수학(mathematics)에서, 원 그룹(circle group)은, \(\mathbb T\) 또는 \(\mathbb S^1\)에 의해 표시되며, 절댓값(absolute value) 1을 갖는 모든 복소수(complex number)의 곱셈의(multiplicative) 그룹(group), 즉, 복소 평면(complex plane)에서 단위 원(unit circle) 또는 다음과 같은 단순히 단위 복소수(unit complex numbers)입니다:
\(\quad \mathbb T = \{ z \in \mathbb C : |z| = 1 \}.\)
원 그룹은 \(\mathbb C^\times\), 모든 비-영 복소수의 곱셈 그룹의 부분그룹(subgroup)을 형성합니다. \(\mathbb C^\times\)는 아벨(abelian)이기 때문에, \(\mathbb T\)도 마찬가지임이 따라옵니다.
원 그룹에서 단위 복소수는 원점에 대한 복소 평면의 회전(rotation)을 나타내고 각도 측정(angle measure) \(\theta\)에 의해 매개변수화될 수 있습니다:
\(\quad \theta \mapsto z = e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta.\)
이것은 원 그룹에 대한 지수 맵(exponential map)입니다.
원 그룹은 폰트랴긴 이중성(Pontryagin duality)과 리 그룹(Lie group)의 이론에서 중심 역할을 합니다.
원 그룹에 대해 표기법 \(\mathbb T\)는 표준 토폴로지와 함께 (아래 참조), 원 그룹이 1-토러스(torus)라는 사실로부터 유래합니다. 보다 일반적으로, (\(\mathbb T\) 그 자체의 \(n\)회를 곱하는 직접 곱(direct product)) \(\mathbb T^n\)은 기하학적으로 \(n\)-토러스입니다.
원 그룹은 특수 직교 그룹( special orthogonal group) \(\mathrm{SO}(2)\)와 동형적(isomorphic)입니다.
Elementary introduction
원 그룹에 대해 생각하는 한 가지 방법은 0°와 360°의 사이 또는 \(\in[0, 2\pi)\) 또는 \(\in(-\pi,+\pi]\)만 허용되는 각도를 추가하는 방법을 설명하는 것입니다. 예를 들어, 다이어그램은 150°에 270°를 더하는 방법을 보여줍니다. 그 답은 150° + 270° = 420°이지만, 원 그룹의 관점에서 생각할 때, 원을 한 바퀴 돌았다는 사실을 "잊을" 수 있습니다. 그러므로, 답을 360°만큼 조정하면 420° ≡ 60° (mod 360°)를 제공합니다.
또 다른 설명은 0과 1 사이의 숫자만 허용되는 보통의 (실수) 덧셈의 관점에 의한 것입니다 (이때, 1은 전체 회전에 해당: 360° 또는 \(2\pi\)), 즉 실수 모듈로 정수: \(\mathbb T \cong \mathbb{R}/\mathbb{Z}\)입니다. 이것은 십진 점 앞에 나오는 자릿수를 항상 버림으로써 달성될 수 있습니다. 예를 들어, 0.4166... + 0.75를 계산할 때, 답은 1.1666...이지만, 선행하는 1을 버릴 수 있으므로, (원 그룹에서) 답은 단지 0.166...보다 약간 선호되는 \(0.1\bar{6} \equiv 1.1\bar{6} \equiv -0.8\bar{3}\;(\text{mod}\,\mathbb{Z})\)인데, 왜냐하면 \(0.1\bar{6} \in [0,1)\) 때문입니다.
Topological and analytic structure
원 그룹은 단지 추상 대수적 대상 이상입니다. 그것은 복소 평면의 부분공간(subspace)으로 여겨질 때 자연스러운 토폴로지(natural topology)를 가집니다. 곱셈과 역화는 \(\mathbb C^\times\) 위에 연속 함수(continuous functions)이기 때문에, 원 그룹은 토폴로지적 그룹(topological group)의 구조를 가집니다. 게다가, 단위 원은 복소 평면의 닫힌 부분집합(closed subset)이기 때문에, 원 그룹은 \(\mathbb C^\times\) (토폴로지적 그룹으로 고려된 자제)의 닫힌 부분그룹입니다.
좀 더 말할 수 있습니다. 원은 1-차원 실수 매니폴드(manifold)이고, 곱셈과 역화는 원 위에 실수-해석적 맵(real-analytic maps)입니다. 이것은 원 그룹에 리 그룹(Lie group)의 사례, 일-매개변수 그룹(one-parameter group)의 구조를 제공합니다. 사실, 동형까지(up to), 고유한 1-차원 컴팩트, 연결된 리 그룹입니다. 더욱이, 모든 각 \(n\)-차원 컴팩트, 연결된, 아벨 리 그룹은 \(\mathbb T^n\)과 동형적입니다.
