코시–슈바르츠 부등식(Cauchy–Schwarz inequality, 역시 코시–부냐콥스키–슈바르츠 부등식(Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz inequality)이라고도 함)은 수학에서 가장 중요하고 널리 사용되는 부등식(inequalities) 중 하나로 고려됩니다.
합에 대해 부등식은 Augustin-Louis Cauchy (1821)에 의해 발표되었습니다. 적분에 대해 대응하는 부등식은 Viktor Bunyakovsky (1859)와 Hermann Schwarz (1888)에 의해 발표되었습니다. 슈바르츠는 적분 버전의 현대적 증명을 제공했습니다.
Statement of the inequality
코시-슈바르츠 부등식은 안의 곱 공간(inner product space)의 모든 벡터 \(\mathbf{u}\)와 \(\mathbf{v}\)에 대해 다음이 참이라고 말합니다:
\(\quad \left |\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle\right |^2 \leq \langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle \cdot \langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle,\) Cauchy-Schwarz inequality [written using only the inner product]
여기서 \(\langle \cdot, \cdot \rangle\)는 안의 곱(inner product)입니다. 안의 곱의 예제는 실수와 복소 점 곱(dot product)을 포함합니다; 안의 곱의 예제를 참조하십시오. 모든 각 안의 곱은 정식의(canonical) 또는 유도된 노름(induced norm)이라고 불리는 노름(norm)을 야기하며, 여기서 벡터 \(\mathbf{u}\)의 노름은 다음에 의해 표시되고 정의됩니다:
\(\quad \|\mathbf{u}\| := \sqrt{\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle}\)
이때, 이 노름과 안의 곱은 정의하는 조건 \(\|\mathbf{u}\|^2 = \langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle\)에 의해 관련되며, 여기서 \(\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle\)는 (심지어 안의 곱이 복소-값이더라도) 항상 비-음의 실수입니다. 위 부등식의 양쪽 변에 제곱근을 취함으로써, 코시-슈바르츠 부등식은 보다 친숙한 형식으로 쓰여질 수 있습니다:
\(\quad |\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle| \leq \|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|.\) (Cauchy-Schwarz inequality - written using norm and inner product)
게다가, 양쪽 변이 같은 것과 \(\mathbf{u}\)와 \(\mathbf{v}\)가 선형적으로 종속(linearly dependent)인 것은 필요충분 조건입니다.
Special cases
Sedrakyan's lemma - Positive real numbers
시드라키얀의 부등식(Sedrakyan's inequality)은, 역시 베리스트룀(Bergström)의 부등식, 엥겔(Engel)의 형식, T2 보조정리, 또는 티투(Titu)의 보조정리라고 불리며, 양의 실수에 대해 다음임을 말합니다:
\(\quad\displaystyle \frac{\left(\sum_{i=1}^n u_i\right)^2 }{\sum_{i=1}^n v_i} \leq \sum_{i=1}^n \frac{u_i^2}{v_i} \quad \text{ or equivalently, } \quad \frac{u^2_1}{v_1} + \frac{u^2_2}{v_2} + \cdots + \frac{u^2_n}{v_n} \geq \frac{\left(u_1 + u_2 + \cdots + u_n\right)^2}{v_1 + v_2 + \cdots + v_n}.\)
그것은 \(u_i' = \frac{u_i}{\sqrt{v_i}}\)와 \(v_i' = \sqrt{v_i}\)를 치환할 때 \(\mathbb{R}^n\) 위에 점 곱(dot product)을 사용함으로써 얻은 코시-슈바르츠 부등식의 직접적인 결과입니다. 이 형식은 부등식이 분자가 완전 제곱(perfect square)인 분수를 포함할 때 특히 유용합니다.
\(\rm{R}^2\) - The plane
실수 벡터 공간 \(\mathbb{R}^2\)는 2-차원 평면을 나타냅니다. 그것은 역시 안의 곱이 점 곱(dot product)인 2-차원 유클리드 공간(Euclidean space)입니다. 만약 \(\mathbf{v} = \left(v_1, v_2\right)\)과 \(\mathbf{u} = \left(u_1, u_2\right)\)이면, 코시-슈바르츠 부등식은 다음이 됩니다:
\(\quad \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle^2 = (\|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\| \cos \theta)^2 \leq \|\mathbf{u}\|^2 \|\mathbf{v}\|^2,\)
여기서 \(\theta\)는 \(u\)와 \(v\) 사이의 각도(angle)입니다.
