아폴로니우스의 원(circle of Apollonius)은 유명한 그리스(Greek) 기하학자(geometer)인 페르게의 아폴로니우스(Apollonius of Perga)와 관련된 여러 유형의 원 중에 하나입니다. 이들 원의 대부분은 평면(planar) 유클리드 기하학(Euclidean geometry)에서 발견되지만, 아날로그는 다른 표면에서 정의되어 왔습니다; 예를 들어 구의 표면에 있는 대응물은 입체 투영(stereographic projection)을 통해 정의될 수 있습니다.
이 용어의 주요 용도는 다섯 가지입니다:
- 아폴로니우스(Apollonius)는 원이 초점(foci)으로 알려진 두 개의 고정 점의 거리의 지정된 비율(ratio)을 갖는 평면 위의 점들의 집합으로 정의될 수 있음을 보였습니다. 이런 "아폴로니우스 원(Apollonian circles)"은 아폴로니우스 추적 문제의 기초입니다. #2에서 설명한 첫 번째 유형의 특별한 사례입니다.
- 아폴로니우스 원(Apollonian circles)은 서로 직교(orthogonal)하는 원의 두 가족입니다. 첫 번째 가족은 두 고정된 초점에 대한 모든 가능한 거리 비율을 갖는 원으로 구성되며 (#1과 같은 동일한 원), 반면에 두 번째 가족은 초점 둘 다를 통과하는 모든 가능한 원으로 구성됩니다. 이들 원은 이극 좌표(bipolar coordinates)의 기초를 형성합니다.
- 삼각형의 아폴로니우스의 원은 세 원이며, 그것의 각각은 삼각형의 한 꼭짓점을 통과하고 다른 두 꼭짓점에 대한 거리의 비율을 일정하게 유지합니다. 삼각형의 등역학 점(isodynamic point)과 레모인 직선(Lemoine line)은 이들 아폴로니우스 원을 사용하여 해결될 수 있습니다.
- 아폴로니우스의 문제(Problem of Apollonius)는 세 개의 지정된 원에 동시에 접하는 원을 구성하는 것입니다. 이 문제에 대한 해는 때때로 아폴로니우스의 원으로 불립니다.
- 아폴로니우스 개스킷(Apollonian gasket)—지금까지 묘사된 최초의 프랙탈(fractal) 중 하나—은 반복적으로 아폴로니우스의 문제를 해결함으로써 형성되는 서로 접하는 원의 집합입니다.
Apollonius' definition of a circle
원은 보통 주어진 점 (원의 중심)으로부터 주어진 거리 r (원의 반지름)에서 점 P의 집합으로 정의됩니다. 어쨌든, 원에 대한 다른 동등한 정의가 있습니다. 아폴로니우스는 원이 두 주어진 점 (그림에서 A와 B로 이름-붙인)에 대한 거리 \(k=\tfrac{d_1}{d_2}\)의 주어진 비율을 갖는 점 P의 집합으로 정의될 수 있음을 발견했습니다. 이들 두 점은 때때로 초점(foci)으로 불립니다.
Proof using vectors in Euclidean spaces
\(d_1, d_2\)를 비-같은 양의 실수로 놓습니다. C를 비율 \(d_1:d_2\)에서 AB의 내부 분할 점으로 놓고 D를 같은 비율, \(d_1:d_2\)에서 AB의 외부 분할 점으로 놓습니다.
\(\quad\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PC}} = \frac{d_{2}\overrightarrow{\mathrm{PA}}+d_{1}\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{d_{2}+d_{1}},\ \overrightarrow{\mathrm{PD}} = \frac{d_{2}\overrightarrow{\mathrm{PA}}-d_{1}\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{d_{2}-d_{1}}.\)
그런-다음,
\(\quad \mathrm{PA} : \mathrm{PB} = d_{1} : d_{2}.\)
\(\quad \Leftrightarrow d_{2}|\overrightarrow{\mathrm{PA}}| = d_{1}|\overrightarrow{\mathrm{PB}}|.\)
\(\quad \Leftrightarrow d_{2}^2|\overrightarrow{\mathrm{PA}}|^2 = d_{1}^2|\overrightarrow{\mathrm{PB}}|^2.\)
\(\quad \Leftrightarrow (d_{2}\overrightarrow{\mathrm{PA}}+d_{1}\overrightarrow{\mathrm{PB}})\cdot (d_{2}\overrightarrow{\mathrm{PA}}-d_{1}\overrightarrow{\mathrm{PB}})=0.\)
\(\quad\displaystyle \Leftrightarrow \frac{d_{2}\overrightarrow{\mathrm{PA}}+d_{1}\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{d_{2}+d_{1}}\cdot \frac{d_{2}\overrightarrow{\mathrm{PA}}-d_{1}\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{d_{2}-d_{1}}=0.\)
\(\quad \Leftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{PC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PD}} =0.\)
\(\quad \Leftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{PC}} = \vec{0} \vee \overrightarrow{\mathrm{PD}} =\vec{0} \vee \overrightarrow{\mathrm{PC}} \perp \overrightarrow{\mathrm{PD}}.\)
\(\quad \Leftrightarrow \mathrm{P}=\mathrm{C} \vee \mathrm{P}=\mathrm{D} \vee \angle{\mathrm{CPD}}=90^\circ.\)
그러므로, 점 P는 지름 CD을 가지는 원 위에 있습니다.