Isomorphisms
원 그룹은 수학에서 다양한 형식으로 나타납니다. 우리는 여기에 보다 공통적인 형식 중 일부를 나열합니다. 구체적으로, 우리는 다음임을 보입니다:
\(\quad\displaystyle \mathbb T \cong \mbox{U}(1) \cong \mathbb R/\mathbb Z \cong \mathrm{SO}(2).\)
여기서 슬래시(/)는 몫 그룹(quotient group)을 나타냄에 주목하십시오.
모든 1×1 유니태리 행렬(unitary matrices)의 집합은 분명히 원 그룹과 일치합니다; 유니태리 조건은 그것의 원소가 절댓값 1을 가지는 조건과 동등합니다. 그러므로, 원 그룹은 첫 번째 유니태리 그룹, \(\mathrm{U}(1)\)과 정식적으로 동형적입니다.
지수 함수(exponential function)는 덧셈의 실수 \(\mathbb R\)에서 다음 맵을 통한 원 그룹 \(\mathbb T\)로의 그룹 준동형(group homomorphism) \(\exp : \mathbb R \to \mathbb T\)를 생성합니다:
\(\quad\displaystyle \theta \mapsto e^{i\theta} = \cos\theta + i \sin \theta.\)
마지막 상등은 오일러의 공식(Euler's formula) 또는 복소 지수입니다. 실수 θ는 양의 x-축에서 반시계 방향으로 측정된 단위 원 위의 각도 (라디안)에 해당합니다. 이 맵이 준동형이라는 것은 단위 복소수의 곱셈이 각도의 덧셈에 해당한다는 사실에서 따릅니다:
\(\quad\displaystyle e^{i\theta_1} e^{i\theta_2} = e^{i(\theta_1+\theta_2)}.\)
이 지수 맵은 분명히 \(\mathbb R\)에서 \(\mathbb T\)로의 전사(surjective) 함수입니다. 어쨌든, 그것은 단사(injective)가 아닙니다. 이 맵의 커널(kernel)은 \(2\pi\)의 모든 정수 배수의 집합입니다. 첫 번째 동형 정리(first isomorphism theorem)에 의해, 우리는 다음임을 가집니다:
\(\quad\displaystyle \mathbb T \cong \mathbb R/2\pi\mathbb Z.\)
크기 조정 후, 우리는 역시 \(\mathbb T\)가 \(\mathbb R / \mathbb Z\)와 동형적이라고 말할 수 있습니다.
만약 복소수가 2×2 실수 행렬로 구현되면 (복소수 참조), 단위 복소수는 단위 행렬식을 갖는 2×2 직교 행렬에 해당합니다. 구체적으로, 우리는 다음을 가집니다:
\(\quad\displaystyle e^{i\theta} \leftrightarrow \begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta \\
\end{bmatrix} = f\left(e^{i\theta}\right).
\)
이 함수는 원 그룹이 특수 직교 그룹(special orthogonal group) \(\mathrm{SO}(2)\)와 [[Group_isomorphism|동형적]]임을 보이는데 왜냐하면 다음이기 때문입니다:
\(\quad\displaystyle f\left(e^{i\theta_1} e^{i\theta_2}\right) = \begin{bmatrix}
\cos(\theta_1 + \theta_2) & -\sin(\theta_1 + \theta_2) \\
\sin(\theta_1 + \theta_2) & \cos(\theta_1 + \theta_2)
\end{bmatrix} =
f\left(e^{i\theta_1}\right) \times f\left(e^{i\theta_2}\right),
\)
여기서 \(\times\)는 행렬 곱셈입니다.
이 동형은 단위 복소수에 의한 곱셈이 복소수 (및 실수) 평면에서 적절한 회전이고, 모든 각 그러한 회전이 이 형식이라는 기하학적 해석을 가집니다.
Properties
차원 > 0의 모든 각 컴팩트 리 그룹 \(\mathrm{G}\)는 원 그룹과 동형적 부분그룹(subgroup)을 가집니다. 이것은, 대칭의 관점에서 생각하여, 연속적으로 작용하는 컴팩트 대칭 그룹이 작용하는 일-매개변수 원 부분그룹을 가질 것으로 예상될 수 있음을 의미합니다; 물리적 시스템에서 그 결과는, 예를 들어, 회전적 불변성(rotational invariance)과 자발적인 대칭 깨짐(spontaneous symmetry breaking)에서 볼 수 있습니다.