위의 형식은 아마도 그 부등식을 이해하는 가장 쉬운 방법일 것인데, 왜냐하면 코사인의 제곱은 많아야 1일 수 있으며, 이는 벡터가 같은 방향 또는 반대 방향일 때 발생하기 때문입니다. 그것은 역시 벡터 좌표 \(v_1, v_2, u_1, \) 및 \(u_2\)의 관점에서 다음과 같이 다시 말할 수도 있습니다:
\(\quad \left(u_1 v_1 + u_2 v_2\right)^2 \leq \left(u_1^2 + u_2^2\right) \left(v_1^2 + v_2^2\right),\)
여기서 상등이 유지되는 것과 벡터 \(\left(u_1, u_2\right)\)가 벡터 \(\left(v_1, v_2\right)\)와 같은 방향 또는 반대 방향이거나, 그들 중 하나가 영 벡터인 것은 필요충분 조건입니다.
\(\rm{R}^n\) - n-dimensional Euclidean space
점 곱(dot product)인 표준 안의 곱을 갖는 유클리드 공간(Euclidean space) \(\mathbb{R}^n\)에서, 코시-슈바르츠 부등식은 다음이 됩니다:
\(\quad\displaystyle \left(\sum_{i=1}^n u_i v_i\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^n u_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right).\)
코시-슈바르츠 부등식은 이 경우에서 기본 대수에서 아이디어만 사용하여 입증될 수 있습니다. \(x\)에서 다음 이차 다항식(quadratic polynomial)을 생각해 보십시오:
\(\quad\displaystyle 0 \leq \left(u_1 x + v_1\right)^2 + \cdots + \left(u_n x + v_n\right)^2 = \left(\sum_i u_i^2\right) x^2 + 2 \left(\sum_i u_i v_i\right) x + \sum_i v_i^2.\)
그것이 비-음수이기 때문에, 그것은 \(x\)에 대해 많아야 하나의 실수 근을 가지고, 따라서 그것의 판별식(discriminant)은 0보다 작거나 같습니다. 즉,
\(\quad\displaystyle \left(\sum_i u_i v_i\right)^2 - \left(\sum_i {u_i^2}\right) \left(\sum_i {v_i^2}\right) \leq 0,\)
\(\rm{C}^n\) - n-dimensional Complex space
만약 \(\mathbf{u} = \left(u_1, \ldots, u_n\right)\)와 \(\mathbf{v} = \left(v_1, \ldots, v_n\right)\)를 갖는 \(\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{C}^n\) (여기서 \(u_1, \ldots, u_n \in \mathbb{C}\)이고 \(v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{C}\))이고 벡터 공간 \(\mathbb{C}^n\) 위에 안의 곱이 정식의 복소 안의 곱이면 (\(\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle := u_1 \overline{v_1} + \cdots + u_{n} \overline{v_n}\)에 의해 정의되며, 여기서 막대 표기법은 복소 켤레(complex conjugation)에 대해 사용됨), 그 부등식은 다음처럼 보다 명시적으로 다시 말할 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle |\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle|^2
= \left|\sum_{k=1}^n u_k\bar{v}_k\right|^2
\leq \langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle \langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle
= \left(\sum_{k=1}^n u_k \bar{u}_k\right) \left(\sum_{k=1}^n v_k \bar{v}_k\right)
= \sum_{j=1}^n \left|u_j\right|^2 \sum_{k=1}^n \left|v_k\right|^2.\)
즉,
\(\quad \left|u_1 \bar{v}_1 + \cdots + u_n \bar{v}_n\right|^2 \leq \left(\left|u_1\right|^2 + \cdots + \left|u_n\right|^2\right) \left(\left|v_1\right|^2 + \cdots + \left|v_n\right|^2\right).\)
\(L^2\)
제곱-적분가능(square-integrable) 복소-값 함수(functions)의 안의 곱 공간에 대해, 다음 부등식:
\(\left|\int_{\mathbb{R}^n} f(x) \overline{g(x)}\,dx\right|^2 \leq \int_{\mathbb{R}^n} |f(x)|^2\,dx \int_{\mathbb{R}^n} |g(x)|^2 \,dx.\)
횔더 부등식(Hölder inequality)은 이것의 일반화입니다.
