 아주 유용하게 만들고, 10의 거듭제곱의 인수에 의해 달라지는 1보다 큰 숫자의 로그는 모두 같은 분수 부분을 갖는다는 것입니다. 분수 부분은 가수(mantissa)로 알려져 있습니다. 따라서 로그 테이블은 오직 분수 부분을 표시할 필요가 있습니다. 상용 로그의 테이블은 전형적으로 범위 안의 각각의 숫자의, 예를 들어, 1000에서 9999, 4 또는 5 십진 자릿수 또는 그 이상으로 가수를 나열합니다. 그러한 범위는 가수의 모든 가능한 값을 포함할 것입니다.
지표(characteristic)로 불리우는, 정수 부분은 소수점을 몇 자리만큼 이동해야 하는지를 간단히 세는 것에 의해 계산할 수 있으므로, 그것은 첫 번째 유효 자릿수의 바로 오른쪽에 옵니다. 예를 들어, 120의 로그는 다음 계산에 의해 주어집니다:
\(\quad \log_{10}(120) = \log_{10}\left(10^2 \times 1.2\right) = 2 + \log_{10}(1.2) \approx 2 + 0.07918.\)
마지막 숫자 (0.07918)—120의 상용 로그의 소수 부분 또는 가수—는 보이는 테이블에서 찾을 수 있습니다. 120에서 소수점의 위치는 우리에게 120의 상용 로그의 정수 부분, 지표가 2라고 말합니다.
Negative logarithms
0보다 크고 1보다 작은 숫자는 음의 로그를 가집니다. 예를 들어,
\(\log_{10}(0.012) = \log_{10}\left(10^{-2} \times 1.2\right) = -2 + \log_{10}(1.2) \approx -2 + 0.07918 = -1.92082.\)
양 및 음의 로그를 그들의 원래 숫자로 다시 변환하기 위한 별도의 테이블에 대한 요구를 피하기 위해, 우리는 음의 로그를 음의 정수 지표 더하기 양의 가수로 표현할 수 있습니다. 이것을 용이하게 하기 위해, 막대 표기법(bar notation)으로 불리우는 특별한 표기법이 사용됩니다:
\(\log_{10}(0.012) \approx -2 + 0.07918 = \bar{2}.07918.\)
지표 위에 막대는, 그것이, 가수가 양수로 남아있는 동안, 음수임을 나타냅니다. 막대 표기법에서 숫자를 크게 읽을 때, 기호 \(\bar{n}\)는 "막대 n"으로 읽히므로, \(\bar{2}.07918\)은 "막대 2 점 07918 ..."로 읽어집니다.
다음 예제는 0.012 × 0.85 = 0.0102를 계산하기 위해서 막대 표기법을 사용합니다:
\(\begin{array}{rll}
\text{As found above,} & \log_{10}(0.012) \approx\bar{2}.07918\\
\text{Since}\;\;\log_{10}(0.85) &= \log_{10}\left(10^{-1}\times 8.5\right) = -1 + \log_{10}(8.5) &\approx -1 + 0.92942 = \bar{1}.92942\\
\log_{10}(0.012 \times 0.85) &= \log_{10}(0.012) + \log_{10}(0.85) &\approx \bar{2}.07918 + \bar{1}.92942\\
&= (-2 + 0.07918) + (-1 + 0.92942) &= -(2 + 1) + (0.07918 + 0.92942)\\
&= -3 + 1.00860 &= -2 + 0.00860\;^*\\
&\approx \log_{10}\left(10^{-2}\right) + \log_{10}(1.02) &= \log_{10}(0.01 \times 1.02)\\
&= \log_{10}(0.0102).
\end{array}\)
\({*}\) 이 단계는 그의 역로그(antilog) (\(10^{\rm 가수}\))는 테이블에서 찾아질 수 있도록 0과 1 사이의 가수를 만듭니다.
