수학(mathematics)에서, 세는-숫자(cardinal numbers, 또는, 줄여서 cardinals)는 집합(sets)의 카디널리티(cardinality) (크기)를 측정하기 위해 사용되는 자연수(natural number)의 일반화입니다. 유한 집합(finite set)의 카디널리티는 자연수: 집합에서 원소의 개수입니다. 초월유한(transfinite) 세는-숫자는, 종종 히브리어 기호 \(\aleph\) (알레프(aleph)) 뒤에 아래첨자를 사용하여 표시되며, 무한 집합(infinite set)의 크기를 설명합니다.
카디널리티는 전단사 함수(bijective function)의 관점에서 정의됩니다. 두 집합이 같은 카디널리티를 갖는 것과 두 집합의 원소 사이에 일-대-일 대응(one-to-one correspondence) (전단사)이 존재하는 것은 필요충분(iff) 조건입니다. 유한 집합의 경우에서, 이것은 크기의 직관적인 개념과 일치합니다. 무한 집합의 경우에서, 그 행동은 더 복잡합니다. 게오르크 칸토어(Georg Cantor)에 기인한 기본 정리는 무한 집합에 대해 서로 다른 카디널리티를 갖는 것이 가능하고, 특히 실수(real number)의 집합의 카디널리티는 자연수(natural number)의 집합의 카디널리티보다 크다는 것을 보였습니다. 역시 무한 집합의 적절한 부분집합(proper subset)에 대해 원래 집합과 같은 카디널리티를 갖는 것이 가능합니다–이것은 유한 집합의 적절한 부분집합에서 발생할 수 없는 것입니다.
세는-숫자의 초월유한 수열이 있습니다:
\(\quad 0, 1, 2, 3, \ldots, n, \ldots ; \aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \ldots, \aleph_{\alpha}, \ldots.\ \)
이 수열은 영 (유한한 세는-숫자)을 포함한 자연수(natural number)에서 시작하여, 알레프 숫자(aleph number) (바른-순서화된 집합(well-ordered sets)의 무한 세는-숫자)가 뒤따릅니다. 알레프 숫자는 순서-숫자(ordinal number)로 인덱스됩니다. 선택의 공리(axiom of choice)의 가정 아래에서, 이 초월유한 수열(transfinite sequence)은 모든 각 세는-숫자를 포함합니다. 만약 그 공리를 거부(rejects)하면, 상황은 더욱 복잡해지며, 알레프가 아닌 추가적인 무한 세는-숫자를 가집니다.
카디널리티(cardinality)는 집합 이론(set theory)의 일부로 독자적으로 연구됩니다. 그것은 역시 모델 이론(model theory), 조합론(combinatorics), 추상 대수학(abstract algebra), 및 수학적 해석학(mathematical analysis)을 비롯한 수학의 가지에서 사용되는 도구입니다. 카테고리 이론(category theory)에서, 세는-숫자는 집합의 카테고리(category of sets)의 뼈대(skeleton)를 형성합니다.
History
현재 이해되고 있는 카디널리티의 개념은 1874–1884년에 집합 이론(set theory)의 창시자, 게오르크 칸토어(Georg Cantor)에 의해 형식화되었습니다. 카디널리티는 유한 집합의 측면을 비교하기 위해 사용될 수 있습니다. 예를 들어, 집합 {1,2,3}과 {4,5,6}은 같지 않지만, 같은 카디널리티, 즉 3을 가집니다. 이것은 대응 {1→4, 2→5, 3→6}과 같은 두 집합 사이에 전단사(bijection) (즉, 일-대-일 대응)의 존재에 의해 설립됩니다.