Applications
Analysis
임의의 안의 곱 공간(inner product space)에서, 삼각형 부등식(triangle inequality)은 아래 보여지는 것처럼 코시-슈바르츠 부등식의 결과입니다:
\(\quad \begin{alignat}{4}
\|\mathbf{u} + \mathbf{v}\|^2
&= \langle \mathbf{u} + \mathbf{v}, \mathbf{u} + \mathbf{v} \rangle && \\
&= \|\mathbf{u}\|^2 + \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle + \langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle + \|\mathbf{v}\|^2 ~ && ~ \text{ where } \langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle = \overline{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle} \\
&= \|\mathbf{u}\|^2 + 2 \operatorname{Re} \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle + \|\mathbf{v}\|^2 && \\
&\leq \|\mathbf{u}\|^2 + 2|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle| + \|\mathbf{v}\|^2 && \\
&\leq \|\mathbf{u}\|^2 + 2\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\| + \|\mathbf{v}\|^2 ~ && ~ \text{ using CS}\\
&\leq(\|\mathbf{u}\| + \|\mathbf{v}\|)^2. &&
\end{alignat}\)
제곱근을 취하면 삼각형 부등식을 제공합니다:
\(\quad \|\mathbf{u} + \mathbf{v}\| \leq \|\mathbf{u}\| + \|\mathbf{v}\|.\)
코시-슈바르츠 부등식은 안의 곱이 안의 곱 자체에 의해 유도된 토폴로지(topology)에 관한 연속 함수(continuous function)임을 입증하기 위해 사용됩니다.
Geometry
코시-슈바르츠 부등식은 다음을 정의함으로써 "두 벡터 사이의 각도" 개념을 임의의 실수(real) 안의-곱 공간으로 확장하는 것을 허용합니다:
\(\quad\displaystyle \cos\theta_{\mathbf{u} \mathbf{v}} = \frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle}{\|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|}.\)
코시-슈바르츠 부등식은 오른쪽 변이 구간 [−1, 1]에 놓임을 보여줌으로써 이 정의가 합리적임을 입증하고 (실수) 힐베르트 공간(Hilbert spaces)이 단순히 유클리드 공간(Euclidean space)의 일반화라는 개념을 정당화합니다. 그것은 역시 양자 충실도(quantum fidelity)에서 메트릭을 추출할 때 수행되는 것처럼 오른쪽 변의 절댓값 또는 실수 부분을 취함으로써 복소(complex) 안의-곱 공간(inner-product spaces)에서 각도를 정의하기 위해 사용될 수 있습니다.
Probability theory
\(X\)와 \(Y\)를 확률 변수(random variables)로 놓고, 그런-다음 공분산 부등식은 다음에 의해 주어집니다:
\(\quad\displaystyle \operatorname{Var}(Y) \geq \frac{\operatorname{Cov}(Y, X)^2}{\operatorname{Var}(X)}.\)
확률 변수의 집합 위에 안의 곱을 그것들의 곱의 기댓값을 사용하여 정의한 후,
\(\quad\displaystyle \langle X, Y \rangle := \operatorname{E}(X Y),\)
코시–슈바르츠 부등식은 다음이 됩니다:
\(\quad\displaystyle |\operatorname{E}(XY)|^2 \leq \operatorname{E}(X^2) \operatorname{E}(Y^2).\)
코시-슈바르츠 부등식을 사용하여 공분산 부등식을 입증하기 위해, \(\mu = \operatorname{E}(X)\)와 \(\nu = \operatorname{E}(Y)\)라고 놓고, 그런-다음
\(\quad \begin{align}
|\operatorname{Cov}(X, Y)|^2
&= |\operatorname{E}((X - \mu)(Y - \nu))|^2 \\
&= |\langle X - \mu, Y - \nu \rangle |^2\\
&\leq \langle X - \mu, X - \mu \rangle \langle Y - \nu, Y - \nu \rangle \\
& = \operatorname{E}\left((X - \mu)^2\right) \operatorname{E}\left((Y - \nu)^2\right) \\
& = \operatorname{Var}(X) \operatorname{Var}(Y),
\end{align}\)
여기서 \(\operatorname{Var}\)는 분산(variance)을 나타내고 \(\operatorname{Cov}\)는 공분산(covariance)을 나타냅니다.
Proofs
아래에 나와 있는 것 외에도 코시-슈바르츠 부등식의 많은 다른 증명이 있습니다. 다른 출처를 참조할 때, 종종 두 가지 혼동의 원인이 있습니다. 첫째, 일부 저자는 ⟨⋅,⋅⟩를 첫 번째 인수가 아닌 두 번째 인수에서 선형으로 정의합니다. 둘째, 일부 증명은 필드가 \(\mathbb R\)이고 \(\mathbb C\)가 아닐 때 오직 유효합니다.