Proof using the angle bisector theorem
먼저 비율을 만족시키는 \(A\)와 \(B\) 사이의 선분 위의 점 \(C\)를 생각해 보십시오. 정의에 의해
\(\quad\displaystyle \frac{|AP|}{|BP|}=\frac{|AC|}{|BC|}\)
그리고 각도 이등분선 정리(angle bisector theorem)로부터 \(\alpha=\angle APC\)와 \(\beta=\angle CPB\)는 같습니다.
다음으로 비율을 만족시키는 연장된 직선 \(AB\)의 다른 점 \(D\)를 취합니다. 따라서
\(\quad\displaystyle \frac{|AP|}{|BP|}=\frac{|AD|}{|BD|}.\)
역시 연장된 직선 \(AP\)의 아무 곳에서나 어떤 다른 점 \(Q\)를 취합니다. 역시 각도 이등분선 정리에 의해 직선 \(PD\)는 외부 각도 \(\angle QPB\)를 이등분합니다. 따라서, \(\gamma=\angle BPD\)와 \(\delta=\angle QPD\)는 같고 \(\beta+\gamma=90^{\circ}\)입니다. 그러므로 탈레스의 정리(Thales's theorem)에 의해 \(P\)는 \(CD\)를 지름으로 가지는 원 위에 놓입니다.
Apollonius pursuit problem
아폴로니우스 추적 문제는 속력 \(v_A\)에서 한 지점 A에서 출발하는 배가 속력 vB에서 다른 점 B를 떠나는 또 다른 배와 교차할 위치를 찾는 것 중 하나입니다. 두 배의 최소-시간 교차는 직선 경로에 의한 것입니다. 만약 배의 속력이 일정하게 유지되면, 그들의 속력 비율은 μ에 의해 정의됩니다. 만약 두 배가 미래 점, I에서 충돌 또는 만나면, 각각의 거리는 다음 방정식에 의해 관련됩니다:
\(\quad a = \mu b\)
양쪽 변을 제곱하여, 우리는 다음을 얻습니다:
\(\quad a^{2} = b^{2} \mu^{2}\)
\(\quad a^{2} = x^{2} + y^{2}\)
\(\quad b^{2} = (d-x)^{2} + y^{2}\)
\(\quad x^{2} + y^{2} = [(d-x)^{2} + y^{2}]\mu^{2}\)
전개하여:
\(\quad x^{2}+y^{2} = [d^{2} + x^{2} - 2dx + y^{2}]\mu^{2}\)
뒤따른 전개:
\(\quad x^{2} + y^{2} = x^{2} \mu^{2} + y^{2}\mu^{2} + d^{2}\mu^{2} - 2dx \mu^{2}\)
왼쪽 변으로 가져오면:
\(\quad x^{2} - x^{2}\mu^{2} + y^{2} - y^{2}\mu^{2} - d^{2}\mu^{2} + 2dx\mu^{2} = 0\)
인수화하여:
\(\quad x^{2}(1-\mu^{2}) + y^{2}(1-\mu^{2}) - d^{2}\mu^{2} + 2dx\mu^{2} = 0\)
\(1-\mu^{2}\)로 나누면
\(\quad\displaystyle x^{2} + y^{2} - \frac{d^{2}\mu^{2}}{1-\mu^{2}} + \frac{2dx\mu^{2}}{1-\mu^{2}} = 0\)
제곱식을 완성하면:
\(\quad\displaystyle \left(x+ \frac{d\mu^{2}}{1-\mu^{2}}\right) ^{2}- \frac{d^{2}\mu^{4}}{(1-\mu^{2})^{2}} - \frac{d^{2} \mu^{2}}{1-\mu^{2}} + y^{2} = 0\)
비-제곱된 항을 오른쪽 변으로 가져가면:
\(\quad \begin{aligned}
\left( x + \frac{d\mu^{2}}{1-\mu^{2}} \right)^{2} + y^{2} &= \frac{d^{2}\mu^{4}}{(1-\mu^{2})^{2}} + \frac{d^{2} \mu^{2}}{1-\mu^{2}}\\
&= \frac{d^{2} \mu^{4}}{(1-\mu^{2})^{2}} + \frac{d^{2} \mu^{2}}{1-\mu^{2}} \frac{(1-\mu^{2})}{(1-\mu^{2})}\\
&= \frac{d^{2}\mu^{4}+d^{2}\mu^{2}-d^{2}\mu^{4}}{(1-\mu^{2})^{2}}\\
&= \frac{d^{2} \mu^{2}}{(1-\mu^{2})^{2}}
\end{aligned}\)
그런-다음:
\(\quad\displaystyle \left( x + \frac{d\mu^{2}}{1-\mu^{2}}\right)^{2} + y^{2} = \left( \frac{d \mu}{1-\mu^{2}} \right)^{2}\)
그러므로, 그 점은 초점으로 그들의 출발 점을 갖는, 아폴로니우스에 의해 정의된 것처럼 원 위에 반드시 놓입니다.
