수학(mathematics)에서, 함수(function)의 코도메인(codomain) 또는 목적지 집합(set of destination)은 함수의 모든 출력이 그것에 떨어지도록 제한되는 집합(set)입니다. 그것은 표기법 f: X → Y에서 집합 Y입니다. 용어 치역(range)이 때때로 함수의 코도메인 또는 이미지(image)를 참조하기 위해 모호하게 사용됩니다.
코도메인은 f가 세-쌍 (X, Y, F)으로 정의되는 함수 f의 일부이며 여기서 X는 f의 도메인(domain), Y는 코도메인, 및 G는 그래프(graph)라고 불립니다. 형식 f(x)의 모든 원소의 집합은, 여기서 x는 도메인(domain) X의 원소에 걸쳐 있으며, f의 이미지(image)라고 불립니다. 함수의 이미지는 그의 코도메인의 부분-집합이므로 그것과 일치하지 않을 수 있습니다. 즉, 전사(surjective)가 아닌 함수는 방정식 f(x) = y가 해를 가지지 않는 그것의 코도메인에 원소 y를 가집니다.
코도메인은 만약 f가 단지 그래프로 정의되면 함수 f의 일부가 아닙니다. 예를 들어, 집합 이론에서, 함수의 도메인이 적절한 클래스(proper class) X가 되도록 허용하는 것이 바람직하며, 이 경우에서 공식적으로 세-쌍 (X, Y, F)와 같은 것은 없습니다. 그러한 정의와 함께, 함수는 비록 일부 저자는 형식 f: X → Y 내의 함수를 소개한 후에 비공식적으로 그것을 여전히 사용하지만 코도메인을 가지지 않습니다.
Examples
다음 함수에 대해
\(\quad f\colon \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\)
다음에 의해 정의됩니다:
\(\quad f\colon\,x\mapsto x^2, \text{ or equivalently }f(x)\ =\ x^2,\)
f의 코도메인은 \(\textstyle \mathbb R\)이지만, f는 임의의 음수를 매핑하지 않습니다. 따라서 f의 이미지는 집합 \(\textstyle \mathbb{R}^+_0\); 즉, 구간(interval) [0, ∞)입니다.
대안적인 함수 g는 따라서 정의됩니다:
\(\quad g\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^+_0\)
\(\quad g\colon\,x\mapsto x^2.\)
f와 g는 주어진 x를 같은 숫자로 매핑하지만, 그것들은, 이 관점에서, 같은 함수가 아닌데 왜냐하면 그것들은 다른 코도메인을 가지기 때문입니다. 세 번째 함수 h는 이유를 시연하기 위해 정의될 수 있습니다:
\(\quad h\colon\,x\mapsto \sqrt x.\)
h의 도메인은 \(\textstyle \mathbb{R}^+_0\)로 정의되어야 합니다:
\(h\colon\mathbb{R}^+_0\rightarrow\mathbb{R}.\)
합성(compositions)은 다음과 같이 표시됩니다:
\(\quad h \circ f,\)
\(\quad h \circ g.\)
검사에서, h ∘ f는 유용하지 않습니다. 달리 정의되지 않는 한, f의 이미지가 알 수 없다는 것은 참입니다; \(\mathbb{R}\)의 부분집합인 것이 오직 알려져 있습니다. 이러한 이유로, h는, f가 합성될 때, 출력이 정의되지 않은 인수를 받을 수 있는 것이 가능합니다 – 음수는 제곱근 함수(square root function)인 h의 도메인의 원소가 아닙니다.
함수 합성은 따라서 합성의 오른쪽에 있는 함수의 코도메인 (함수의 결과이고 합성의 수준에서 알 수 없는 이미지가 아님)은 왼쪽에 있는 함수의 도메인의 부분집합일 때 오직 유용한 개념입니다.
코도메인은 함수가 전사(surjection)인지 여부에 영향을 미칩니다. 그것에서 함수가 전사인 것과 그것의 코도메인이 이미지와 같은 것은 필요충분 조건입니다. 이 예제에서, g는 전사이지만 f는 그렇지 않습니다. 코도메인은 함수가 단사(injection)인지 여부에 영향을 미치지 않습니다.
코도메인과 이미지 사이의 차이의 두 번째 예제는 두 벡터 공간(vector space) 사이의 선형 변환(linear transformation)에 의해 시연됩니다 – 특히, \(\textstyle \mathbb{R}^2\)에서 자체로의 모든 선형 변환, 이것은 실수 계수를 갖는 2×2 행렬(matrices)로 표현될 수 있습니다. 각 행렬은 도메인 \(\textstyle \mathbb{R}^2\)과 코도메인 \(\textstyle \mathbb{R}^2\)을 갖는 맵을 나타냅니다. 어쨌든, 이미지는 불확실합니다. 일부 변환은 (랭크(rank) 2를 갖는 행렬에서) 전체 코도메인과 같은 이미지를 가질 수 있지만, 많은 것이 그렇지 않으며, 대신에 일부 더 작은 부분공간 (랭크 1 또는 0을 갖는 행렬)으로 매핑합니다. 예를 들어, 다음에 의해 정의된 행렬 T를 취하십시오:
\(\quad T = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
1 & 0 \end{pmatrix}\)
이것은 점 (x, y)를 (x, x)로 매핑하는 선형 변환을 나타냅니다. 점 (2, 3)은 T의 이미지가 아니지만, 여전히 코도메인에 있는데 왜냐하면 \(\textstyle \mathbb{R}^2\)에서 \(\textstyle \mathbb{R}^2\)로의 선형 변환은 명시적 관련성의 것이기 때문입니다. 모든 2×2 행렬처럼, T는 해당 집합의 구성원을 나타냅니다. 이미지와 코도메인 사이의 차이를 조사하면 종종 질문에서 함수의 속성을 발견하는 것에 유용할 수 있습니다. 예를 들어, T는 가득 찬 랭크를 가지지 않는데 왜냐하면 그것의 이미지가 전체 코도메인보다 더 작기 때문이라고 결론 지을 수 있습니다.
See also
References
- Bourbaki, Nicolas (1970). Théorie des ensembles. Éléments de mathématique. Springer. ISBN 9783540340348.
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