이 섹션에서는 다음 정리의 증명을 제공합니다:
Cauchy-Schwarz inequality
\(\mathbf{u}\)와 \(\mathbf{v}\)를 스칼라 필드 \(\mathbb{F}\)에 걸쳐 안의 곱 공간에서 임의적인 벡터로 놓으며, 여기서 \(\mathbb F\)는 실수 \(\mathbb{R}\) 또는 복소수 \(\mathbb{C}\)의 필드입니다. 그런-다음
\(\quad \left|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle\right| \leq \|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|\) (Cauchy-Schwarz Inequality)
이때 코시-슈바르츠 부등식에서 상등이 유지되는 것과 \(\mathbf{u}\)와 \(\mathbf{v}\)가 선형적으로 독립(linearly dependent)인 것은 필요충분 조건입니다.
게다가, 만약 \(|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle| = \|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|\)이고 \(\mathbf{v} \neq \mathbf{0}\)이면, \(\mathbf{u} = \frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle}{\|\mathbf{v}\|^2} \mathbf{v}\)입니다.
아래 주어진 모든 증명에서, 벡터 중 적어도 하나가 영인 자명한 경우 (또는 동등하게, \(\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|= 0\)인 경우)에서 증명은 같습니다. 그것은 반복을 줄이기 위해 바로 아래에 한 번만 제시됩니다. 그것은 역시 위에 주어진 상등 특성화(Equality Characterization) 증명의 쉬운 부분을 포함합니다; 즉, 만약 \(\mathbf{u}\)와 \(\mathbf{v}\)가 선형적으로 종속이면 \(\left|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle\right| = \|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|\)입니다.
Proof of the trivial parts: Case where a vector is \(0\) and also one direction of the Equality Characterization
정의에 의해, \(\mathbf{u}\)와 \(\mathbf{v}\)가 선형적으로 독립인 것과 하나가 나머지 하나의 스칼라 배수인 것은 필요충분 조건입니다.
만약 \(\mathbf{u} = c \mathbf{v}\)이면 여기서 \(c\)는 어떤 스칼라이며,
\(\quad |\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle|
= |\langle c \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle|
= |c \langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle|
= |c|\|\mathbf{v}\| \|\mathbf{v}\|
=\|c \mathbf{v}\| \|\mathbf{v}\|
=\|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|\)
이는 코시-슈바르츠 부등식에서 상등이 유지됨을 보여줍니다. 일부 스칼라 \(c\)에 대해 \(\mathbf{v} = c \mathbf{u}\)인 경우는 매우 유사하며, \(c\)의 복소 켤레 사이의 주요 차이점을 가집니다:
\(\quad |\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle|
= |\langle \mathbf{u}, c \mathbf{u} \rangle|
= \left|\overline{c} \langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle\right|
= \left|\overline{c}\right| \|\mathbf{u}\| \|\mathbf{u}\|
= |c| \|\mathbf{u}\| \|\mathbf{u}\|
=\|\mathbf{u}\| \|c \mathbf{u}\|
=\|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|.\)
만약 \(\mathbf{u}\)와 \(\mathbf{v}\) 중 적어도 하나가 영 벡터이면 \(\mathbf{u}\)와 \(\mathbf{v}\)는 반드시 선형적으로 종속이며 (마치 스칼라가 영 벡터를 얻기 위해 비-영 벡터에 숫자 \(0\)을 곱합니다; 예를 들어, \(\mathbf{u} = \mathbf{0}\)이면 \(\mathbf{u} = c \mathbf{v}\)가 되도록 \(c = 0\)라고 놓습니다), 이는 이 특별한 경우에서 이 특성화의 전환을 입증합니다; 즉, 이것은 \(\mathbf{u}\)와 \(\mathbf{v}\) 중 적어도 하나가 \(\mathbf{0}\)이면 상등 특성화가 유지됨을 보입니다.
만약 \(\mathbf{u} = \mathbf{0}\)이면, 이것이 발생하는 것과 \(\|\mathbf{u}\|= 0\)이면, 특히, 코시-슈바르츠 부등식이 그것의 양쪽 변이 \(0\)이기 때문에 유지되도록 \(\|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\| = 0\)이고 \(|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle|
= |\langle \mathbf{0}, \mathbf{v} \rangle|
= |0| = 0\)인 것은 필요충분 조건입니다. \(\mathbf{v} = \mathbf{0}\)의 경우에서 증명은 동일합니다.
결과적으로, 코시-슈바르츠 부등식은 비-영 벡터에 대해서만 증명하면 되고 상등 특성화(Equality Characterization)의 비-자명한 방향만 표시되어야 합니다.