칸토어는 전단사 개념을 무한 집합 (예를 들어, 자연수의 집합 N = {0, 1, 2, 3, ...})에 적용했습니다. 따라서, 그는 모든 집합이 같은 세는-숫자를 공유하는 N 번호-매길-수-있는 (셀-수-있는 무한) 집합으로 전단사를 갖는 모든 집합을 불렀습니다. 이 세는-숫자는 \(\aleph_0\), 알레프-널(aleph-null)이라고 불렀습니다. 그는 무한 집합의 세는-숫자를 초월유한 세는-숫자(transfinite cardinal numbers)라고 불렀습니다
칸토어는 N의 임의의 무경계진 부분집합(unbounded subset)이 심지어 직관과 반대로 실행되는 것처럼 보일지라도 N과 같은 카디널리티를 가짐을 입증했습니다. 그는 역시 자연수의 모든 순서쌍(ordered pair)의 집합이 번호-매겨질-수 있음을 입증했습니다; 이것은 모든 유리수(rational number)의 집합이 역시 번호-매겨질-수 있음을 의미하는데, 왜냐하면 모든 각 유리수는 한 쌍의 정수로 표시될 수 있기 때문입니다. 그는 나중에 모든 실수 대수적 숫자(algebraic number)의 집합이 역시 번호-매겨질-수 있음을 입증했습니다. 각각의 실수 대수적 숫자 z는 정수의 유한 수열로 인코딩될 수 있으며, 이것은 그것이 해인 다항 방정식에서 계수, 즉, z가 구간 \((b_0,b_1)\) 안에 놓이는 계수 \((a_0, a_1, ..., a_n)\)를 갖는 다항식의 고유한 근임을 만족하는 유리수의 쌍 \((b_0,b_1)\)과 함께 \(a_i \in \mathbf{Z}\), 순서화된 n-튜플 \((a_0, a_1, ..., a_n)\)입니다.
그의 1874년 논문 "On a Property of the Collection of All Real Algebraic Numbers"에서, 칸토어는 실수의 집합이 N의 집합보다 더 큰 카디널리티를 가짐을 보여줌으로써, 고차 세는-숫자라 존재함을 입증했습니다. 그의 증명은 중첩된 구간(nested intervals)을 갖는 논증을 사용했지만, 1891년 논문에서, 그는 독창적이고 훨씬 단순한 대각선 논증(diagonal argument)을 사용하여 같은 결과를 입증했습니다. 실수의 집합의 새로운 세는-숫자는 연속체의 카디널리티라고 불리고 칸토어는 그것에 대해 기호 \(\mathfrak{c}\)를 사용했습니다.
칸토어는 역시 세는-숫자의 일반 이론의 큰 부분을 발전시켰습니다; 그는 가장 작은 초월유한 세는 숫자 (\(\aleph_0\), 알레프-널)가 있고, 모든 각 세는-숫자에 대해 다음의-더 큰 세는-숫자가 있음을 입증했습니다:
\(\quad (\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, \ldots).\)
그의 연속체 가설(continuum hypothesis)은 실수의 집합의 카디널리티 \(\mathfrak{c}\)가 \(\aleph_1\)과 같다는 제안입니다. 이 가설은 수학적 집합 이론의 표준 공리와 독립적인 것으로 밝혀져 왔습니다; 그것은 표준 가정에서 입증될 수도 없고 반증될 수도 없습니다.
Motivation
비공식적 사용에서, 세는-숫자는 통상적으로 0이 포함된다는 조건으로 하여 세는 숫자(counting number)라고 참조되는 것입니다: 0, 1, 2, .... 그것들은 0으로 시작하는 자연수(natural numbers)로 식별될 수 있습니다. 세는 숫자(counting number)는 정확하게 유한(finite) 세는 숫자로 공식적으로 정의될 수 있는 것입니다. 무한 세는 숫자는 오직 더 높은-수준의 수학과 논리(logic)에서 발생합니다.
보다 공식적으로, 비-영 숫자는 두 가지 목적: 집합의 크기를 설명하기 위해, 또는 수열에서 원소의 위치를 설명하기 위한 것으로 사용될 수 있습니다. 유한 집합과 수열에 대해, 이들 두 개념이 일치한다는 것을 쉽게 알 수 있는데, 왜냐하면 수열에서 위치를 설명하는 모든 각 숫자에 대해 우리는 정확하게 올바른 크기를 가지는 집합을 구성할 수 있기 때문입니다. 예를 들어, 3은 수열 <'a','b','c','d',...>에서 'c'의 위치를 설명하고 우리는 3 원소를 가지는 집합 {a,b,c}를 구성할 수 있습니다.
