원(circle)의 현은 끝점이 모두 원형 호(circular arc)에 놓이는 똑바른 선분(straight line segment)입니다. 현의 무한 직선(infinite line) 연장은 가름 직선(secant line) 또는 그냥 가름선(secant)입니다. 보다 일반적으로, 현은 임의의 곡선, 예를 들어, 타원(ellipse) 위의 두 점을 연결하는 선분입니다. 원의 중심 점을 지나는 현은 원의 지름(diameter)입니다. 단어 chord는 활끈을 의미하는 라틴어 chorda에서 유래했습니다.
In circles
원(circle)의 현 속성은 다음과 같습니다:
- 현이 원에서 같은 거리인 것과 그것들의 길이가 같은 것은 필요충분 조건입니다.
- 같은 현은 그 원의 중심에서 같은 각도에 의해 끼워집니다.
- 원의 중심을 통과하는 현은 지름이라고 불리고 특정 원의 가장 긴 현입니다.
- 만약 현 AB와 CD의 연장선 (가름 직선)이 점 P에서 교차하면, 그것들의 길이는 AP·PB = CP·PD를 만족시킵니다 (점의 배율 정리(power of a point theorem)).
In ellipses
타원(ellipse)의 평행 현의 집합의 중간점은 공선형(collinear)에 있습니다.
In trigonometry
현은 삼각법(trigonometry)의 초기 개발에서 광범위하게 사용되었습니다. 히파르코스(Hipparchus)에 의해 편집된, 최초의 알려진 삼각법 테이블은 매 \(7\tfrac12\) 도(degree)마다 현 함수의 값을 테이블로 작성했습니다. 2세기에, 알렉산드리아의 프톨레마이오스(Ptolemy)는 천문학에 관한 그의 책에서 보다 광범위한 현의 테이블을 편집하여, \(\tfrac12\)에서 \(\tfrac12\)도의 증분만큼 180도까지 범위의 각도에 대해 현의 값을 제공했습니다. 그 원의 지름은 120이었고, 현 길이는 정수 부분 뒤의 둘의 밑수-60 자릿수까지 정확합니다.
현 함수는 그림에서 보인 것처럼 기하학적으로 정의됩니다. 각도(angle)의 현은 그 중심각에 의해 분리된 단위 원 위의 두 점 사이의 현의 길이(length)입니다. 각도 θ는 양의 의미로 취해지고 구간 0 < θ ≤ π (라디안 측정)에 있어야 합니다. 현 함수는 점의 하나를 (1,0)로 취하고, 다른 점을 (cos θ, sin θ)로 취하고, 그런-다음 현 길이를 계산하기 위해 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)를 사용함으로써 현대 사인(sine) 함수와 관련될 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle \operatorname{crd}\ \theta = \sqrt{(1-\cos \theta)^2+\sin^2 \theta} = \sqrt{2-2\cos \theta} =2 \sin \left(\frac{\theta }{2}\right). \)
마지막 단계는 절반-각도 공식(half-angle formula)을 사용합니다. 현대 삼각법이 사인 함수를 기반으로 구축된 것처럼, 고대 삼각법은 현 함수를 기반으로 구축되었습니다. 히파르코스는 현에 관한 12권의 연구를 저술했다고 알려져 있으며, 지금은 모두 소실되었으므로, 아마도 그것에 대해 많이 알려졌을 것입니다. 아래 테이블에서 (여기서 c는 현 길이, D는 원의 지름), 현 함수는 잘-알려진 현대 것과 유사한 많은 항등식을 만족시키는 것으로 표시될 수 있습니다:
| 이름 | 사인-기반 | 현-기반 |
| 피타고라스 | \(\sin^2\theta + \cos^2 \theta=1\) | \(\operatorname{crd}^2\theta + \operatorname{crd}^2 (\pi-\theta)=4\) |
| 절반-각도 | \(\displaystyle \sin\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}\) | \(\displaystyle \operatorname{crd}\frac{\theta}{2} = \sqrt{2-\operatorname{crd}(\pi-\theta)}\) |
| 아포팀 (a) | \(c=2\sqrt{r^2-a^2}\) | \(c=\sqrt{D^2-4a^2}\) |
| 각도 (θ) | \(\displaystyle c=2r\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\) | \(\displaystyle c=\frac{D}{2} \operatorname{crd}\theta\) |
역 함수가 마찬가지로 존재합니다:
\(\quad\displaystyle \theta = 2\arcsin\frac{c}{2r}\)