Proof 1
\(\mathbf{v} = \mathbf{0}\)의 특수한 경우는 위에서 증명되었으므로 앞으로는 \(\mathbf{v} \neq \mathbf{0}\)이라고 가정합니다. 코시-슈바르츠 부등식 (및 정리의 나머지 부분)은 다음 상등의 거의 즉각적인 따름정리입니다:
\(\quad\displaystyle \frac{1}{\|\mathbf{v}\|^2} \left\|\|\mathbf{v}\|^2 \mathbf{u} - \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle \mathbf{v}\right\|^2 ~=~ \|\mathbf{u}\|^2 \|\mathbf{v}\|^2 - |\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle|^2\cdots\) (Eq. 1)
Deducing Cauchy-Schwarz from Eq. 1
Eq. 1의 왼쪽 변이 비-음수이기 때문에, 오른쪽 변도 그렇고, 이는 (양쪽 변의 제곱 근을 취함으로써) 코시-슈바르츠 부등식을 따르는 \(|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle|^2 \leq \|\mathbf{u}\|^2 \|\mathbf{v}\|^2\)임을 입증합니다.
만약 \(|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle| = \|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|\)이면 Eq. 1의 오른쪽 변 (및 따라서 역시 왼쪽 변)은 0이며, 이는 \(\|\mathbf{v}\|^2 \mathbf{u} - \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle \mathbf{v} = \mathbf{0}\)이면 오직 가능합니다. 따라서 \(\mathbf{u} = \frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle}{\|\mathbf{v}\|^2} \mathbf{v}\)이며, 이는 \(\mathbf{u}\)와 \(\mathbf{v}\)가 선형적으로 종속임을 보입니다. \(\blacksquare\)
상등 Eq. 1은 (노름의 정의를 통해) \(\left\|\|\mathbf{v}\|^2 \mathbf{u} - \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle \mathbf{v}\right\|^2\)를 기본적으로 전개하고 그런-다음 단순화하여 쉽게 검증됩니다:
Proof of Eq. 1
\(V = \|\mathbf{v}\|^2\)라고 놓고 \(\bar{c} c = |c|^2 = |\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle|^2\)와 \(\bar{c} = \overline{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle} = \langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle\)가 되도록 \(c = \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle\)라고 놓습니다. 그런-다음
\(\quad \begin{alignat}{4}
\left\|\|\mathbf{v}\|^2 \mathbf{u} - \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle \mathbf{v}\right\|^2
&= \|V \mathbf{u} - c \mathbf{v}\|^2
= \langle V \mathbf{u} - c \mathbf{v}, V \mathbf{u} - c \mathbf{v} \rangle && ~\quad\text{ By definition of the norm } \\[0.5ex]
&= \langle V \mathbf{u}, V \mathbf{u} \rangle
- \langle V \mathbf{u}, c \mathbf{v} \rangle
- \langle c \mathbf{v}, V \mathbf{u} \rangle
+ \langle c \mathbf{v}, c \mathbf{v} \rangle && ~\quad\text{ Expand } \\[0.5ex]
&= V^2 \langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle
- V \bar{c} \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle
- c V \langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle
\,+ c \bar{c} \langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle && ~\quad\text{ Pull out scalars (note that } V := \|\mathbf{v}\|^2 \text{ is real) } \\[0.5ex]
&= V^2\|\mathbf{u}\|^2
~~- V \bar{c} c
~~~~~~~~- c V \bar{c}
~~~~~~~~+ c \bar{c} V && ~\quad\text{ Use definitions of } c := \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle \text{ and } V \\[0.5ex]
&= V^2\|\mathbf{u}\|^2 ~~- V \bar{c} c
~=~ V \left[V\|\mathbf{u}\|^2 - \bar{c} c\right] && ~\quad\text{ Simplify } \\[0.5ex]
&= \|\mathbf{v}\|^2 \left[\|\mathbf{u}\|^2\|\mathbf{v}\|^2 - |\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle|^2\right] && ~\quad\text{ Rewrite in terms of } \mathbf{u} \text{ and } \mathbf{v}. \\
\end{alignat}
\)
\(\|\mathbf{v}\|^2 \neq 0\)로 나눔으로써 증명을 완료합니다. \(\blacksquare\)
이 전개는 \(\mathbf{v}\)를 비-영임을 요구하지 않습니다; 어쨌든, \(\mathbf{v}\)는 양쪽 변을 \(\|\mathbf{v}\|^2\)으로 나누고 그것으로부터 코시-슈바르츠 부등식을 추론하기 위해 비-영이어야 합니다. \(\mathbf{u}\)와 \(\mathbf{v}\)를 서로 바꾸면 다음을 발생합니다:
\(\quad \left\|\|\mathbf{u}\|^2 \mathbf{v} - \overline{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle} \mathbf{u}\right\|^2 ~=~ \|\mathbf{u}\|^2 \left[\|\mathbf{u}\|^2\|\mathbf{v}\|^2 - |\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle|^2\right]\)
그리고 따라서
\(\quad \begin{alignat}{4}