어쨌든, 무한 집합(infinite set)을 다룰 때, 둘 사이의 구별이 필수적인데, 왜냐하면 두 개념이 실제로 무한 집합에 대해 다르기 때문입니다. 위치 측면을 고려하면 순서-숫자(ordinal numbers)로 이어지고, 반면에 크기 측면은 여기에 설명된 세는 숫자로 일반화됩니다.
세는-숫자의 공식적 정의 뒤에 있는 직관은 그것이 가지는 구성원의 종류에 관계없이 집합의 상대적 크기 또는 "거대함"의 개념을 구성하는 것입니다. 유한 집합에 대해, 이것은 쉽습니다; 우리는 단순히 집합이 가진 원소의 수를 세는 것입니다. 더 큰 집합의 크기를 비교하기 위해, 보다 세련된 개념에 호소할 필요가 있습니다.
X의 원소에서 Y의 요소로의 단사적(injective) 매핑(mapping)이 있으면 집합 Y는 적어도 집합 X만큼 큰 것입니다. 단사 매핑은 집합 X의 각 원소를 집합 Y의 고유한 원소로 식별합니다. 이것은 예제에 의해 가장 쉽게 이해될 수 있습니다; 우리는 집합 X = {1,2,3} 및 Y = {a,b,c,d}가 있다고 가정하고, 그런-다음 이 크기의 개념을 사용하여, 우리는 다음 매핑이 있음을 관찰할 수 있습니다:
- 1 → a
- 2 → b
- 3 → c
이것은 단사적이고, 따라서 Y는 X보다 크거나 같은 카디널리티를 갖는다는 결론을 내립니다. 원소 d는 그것에 매핑하는 원소를 가지지 않지만, 이것은 우리가 오직 단사 매핑을 요구하고 단사이고 위로의(onto) 매핑이 필요하지 않기 때문에 허용됩니다. 이 개념의 장점은 그것이 무한 집합으로 확장될 수 있다는 것입니다.
우리는 그런 다음 이것을 상등-스타일 관계로 확장할 수 있습니다. 만약 X와 Y 사이에 전단사(bijection)가 존재하면 두 집합(sets) X와 Y는 같은 카디널리티를 갖는다고 말합니다. 슈뢰더–베른슈타인 정리(Schroeder–Bernstein theorem)에 의해, 이것은 X에서 Y로의 단사 매핑과 Y에서 X로의 단사 매핑 둘 다가 있음과 동등합니다. 우리는 그런-다음 |X| = |Y|를 씁니다. X 자체의 세는-숫자는 종종 |a| = |X|를 갖는 최소 순서-숫자 a로 정의됩니다. 이것을 폰 노이만 세는-숫자 할당(von Neumann cardinal assignment)이라고 불립니다; 이 정의에 대해 의미를 부여하기 위해, 그것은 모든 각 집합이 일부 순서-숫자와 같은 카디널리티를 가짐이 입증되어야 합니다; 이 명제는 바른-순서화 원리(well-ordering principle)입니다. 어쨌든 대상에 이름을 명시적으로 할당없이 집합의 적절한 카디널리티를 논의하는 것은 가능합니다.
사용된 고전적인 예제는 무한 호텔 역설의 예제이며, 역시 그랜드 호텔의 힐베르트의 역설(Hilbert's paradox of the Grand Hotel)이라고 불립니다. 방이 무한히 많은 호텔에 여관주인이 있다고 가정해 보십시오. 호텔이 꽉 차고, 그 후에 새로운 손님이 도착합니다. 1번 방에 있던 손님에게 2번 방으로, 2번 방에 있던 손님에게 3번 방으로 옮기고, 이런 식으로 계속해서 1번 방을 비워서 새로운 손님을 맞출 수 있습니다. 우리는 이 매핑의 분할을 명시적으로 작성할 수 있습니다:
- 1 → 2
- 2 → 3
- 3 → 4
- ...
