수학(mathematics)에서, 두 비-영(zero) 실수(real number) a와 b는 만약 그것들의 비율 \(tfrac{a}{b}\)가 유리수(rational number)이면, 정수비율가능(commensurable)이라고 말합니다; 그렇지 않으면 a와 b는 비-정수비율가능(incommensurable)이라고 불립니다. (유리수는 두 정수(integers)의 비율과 동등한 숫자임을 기억하십시오.) 그룹 이론에서 정수비율가능성의 보다 일반적인 개념이 있습니다.
예를 들어, 숫자 3과 2는 정수비율가능인데 왜냐하면 그것들의 비율, \(\tfrac32\)은 유리수이기 때문입니다. 숫자 \(\sqrt{3}\)과 \(2\sqrt{3}\)은 역시 정수비율가능인데 왜냐하면 그것들의 비율, \(\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac12\)은 유리수이기 때문입니다. 어쨌든, 숫자 \(\sqrt{3}\)과 2는 비-졍수비율가능인데 왜냐하면 그것들의 비율, \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)는 무리수(irrational number)이기 때문입니다.
보다 일반적으로, 정의에서, 만약 a와 b가 임의의 둘의 비-영 유리수이면 a와 b가 정수비율가능인 것은 즉각적으로 따릅니다; 역시 만약 a가 임의의 무리수이고 b가 임의의 비-영 유리수이면, a와 b는 비-정수비율가능인 것도 즉각적으로 따릅니다. 다른 한편으로, 만약 a와 b 둘 다가 무리수이면, a와 b는 정수비율가능일 수도 있고 그렇지 않을 수도 있습니다.
History of the concept
피타고라스 학파(Pythagoreans)는 무리수(irrational numbers)의 존재의 증명으로 인정받고 있습니다. 두 선분의 길이의 비율이 무리수일 때, (단지 그것들의 길이가 아니라) 선분 자체는 역시 비-정수비율가능인 것으로 설명됩니다.
기하학적 크기(magnitude)에 대해 개별적, 보다 일반적이고 순환적인 고대 그리스 비례성의 교리(doctrine of proportionality)는 비-정수비율가능 길이를 포함하는 증명을 허용하고, 따라서 역사적으로 제한된 숫자(number)의 정의에만 적용되는 주장을 피하기 위해 유클리드의 원론 제 5권에서 개발되었습니다.
유클리드의 정수비율가능성의 개념은 메노(Meno)라는 플라톤의 대화에서 소크라테스(Socrates)와 노예 소년 사이의 토론에서 전달될 것으로 예상되며, 이것에서 소크라테스는 소크라테스 방법을 통해 복잡한 기하학적 문제를 해결하기 위해 소년 고유의 능력을 사용합니다. 그는, 모든 의도와 목적을 위해, 본질적으로 매우 유클리드적이고 비-정수비율가능의 개념에 대해 말하는 증명을 개발합니다.
사용법은 주로 유클리드(Euclid)의 원론(Elements)의 번역에서 비롯되며, 이것에서 두 선분 a와 b는 만약 a에 합동인 선분을 생성하기 위해 정수의 배수를 끝-에서-끝에 배치될 수 있는 어떤 세 번째 선분 c가 있고, 역시, 다른 정수와 함께, b와 합동인 선분이 있으면 정확하게 정수비율가능이라고 불렀습니다. 유클리드는 임의의 실수의 개념을 사용하지 않았지만, 그는 선분의 합동의 개념을 사용했고, 그러한 선분 중 하나가 또 다른 선분보다 길거나 짧다는 개념을 사용했습니다.
\(\tfrac{a}{b}\)가 유리수라는 것은 다음을 만족하는 어떤 실수 c와 정수(integer) m과 n이 존재에 대해 필요충분(iff) 조건입니다:
\(\quad\)a = mc and b = nc.
단순함을 위해 a와 b가 양수(positive)라고 가정하면, 우리는 길이 c의 단위에서 표시된 자(ruler)가 길이 a의 선분(line segment)과 길이 b의 선분 둘 다를 측정하기 위해 사용될 수 있다고 말할 수 있습니다. 즉, a와 b가 모두 측정될 수 있는 관점에서 공통 길이(length)의 단위가 있습니다; 이것이 용어의 기원입니다. 그렇지 않으면 쌍 a와 b는 비-정수비율가능입니다.
In group theory
그룹 이론(group theory)에서, 그룹 G의 두 부분그룹(subgroup) \(\Gamma_1\)과 \(\Gamma_2\)는 만약 교집합(intersection) \(\Gamma_1 \cap \Gamma_2\)가 \(\Gamma_1\)과 \(\Gamma_2\) 둘 다에서 유한 인덱스(finite index)이면 정수비율가능이라고 말합니다.
예제: a와 b를 비-영 실수라고 놓습니다. 그런-다음 a에 의해 생성된(generated) 실수 R의 부분그룹은 b에 의해 생성된 부분그룹과 정수비율가능인 것과 a/b가 유리수라는 의미에서, 실수 a와 b가 정수비율가능인 것은 필요충분 조건입니다. 따라서 정수비율가능성의 그룹-이론적 개념은 실수에 대한 개념을 일반화합니다.
같은 그룹의 부분그룹으로 주어지지 않은 두 그룹에 대해 유사한 개념이 있습니다. 두 그룹 \(G_1\)과 \(G_2\)가 만약 \(H_1\)이 \(H_2\)와 동형적(isomorphic)임을 만족하는 유한 인덱스의 부분그룹 \(H_1 \subset G_1\)과 \(H_2 \subset G_2\)가 있으면 (추상적으로) 정수비율가능입니다.
In topology
둘의 경로-연결된(path-connected) 토폴로지적 공간(topological space)은 만약 그것들이 위상동형적(homeomorphic) 유한-시트 덮는 공간(covering space)을 가지면 정수비율가능이라고 말합니다. 고려 중인 공간의 유형에 따라, 우리는 정의에서 위상동형 대신에 호모토피 등등성(homotopy equivalences) 또는 미분동형(diffeomorphism)을 사용하기를 원할 수 있습니다. 만약 두 공간이 정수비율가능이면, 그것들의 기본 그룹(fundamental group)은 역시 정수비율가능입니다.
예제: 지너스(genus) 적어도 2의 임의의 두 닫힌 표면(closed surface)은 서로 정수비율가능입니다.