\|\mathbf{u}\|^2\|\mathbf{v}\|^2 \left[\|\mathbf{u}\|^2 \|\mathbf{v}\|^2 - |\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle|^2\right]
~&=~ \|\mathbf{u}\|^2 \left\|\|\mathbf{v}\|^2 \mathbf{u} - \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle \mathbf{v}\right\|^2 \\
~&=~ \|\mathbf{v}\|^2 \left\|\|\mathbf{u}\|^2 \mathbf{v} - \overline{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle} \mathbf{u}\right\|^2. \\
\end{alignat}
\)
Proof 2
\(\mathbf{v} = \mathbf{0}\)의 특수한 경우는 위에서 증명되었으므로 앞으로는 \(\mathbf{v} \neq \mathbf{0}\)이라고 가정합니다. 다음으로 놓습니다:
\(\quad\displaystyle \mathbf{z} := \mathbf{u} - \frac {\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle} {\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle} \mathbf{v}.\)
첫 번째 인수에서 안의 곱의 선형성에서 다음임을 따릅니다:
\(\quad\displaystyle \langle \mathbf{z}, \mathbf{v} \rangle
= \left\langle \mathbf{u} - \frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle} {\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle} \mathbf{v}, \mathbf{v} \right\rangle
= \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle - \frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle} {\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle} \langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle
= 0.\)
그러므로, \(\mathbf{z}\)는 벡터 \(\mathbf{v}\)에 직교하는 벡터입니다 (사실, \(\mathbf{z}\)는 \(\mathbf{v}\)에 직교하는 평면 위로의 \(\mathbf{u}\)의 투영(projection)입니다.) 따라서 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)를 다음에 적용할 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle \mathbf{u}= \frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle} {\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle} \mathbf{v} + \mathbf{z}\)
이는 다음을 제공합니다:
\(\quad\displaystyle \|\mathbf{u}\|^2
= \left|\frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle}{\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle}\right|^2 \|\mathbf{v}\|^2 + \|\mathbf{z}\|^2
= \frac{|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle|^2}{(\|\mathbf{v}\|^2 )^2} \,\|\mathbf{v}\|^2 + \|\mathbf{z}\|^2
= \frac{|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle|^2}{\|\mathbf{v}\|^2} + \|\mathbf{z}\|^2 \geq \frac{|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle|^2}{\|\mathbf{v}\|^2}.\)
코시-슈바르츠 부등식은 \(\|\mathbf{v}\|^2\)를 곱하고 그런-다음 제곱근을 취함으로써 따릅니다. 더욱이, 위 표현에서 관계 \(\geq\)가 실제로 상등이면, \(\|\mathbf{z}\|^2 = 0\)이고 따라서 \(\mathbf{z} = \mathbf{0}\)입니다; \(\mathbf{z}\)의 정의는 \(\mathbf{u}\)와 \(\mathbf{v}\) 사이의 선형 종속의 관계를 수립합니다. 이 섹션의 시작 부분에서 그 전환이 증명되었으므로, 증명이 완료되었습니다. \(\blacksquare\)
Proof for real inner products
\((V, \langle \cdot, \cdot \rangle)\)를 실수 안의 곱 공간이라고 놓습니다. 임의적인 쌍 \(\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V\)와 \(p(t) = \langle t\mathbf{u} + \mathbf{v}, t\mathbf{u} + \mathbf{v}\rangle\)에 의해 정의된 함수 \(p : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)을 생각해 보십시오. 안의 곱은 양수-한정이므로, \(p(t)\)는 오직 비-음의 값을 취합니다. 다른 한편으로, \(p(t)\)는 안의 곱의 쌍선성을 사용하고 실수 안의 곱에 대해 \(\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle\)라는 사실을 사용하여 전개될 수 있습니다:
\(\quad p(t) = \Vert \mathbf{u} \Vert^2 t^2 + t \left[\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle + \langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle\right] + \Vert \mathbf{v} \Vert^2 = \Vert \mathbf{u} \Vert^2 t^2 + 2t \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle + \Vert \mathbf{v} \Vert^2.\)
따라서, \(p\)는 차수 2의 다항식입니다 (\(u = 0\)이 아닌 한, 이는 독립적으로 검증될 수 있는 경우입니다). \(p\)의 부호가 변경되지 않기 때문에, 이 다항식의 판별식은 비-양수여야 합니다:
\(\quad \Delta = 4 \left(\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle ^2 - \Vert \mathbf{u} \Vert^2 \Vert \mathbf{v} \Vert^2\right) \leqslant 0.\)
결론이 따라옵니다.