- n → n + 1
- ...
이 할당과 함께, 우리는 집합 {1,2,3,...}이 집합 {2,3,4,...}과 같은 카디널리티를 가짐을 알 수 있는데, 왜냐하면 첫 번째와 두 번째 사이의 전단사가 있기 때문입니다. 이것은 같은 카디널리티의 적절한 부분집합을 가지는 임의의 집합인 무한 집합 (즉, 데데킨트-무한 집합(Dedekind-infinite set))의 정의에 동기를 부여합니다; 이 경우에서 {2,3,4,...}는 {1,2,3,...}의 적절한 부분집합입니다.
이들 큰 대상을 고려할 때, 우리는 역시 세는(counting) 순서의 개념이 이들 무한 집합에 대해 위에서 정의된 세는-숫자의 개념과 일치하는지 확인하고 싶을 수도 있습니다. 그렇지 않은 경우가 발생합니다; 위의 예를 고려함으로써 우리는 "무한대보다 더 큰" 어떤 대상이 존재하면, 그것은 우리가 시작했었던 무한 집합과 같은 카디널리티를 가져야 함을 알 수 있습니다. 각 숫자를 차례로 세고 고려하는 아이디어를 기반으로 순서-숫자(ordinals)라고 하는 다른 형식의 숫자의 개념을 사용하는 것이 가능하고, 우리는 일단 유한 숫자에서 벗어나면 카디널리티와 오디널리티의 개념이 발산한다는 것을 발견합니다.
실수(real number)의 카디너리티가 방금 설명된 자연수의 카디널리티보다 더 크다는 것이 입증될 수 있습니다. 이것은 칸토어의 대각선 논증(Cantor's diagonal argument)을 사용하여 시각화될 수 있습니다; 카디널리티의 고전적인 질문 (예를 들어 연속체 가설(continuum hypothesis))은 다른 무한 세는-숫자의 일부 쌍 사이의 일부 세는-숫자가 있는지 여부를 발견하는 것과 관련이 있습니다. 보다 최근에, 수학자들은 더 크고 더 큰 세는-숫자의 속성을 설명해 왔습니다.
카디널리티는 수학에서 매우 일반적인 개념이므로, 다양한 이름이 사용됩니다. 카디널리티의 동일성은 때때로 equipotence, equipollence, 또는 equinumerosity으로 참조됩니다. 따라서 같은 카디널리티를 가진 두 집합은 각각 equipotent, equipollent, 또는 equinumerous이라고 합니다.
Formal definition
형식적으로, 선택의 공리(axiom of choice)를 가정하면, 집합 X의 카디널리티는 X와 α 사이에 전단사가 있음을 만족하는 최소 순서-숫자(ordinal number) α입니다. 이 정의는 폰 노이만 세는-숫자 할당(von Neumann cardinal assignment)으로 알려져 있습니다. 만약 선택의 공리가 가정되지 않으면, 다른 접근 방식이 필요합니다. 집합 X의 카디널리티의 가장 오래된 정의 (칸토어에서 암시적, 프레게 및 Principia Mathematica에서 명시적)는 X와 같게-많은 모든 집합의 클래스 [X]입니다. 이것은 ZFC 또는 공리적 집합 이론(axiomatic set theory)의 다른 관련된 시스템에서 작동하지 않는데 왜냐하면 만약 X가 비-빈이면, 이 모음은 집합이 되기에 너무 크기 때문입니다. 사실, X ≠ ∅에 대해, 집합 m을 {m} × X에 매핑함으로써 우주에서 [X]로의 단사가 있고, 따라서 크기의 제한의 공리(axiom of limitation of size)에 의해, [X]는 적절한 클래스입니다. 그 정의는 어쨌든 유형 이론과 새로운 토대(New Foundations) 및 관련된 시스템에서 작동합니다. 어쨌든, 만약 우리가 이 클래스에서 최소 랭크(rank)를 가지는 X와 같게-많은 클래스로 제한하면, 그것은 작동할 것입니다 (이것은 데이나 스콧(Dana Scott)으로 인한 속임수입니다: 그것은 작동하는데 왜냐하면 임의의 주어진 랭크를 갖는 대상의 모음이 하나의 집합이기 때문입니다).