다음 테이블은 같은 가수가 십의 거듭제곱에 의해 달라지는 숫자의 범위에 대해 어떻게 사용 가능한지를 보여줍니다:
| 숫자에 곱해진 10의 거듭제곱의 상용로그, 지표, 가수 | ||||
| 숫자 | 상용 로그 | 지표 | 가수 | 결합된 형식 |
| \(n=5\times 10^i\) | \(\log_{10}(n)\) | \(i=\operatorname{floor}(\log_{10}(n))\) | \(\log_{10}(n)-i\) | |
| 5 000 000 | 6.698 970... | 6 | 0.698 970... | 6.698 970... |
| 50 | 1.698 970... | 1 | 0.698 970... | 1.698 970... |
| 5 | 0.698 970... | 0 | 0.698 970... | 0.698 970... |
| 0.5 | −0.301 029... | −1 | 0.698 970... | 1.698 970... |
| 0.000 005 | −5.301 029... | −6 | 0.698 970... | 6.698 970... |
가수는 모든 \(5\times 10^i\)에 공통인 것에 주목하십시오. 이것은 임의의 양의 실수(real number) \(x\)를 보존하는데 왜냐하면 다음 때문입니다:
\(\quad \log_{10}\left(x \times10^i\right) = \log_{10}(x) + \log_{10}\left(10^i\right) = \log_{10}(x) + i\).
\(i\)는 상수이므로, 가수는 \(\log_{10}(x)\)에서 나오며, 이것은 주어진 \(x\)에 대해 상수입니다. 이것은 로그의 테이블(Log table)이 각각의 가수에 대해 단지 하나의 엔트리를 포함하는 것을 허용합니다. \(5\times 10^i\)의 예제에서, 0.698 970 (004 336 018 ...)은 5 (또는 0.5, 또는 500, 등.)에 의해 한번 색인화되어 목록화될 것입니다.
History
상용 로그는, 17세기 영국 수학자, 헨리 브릭스(Henry Briggs) 이후에 때때로 "브릭스 로그(Briggsian logarithm)"로 역시 불립니다. 1616년과 1617년에서, 브릭스는, 네이피어의 로그의 변화를 제안하기 위해 에딘버러에서 자연 (밑수-e) 로그로 지금 불리는 것을 발명한, 존 네이피어(John Napier)를 방문했습니다. 이 회의 동안, 브릭스(Briggs)에 의해 제안된 변경이 합의되었습니다; 그리고 두 번째 방문에서 돌아온 후, 그는 그의 로그의 첫 번째 칠리(chiliad)를 출판했습니다.
밑수 10 로그가 계산에 대해 가장 유용했기 때문에, 공학자는, 그들이 \(\log_{10}(x)\)를 의미했을 때 일반적으로 간단히 "log(x)"로 썼었습니다. 다른 한편, 수학자들은 그들이 자연 로그에 대해 \(\log_e (x)\)를 의미했을 때 "log(x)"를 썼었습니다. 오늘날, 두 표기법이 모두 발견됩니다. 휴대용 전자 계산기는 수학자보다는 공학자에 의해 설계되므로, 그것은 공학자의 표기법을 따르는 것이 관례입니다. 그래서 자연 로그가 의도될 때 "ln(x)"을 쓰는 것을 따르는 표기법은, "상용 로그"의 사용을 훨씬 덜 공통적인, 전자 계산기를 만드는 발명에 의해 더욱 대중화되었을 수 있습니다.
Numeric value
밑이 10에 대한 로그에 대해 수치적 값은 다음 항등식과 함께 계산될 수 있습니다.
\(\quad\displaystyle \log_{10}(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)} \quad\) 또는 \(\quad\displaystyle \log_{10}(x) = \frac{\log_2(x)}{\log_2(10)}\)
로그 밑수 e(logarithm base e)와 로그 밑수 2(logarithm base 2)에 대해 수치적 값을 결정하는 것에 대해 절차가 있습니다.
See also
References
- Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
- Möser, Michael (2009). Engineering Acoustics: An Introduction to Noise Control. Springer. p. 448. ISBN 978-3-540-92722-8.
- Poliyanin, Andrei Dmitrievich; Manzhirov, Alexander Vladimirovich (2007) [2006-11-27]. Handbook of mathematics for engineers and scientists. CRC Press. p. 9. ISBN 978-1-58488-502-3.
External links
- "Briggsian logarithms". PlanetMath. includes a detailed example of using logarithm tables