상등 경우에 대해, \(\Delta = 0\)가 발생하는 것과 \(p(t) = (t\Vert \mathbf{u} \Vert + \Vert \mathbf{v} \Vert)^2\)인 것은 필요충분 조건임을 주의하십시오. 만약 \(t_0 = -\Vert \mathbf{v} \Vert / \Vert \mathbf{u} \Vert\)이면, \(p(t_0) = \langle t_0\mathbf{u} + \mathbf{v},t_0\mathbf{u} + \mathbf{v}\rangle = 0\)이고 따라서 \(\mathbf{v} = -t_0\mathbf{u}\)입니다.
Proof for the dot product
안의 곱이 \(\mathbb{R}^n\) 위에 점 곱(dot product)인 경우에서 코시-슈바르츠 부등식은 이제 입증됩니다. 코시-슈바르츠 부등식은 \(\mathbf{a} := \left(a_1, \ldots, a_n\right), \mathbf{b} := \left(b_1, \ldots, b_n\right) \in \mathbb{R}^n\)에 대해, \(\left|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\right|^2 \leq \left\|\mathbf{a}\right\|^2 \, \left\|\mathbf{b}\right\|^2\) 또는 동등하게, \(\left(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\right)^2 \leq \left(\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}\right) \, \left(\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}\right)\)로 다시 쓰여질 수 있으며, 이는 다음과 같이 전개됩니다:
\(\quad \left(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2\right) \left(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2\right) \geq \left(a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n\right)^2.\)
단순화하기 위해, 입증되려는 남아있는 명제가 \(D^2 - A B \leq 0\)로 다시 정렬될 수 있는 \(A B \geq D^2\)로 쓰여질 수 있도록 다음과 같이 놓습니다:
\(\quad \begin{align} A &= a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2, \\ B &= b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2 \\ D &= a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n \\\end{align}\)
이차 방정식(quadratic equation) \(A x^2 + 2 D x + B\)의 판별식(discriminant)은 \(4 D^2 - 4 A B\)입니다.
그러므로, 증명을 완료하기 위해, 이 이차가 실수 근을 가지지 않거나 정확하게 하나의 실수 근을 가짐을 증명하는 것으로 충분하며, 이는 다음임을 의미하기 때문입니다:
\(\quad 4 \left(D^2 - A B\right) \leq 0.\)
\(A, B, D\)의 값을 \(A x^2 + 2 D x + B\)에 대입하여 다음을 제공합니다:
\(\quad \begin{alignat}{4}
A x^2 + 2 D x + B
&= \left(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2\right) x^2 + 2 \left(a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n\right) x + \left(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2\right) \\
&= \left(a_1^2 x^2 + 2a_1 b_1 x + b_1^2\right) + \left(a_2^2 x^2 + 2a_2 b_2 x + b_2^2\right) + \cdots + \left(a_n^2 x^2 + 2a_n b_n x + b_n^2\right) \\
&= \left(a_1x + b_1\right)^2 + \left(a_2 x + b_2\right)^2 + \cdots + \left(a_n x + b_n\right)^2 \\
&\geq 0
\end{alignat}\)
이는 자명한 부등식: 모든 \(r \in \mathbb{R}\)에 대해 \(r^2 \geq 0\)에 의해 각각 \(\,\geq 0\,\)인 항의 합입니다. 이것은 부등식을 증명하고 따라서 증명을 마치기 위해, 상등이 달성될 수 있음을 보여야 합니다. 상등 \(a_i x = - b_i\)는 다음을 검사 후 코시-슈바르츠에 대한 상등 경우입니다:
\(\quad \left(a_1 x + b_1\right)^2 + \left(a_2 x + b_2\right)^2 + \cdots + \left(a_n x + b_n\right)^2 \geq 0,\)
이는 상등이 달성될 수 있음을 입증합니다. \(\blacksquare\)
Generalizations
코시-슈바르츠 부등식의 다양한 일반화가 존재합니다. 훨더의 부등식은 그것을 \(L^p\) 노름으로 일반화합니다. 보다 일반적으로, 그것은 바나흐 공간 (즉, 그 공간이 힐베르트 공간일 때) 위에 선형 연산자의 노름의 정의의 특수한 경우로 해석될 수 있습니다. 더 나아가서 일반화는 연산자 이론의 맥락에서 이루어지며, 예를 들어, 연산자-볼록 함수와 연산자 대수에 대해, 여기서 도메인 및/또는 치역은 C*-대수 또는 W*-대수로 대체됩니다.