공식적으로, 세는-숫자 사이의 순서는 다음과 같이 정의됩니다: |X| ≤ |Y|는 X에서 Y로의 단사(injective) 함수가 존재함을 의미합니다. 칸토어–베른슈타인–슈뢰더 정리(Cantor–Bernstein–Schroeder theorem)는 만약 |X| ≤ |Y| 및 |Y| ≤ |X|이면 |X| = |Y|임을 말합니다. 선택의 공리(axiom of choice)는 두 집합 X와 Y가 주어지면, |X| ≤ |Y| 또는 |Y| ≤ |X|이라는 명제와 동등합니다.
집합 X는 만약 |X| = |Y|를 갖는 X의 적절한 부분집합(proper subset) Y가 존재하면 데데킨트-무한(Dedekind-infinite)이고, 그러한 부분집합이 존재하지 않으면 데데킨트-유한(Dedekind-finite)입니다. 유한(finite) 세는-숫자는 집합 X가 유한인 것과 일부 자연수 n에 대해 |X| = |n| = n인 것이 필요충분이라는 의미에서, 바로 자연수(natural numbers)입니다. 임의의 다른 집합은 무한(infinite)입니다.
선택 공리를 가정하면, 데데킨트 개념이 표준 개념과 대응함을 입증할 수 있습니다. 역시 집합의 세는-숫자 \(\aleph_0\) (알레프 널 또는 알레프-0, 여기서 알레프는 히브리어 알파벳에서 첫 문자이며, \(\aleph\)를 나타냄)은 가장 작은 무한 세는-숫자입니다 (즉, 임의의 무한 집합은 카디너리티 \(\aleph_0\)의 부분집합을 가집니다). 다음으로 더 큰 세는-숫자는 \(\aleph_1\)으로 표시되고, 이런 식으로 계속됩니다. 모든 각 순서-숫자(ordinal) α에 대해, 세는-숫자 \(\aleph_{\alpha}\)가 있고, 이 목록은 모든 무한 세는-숫자를 소진합니다.
Cardinal arithmetic
우리는 자연수에 대해 보통의 연산을 일반화하는 세는-숫자에 대한 산술(arithmetic) 연산을 정의할 수 있습니다. 유한 세는-숫자에 대해, 이들 연산이 자연수에 대해 보통의 연산과 일치함을 알 수 있습니다. 게다가, 이들 연산은 보통의 산술과 많은 속성을 공유합니다.
Successor cardinal
만약 선택의 공리가 유지되면, 모든 각 세는-숫자 \(\kappa\)는 \(\kappa^+\)로 표시된 다음수를 가지며, 여기서 \(\kappa^+ > \kappa\)이고 \(\kappa\)와 그것의 다음수 사이에 세는-숫자가 없습니다. (선택의 공리없이, 하르톡스(Hartogs' theorem)를 사용하면, 임의의 세는-숫자 κ에 대해, \(\kappa^+\nleq\kappa\)를 만족하는 최소 세는-숫자 \(\kappa^+\)가 있습니다.) 유한 세는-숫자에 대해, 다음수는 단순히 \(\kappa+1\)입니다. 무한 세는-숫자에 대해, 다음수 세는-숫자는 다음수 순서-숫자(successor ordinal)와 다릅니다.
Cardinal addition
만약 X와 Y가 서로소(disjoint)이면, 덧셈은 X와 Y의 합집합(union)에 의해 제공됩니다. 만약 두 집합이 이미 서로소가 아니면, 그것들은 같은 카디널리티의 서로소 집합으로 대체될 수 있습니다 (예를 들어, X를 X×{0}으로 Y를 Y×{1}로 대체할 수 있습니다).