원 그룹은 많은 부분그룹을 가지지만, 그것의 유일한 적절한 닫힌 부분그룹은 단위의 근(roots of unity)으로 구성됩니다: 각 정수 \(n > 0\)에 대해, 단위의 \(n\)-번째 근은 동형까지 고유한 차수 \(n\)의 순환 그룹(cyclic group)을 형성합니다.
실수가 모든 자연수 \(b > 1\)에 대해 b-진수 유리수 \(\mathbb{Z}[\tfrac1b]\)의 완비인 것과 같은 방법에서, 원 그룹은 직접 극한(direct limit) \(\varinjlim \mathbb{Z}/ b^n \mathbb{Z}\)에 의해 주어진 \(b\)에 대해 프뤼퍼 그룹(Prüfer group) \(\mathbb{Z}[\tfrac1b]/\mathbb{Z}\)의 완비입니다.
Representations
원 그룹의 표시(representations)는 설명하기 쉽습니다. 그것은 아벨 그룹의 기약 복소 표현이 모두 1-차원이라는 슈어의 보조정리(Schur's lemma)에서 따릅니다. 원 그룹이 컴팩트하기 때문에, 다음과 같은 임의의 표시는
\(\quad\displaystyle \rho: \mathbb T \to \mathrm{GL}(1, \mathbb C) \cong \mathbb C^\times\)
\(\mbox{U}(1) \cong \mathbb T\)에서 값을 취해야 합니다. 그러므로, 원 그룹의 기약 표시는 원 그룹에서 자체로의 준동형(homomorphisms)일 뿐입니다.
이들 표시는 모두 동등하지 않습니다. 표시 \(\phi_{-n}\)은 \(\phi_{n}\)에 대한 켤레(conjugate)입니다:
\(\quad\displaystyle \phi_{-n} = \overline{\phi_n}.\)
이들 표시는 원 그룹의 캐릭터(characters)일 뿐입니다. \(\mathbb T\)의 캐릭터 그룹(character group)은 분명히 \(\phi_1\)에 의해 생성된 무한 순환 그룹(infinite cyclic group)입니다:
\(\quad\displaystyle \operatorname{Hom}(\mathbb T, \mathbb T) \cong \mathbb Z.\)
원 그룹의 기약 실수 표시는 자명한 표시( trivial representation, 1차원적임)와 \(\mathrm{SO}(2)\)에서 값을 취하는 다음 표시입니다:
\(\quad\displaystyle \rho_n(e^{i\theta}) = \begin{bmatrix}
\cos n\theta & -\sin n\theta \\
\sin n\theta & \cos n\theta
\end{bmatrix}, \quad
n \in \mathbb Z^+,\)
여기서 우리는 양의 정수 \(n\)만을 가지는데, 왜냐하면 표시 \(\rho_{-n}\)은 \(\rho_n\)과 동등하기 때문입니다.
Group structure
원 그룹 \(\mathbb T\)는 나눔-가능 그룹(divisible group)입니다. 그것의 꼬임 부분그룹(torsion subgroup)은 모든 단위의 모든 \(n\)에 대해 단위의 모든 \(n\)-번째 근의 집합에 의해 주어지고 \(\mathbb Q / \mathbb Z\)와 동형적입니다. 나눔-가능 그룹에 대한 구조 정리(structure theorem)와 함께 선택의 공리(axiom of choice)는 \(\mathbb T\)가 \(\mathbb Q\)의 복사본의 숫자를 갖는 \(\mathbb Q / \mathbb Z\)의 직접 합(direct sum)과 동형적임을 알려줍니다.
\(\mathbb Q\)의 복사본의 숫자는 직접 합의 카디널리티가 정확하기 위해 \(\mathfrak c\) (연속체의 카디널리티)여야 합니다. 그러나 \(\mathbb Q\)의 \(\mathfrak c\) 복사본의 직접 합은 \(\mathbb R\)이 \(\mathbb Q\)에 걸쳐 차원 \(\mathfrak c\)의 벡터 공간(vector space)이므로 \(\mathbb R\)과 동형적입니다. 따라서
\(\quad \mathbb T \cong \mathbb R \oplus (\mathbb Q / \mathbb Z).\)
다음 동형은
\(\quad \mathbb C^\times \cong \mathbb R \oplus (\mathbb Q / \mathbb Z)\)
같은 방법에서 입증될 수 있는데, 왜냐하면 \(\mathbb C^\times\)는 역시 그것의 꼬임 부분그룹이 \(\mathbb T\)의 꼬임 부분그룹과 같은 나눔-가능 아벨 그룹이기 때문입니다.
References
- James, Robert C.; James, Glenn (1992). Mathematics Dictionary (Fifth ed.). Chapman & Hall. ISBN 9780412990410.
Further reading
- Hua Luogeng (1981) Starting with the unit circle, Springer Verlag, ISBN 0-387-90589-8.