안의 곱은 양수 선형 함수형(positive linear functional)을 정의하기 위해 사용될 수 있습니다. 예를 들어, 힐베르트 공간 \(L^2(m)\)이 주어지면, \(m\)이 유한 측정이며, 표준 안의 곱은 \(\varphi (g) = \langle g, 1 \rangle\)에 의해 양수 함수형 \(\varphi\)를 발생시킵니다. 반대로, \(L^2(m)\) 위의 모든 각 양수 선형 함수형 \(\varphi\)는 안의 곱 \(\langle f, g \rangle _\varphi := \varphi\left(g^* f\right)\)을 정의하기 위해 사용할 수 있으며, 여기서 \(g^*\)는 \(g\)의 점별 복소 켤레입니다. 이 언어에서 코시-슈바르츠 부등식은 다음이 됩니다:
\(\quad \left|\varphi\left(g^* f\right)\right|^2 \leq \varphi\left(f^* f\right) \varphi\left(g^* g\right),\)
이는 C*-대수 위에 양수 함수형으로 축어적으로 확장됩니다.
Cauchy–Schwarz inequality for positive functionals on C*-algebras
만약 \(\varphi\)가 C*-대수 \(A\) 위에 양수 선형 함수형이면 모든 \(a, b \in A\)에 대해, \(\left|\varphi\left(b^*a\right)\right|^2 \leq \varphi\left(b^*b\right) \varphi\left(a^*a\right)\)입니다.
다음 두 가지 정리는 연산자 대수에서 나아가서 예제입니다.
Kadison–Schwarz inequality (Named after Richard Kadison)
만약 \(\varphi\)가 단위 양수 맵이면, 그것의 도메인에서 모든 각 정규 원소(normal element) \(a\)에 대해, 우리는 \(\varphi(a^*a) \geq \varphi\left(a^*\right) \varphi(a)\)와 \(\varphi\left(a^*a\right) \geq \varphi(a) \varphi\left(a^*\right)\)를 가집니다.
이것은 \(\varphi\)가 선형 함수형일 때 \(\varphi\left(a^*a\right) \cdot 1 \geq \varphi(a)^* \varphi(a) = |\varphi(a)|^2\)라는 사실을 확장합니다. \(a\)가 자기-인접, 즉, \(a = a^*\)일 때 그 경우는 때때로 Kadison's inequality으로 알려져 있습니다.
Cauchy-Schwarz inequality (Modified Schwarz inequality for 2-positive maps)
C*-대수 사이의 2-양수 맵 \(\varphi\)에 대해, 그것의 도메인에서 모든 \(a, b\)에 대해,
\(\quad \varphi(a)^*\varphi(a) \leq \Vert\varphi(1)\Vert\varphi\left(a^*a\right), \text{ and }\)
\(\quad \Vert\varphi\left(a^* b\right)\Vert^2 \leq \Vert\varphi\left(a^*a\right)\Vert \cdot \Vert\varphi\left(b^*b\right)\Vert.\)
또 다른 일반화는 코시-슈바르츠 부등식의 양쪽 변 사이를 보간함으로써 얻은 정제입니다:
Callebaut's Inequality
실수 \(0 \leqslant s \leqslant t \leqslant 1\)에 대해,
\(\quad\displaystyle\left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2
~\leqslant~ \left(\sum_{i=1}^n a_i^{1+s} b_i^{1-s}\right) \left(\sum_{i=1}^n a_i^{1-s} b_i^{1+s}\right)
~\leqslant~ \left(\sum_{i=1}^n a_i^{1+t} b_i^{1-t}\right) \left(\sum_{i=1}^n a_i^{1-t} b_i^{1+t}\right)
~\leqslant~ \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right).\)
이 정리는 훨더의 부등식에서 추론할 수 있습니다. 연산자와 행렬의 텐서 곱에 대해 비-교환 버전도 있습니다.
코시-슈바르츠 부등식과 칸토로비치(Kantorovich) 부등식의 행렬 버전의 조사는 유용할 수 있습니다.