\(\quad |X| + |Y| = | X \cup Y|.\)
영은 덧셈의 항등원입니다 κ + 0 = 0 + κ = κ.
덧셈은 결합적(associative)입니다 (κ + μ) + ν = κ + (μ + ν).
덧셈은 교환적(commutative)입니다 κ + μ = μ + κ.
덧셈은 인수 둘 다에서 비-감소하는 것입니다:
\((\kappa \le \mu) \rightarrow ((\kappa + \nu \le \mu + \nu) \mbox{ and } (\nu + \kappa \le \nu + \mu)).\)
선택의 공리를 가정하면, 무한 세는-숫자의 덧셈은 쉽습니다. 만약 κ 또는 μ가 무한이면, 다음입니다:
\(\kappa + \mu = \max\{\kappa, \mu\}\,.\)
Subtraction
선택의 공리를 가정하고, 무한 세는 숫자 σ와 세는 숫자 μ가 주어지면, μ + κ = σ를 만족하는 세는 숫자 κ가 존재하는 것과 μ ≤ σ인 것은 필요충분 조건입니다. 그것이 고유한 (및 σ와 같은) 것임과 μ < σ임은 필요충분 조건입니다.
Cardinal multiplication
세는 숫자의 곱은 데카르트 곱(Cartesian product)에서 나옵니다.
\(\quad |X|\cdot|Y| = |X \times Y|\)
κ·0 = 0·κ = 0.
κ·μ = 0 → (κ = 0 or μ = 0).
일은 곱셈의 항등원입니다 κ·1 = 1·κ = κ.
곱셈은 결합적입니다 (κ·μ)·ν = κ·(μ·ν).
곱셈은 교환적입니다 κ·μ = μ·κ.
곱셈은 인수 둘 다에서 비-감소하는 것입니다: κ ≤ μ → (κ·ν ≤ μ·ν and ν·κ ≤ ν·μ).
곱셈은 덧셈에 걸쳐 분배(distributes)됩니다: κ·(μ + ν) = κ·μ + κ·ν 및 (μ + ν)·κ = μ·κ + ν·κ.
선택의 공리를 가정하면, 무한 세는-숫자의 곱셈은 역시 쉽습니다. 만약 κ 또는 μ이 무한이고 둘 다가 비-영이면, 다음입니다:
\(\quad \kappa\cdot\mu = \max\{\kappa, \mu\}.\)
Division
선택의 공리를 가정하고, 무한 세는-숫자 π와 비-영 세는-숫자 μ가 주어지면, μ · κ = π를 만족하는 세는-숫자 κ가 존재하는 것과 μ ≤ π인 것은 필요충분 조건입니다. 그것은 고유한 (및 π와 같은) 것임과 μ < π임은 필요충분 조건입니다.
Cardinal exponentiation
지수화는 다음에 의해 제공됩니다:
\(\quad |X|^{|Y|} = \left|X^Y\right|,\)
여기서 \(X^Y\)는 Y에서 X로의 모든 함수(functions)의 집합입니다.
\(\kappa^0-1\) (특히 \(0^0=1\)), 빈 함수(empty function)를 참조하십시오.
만약 1 ≤ μ이면, \(0^\mu = 0\).
- \(1^\mu = 1\).
- \(\kappa^1 = \kappa\)
- \(\kappa^{\mu + \nu} = \kappa^\mu \cdot \kappa^\nu\)
- \(\kappa^{\mu \cdot \nu} = (\kappa^\mu)^\nu\)
- \((\kappa\cdot \mu)^\nu = \kappa^\nu \cdot \mu^\nu\)
지수화는 인수 둘 다에서 비-감소하는 것입니다:
- \((1 \le \nu\; \text{and}\; \kappa \le \mu) \to (\nu^\kappa \le \nu^\mu)\) 및
- \((\kappa \le \mu) \to (\kappa^\nu \le \mu^\nu)\).