Circles sharing a radical axis
같은 두 점 A와 B이지만, 두 속력의 변하는 비율을 갖는 아폴로니우스 추적 문제에 의해 정의된 원은 서로로부터 분리되고 전체 평면을 덮는 연속 가족을 형성합니다; 원의 이 가족은 쌍곡선 연필로 알려져 있습니다. 원의 또 다른 가족, A와 B 둘 다를 통과하는 원은 연필, 또는 보다 구체적으로 타원 연필으로 역시 불립니다. 아폴로니우스 원(Apollonian circles)의 이들 두 연필은 직각(right angle)에서 서로 교차하고 쌍극 좌표 시스템(bipolar coordinate system)의 기초를 형성합니다. 각 연필 이내에서, 임의의 두 원은 같은 근의 축(radical axis)을 가집니다; 두 연필의 두 제곱근 축은 수직이고, 한 연필로부터 원의 중심은 나머지 연필의 제곱근 축 위에 놓입니다.
Solutions to Apollonius' problem
유클리드 평면 기하학(Euclidean plane geometry)에서, 아폴로니우스의 문제는 평면에서 세 주어진 원에 접하는(tangent) 원(circle)을 구성하는 것입니다.
세 주어진 원은 일반적으로 그들에 접하는 여덟 다른 원을 가지고 각 해 원은 다른 방법에서 세 주어진 원을 에워싸거나 배제합니다: 각 해에서, 세 원의 다른 부분-집합이 에워쌉니다.
Apollonian gasket
내접원을 찾기 위해 아폴로니우스의 문제를 반복적으로 해결함으로써, 상호 접하는 원 사이의 틈새(interstice)는 임의적으로 세밀하게 채워질 수 있으며, 라이프니츠 패킹(Leibniz packing) 또는 아폴로니우스 패킹(Apollonian packing)으로 역시 알려진 아폴로니우스 개스킷(Apollonian gasket)을 형성합니다. 이 개스킷은 자기-유사이고 정확하게 알려져 있지 않지만 대략 1.3인 차원(dimension) d를 가지는 프랙탈(fractal)이며, 이것은 정규(regular) (또는 정류-가능(rectifiable)) 곡선 (d = 1)보다 더 높지만 평면 (d = 2)의 차원보다는 작습니다. 아폴로니우스 개스킷은 17세기에서 고트프리트 라이프니츠(Gottfried Leibniz)에 의해 처음 설명되었고, 20세기 시에르핀스키 삼각형(Sierpiński triangle)의 곡선화 선구자입니다. 아폴로니우스 개스킷은 수학의 다른 분야와 역시 깊은 관계를 가집니다; 예를 들어, 그것은 클라인 그룹(Kleinian group)의 극한 집합입니다; 그리고 원 패킹 정리(Circle packing theorem)를 역시 참조하십시오.
Isodynamic points of a triangle
아폴로니우스의 원은 임의의 삼각형 \(\mathrm{A_{1}A_{2}A_{3}}\)에 의해 정의된 세 개의 특수한 원 \(\mathcal{C}_{1},\mathcal{C}_{2},\mathcal{C}_{3}\)을 역시 나타낼 수 있습니다. 원 \(\mathcal{C}_{1}\)은 나머지 두 꼭짓점 \(\mathrm{A_{2}}\)와 \(\mathrm{A_{3}}\)에 대한 거리의 상수 비율을 유지하는 삼각형 꼭짓점 \(\mathrm{A_{1}}\)을 통과하는 고유한 원으로 정의됩니다 (위에서 원(circle)의 아폴로니우스의 정의를 참조하십시오). 비슷하게, 원 \(\mathcal{C}_{2}\)은 나머지 두 꼭짓점 \(\mathrm{A_{1}}\)과 \(\mathrm{A_{3}}\)에 대한 거리의 상수 비율을 유지하는 삼각형 꼭짓점 \(\mathrm{A_{2}}\)을 통과하는 고유한 원으로 정의되고, \(\mathcal{C}_{3}\)에 대해 마찬가지로 정의됩니다.
모든 세 원은 직교(orthogonal)적으로 삼각형(triangle)의 둘레-원(circumcircle)과 교차합니다. 모든 세 원은 삼각형의 등역학 점(isodynamic point) \(S\)와 \(S^{\prime}\)으로 알려진 두 점을 통과합니다. 이들 공통 교차점을 연결하는 직선은 모든 세 원의 근의 축(radical axis)입니다. 두 등역학 점은 삼각형의 둘레-원에 대한 서로 역(inverses)입니다.
이들 세 원의 중심은 한 직선, 즉 레모인 직선(Lemoine line) 위에 떨어집니다. 이 선은 제곱근 축에 수직이며, 이것은 등역학 점에 의해 결정되는 직선입니다.
Bibliography
- Ogilvy, C.S. (1990) Excursions in Geometry, Dover. ISBN 0-486-26530-7.
- Johnson, R.A. (1960) Advanced Euclidean Geometry, Dover.