\(2^{|X|}\)는 집합 X의 거듭제곱 집합(power set)의 카디널리티이고 칸토어의 대각선 논증(Cantor's diagonal argument)은 임의의 집합 X에 대해 \(2^{|X|}> |X|\)임을 보여줍니다. 이것은 가장 큰 세는-숫자가 존재하지 않음을 입증합니다 (왜냐하면 임의의 세는-숫자 κ에 대해, 우리는 항상 더 큰 세는-숫자 \(2^\kappa\)를 찾을 수 있기 때문입니다). 사실, 세는-숫자의 클래스(class)는 적절한 클래스(proper class)입니다. (이 증명은 일부 집합 이론, 특히 새로운 토대(New Foundations)에서 실패합니다.)
이 섹션의 남아있는 모든 명제는 선택의 공리를 가정합니다:
- 만약 κ와 μ가 둘 다 유한이고 1보다 크고, ν가 무한이면, \(\kappa^\nu = \mu^\nu\)입니다.
- 만약 κ가 무한이고 μ가 유한이고 비-영이면, \(\kappa^\mu = \kappa\)입니다.
만약 2 ≤ κ와 1 ≤ μ이고 그것들 중 적어도 하나가 무한이면, 다음입니다:
\(\quad \text{Max}(\kappa, 2^\mu) \le \kappa^\mu \le \text{Max} (2^\kappa,2^\mu)\).
쾨니그의 정리(König's theorem)를 사용하면, 우리는 임의의 무한 세는-숫자 κ에 대해 \(\kappa < \kappa^{\text{cf}(\kappa)}\) 및 \(\kappa < \text{cf}(2^\kappa)\)임을 입증할 수 있으며, 여기서 cf(κ)는 κ의 공끝도(cofinality)입니다.
Roots
선택의 공리를 가정하고, 무한 세는-숫자 κ와 0보다 큰 유한 세는-숫자 μ가 주어지면, \(\nu^\mu = \kappa\)를 만족시키는 세는-숫자 ν는 \(\kappa\)일 것입니다.
Logarithms
선택의 공리를 가정하고, 무한 세는-숫자 κ와 1보다 큰 유한 세는-숫자 μ가 주어지면, \(\mu^\lambda = \kappa\)를 만족시키는 세는-숫자 λ가 있을 수 있거나 없을 수 있습니다. 어쨌든, 만약 그러한 세는-숫자가 존재하면, 그것은 무한이고 κ보다 작고, 1보다 큰 임의의 유한 카디널리티 ν는 역시 \(\nu^\lambda = \kappa\)를 만족시킬 것입니다.
무한 세는-숫자 κ의 로그는 \(\kappa \le 2^\mu\)를 만족하는 최소 세는-숫자로 정의됩니다. 무한 세는-숫자의 로그는 수학의 일부 분야, 예를 들어, 비록 그것들이 양의 실수의 로그가 보유하는 일부 속성이 결여될지라도, 토폴로지적 공간(topological space)의 세는-숫자 불면(cardinal invariant)의 연구에서 유용합니다.
The continuum hypothesis
연속체 가설(continuum hypothesis) (CH)은 엄격하게 \(\aleph_0\)와 \(2^{\aleph_0}\)사이에 세는-숫자가 없다고 말합니다. 후자의 세는-숫자는 역시 종종 \(\mathfrak{c}\)로 표시됩니다; 그것은 연속체의 카디널리티(cardinality of the continuum) (실수의 집합)입니다. 이 경우에서 \(2^{\aleph_0} = \aleph_1\)입니다. 일반화된 연속체 가설(generalized continuum hypothesis) (GCH)은 모든 각 무한 집합 ''X''에 대해, 엄격하게 | X |와 \(2^{|X|}\) 사이에 세는-숫자가 없음을 말합니다. 연속체 가설은 집합 이론의 보통 공리, 선택의 공리와 함께 체르멜로–프렝켈 공리 (ZFC)와 독립입니다.
See also
Bibliography
- Dauben, Joseph Warren (1990), Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Princeton: Princeton University Press, ISBN 0691-02447-2
- Hahn, Hans, Infinity, Part IX, Chapter 2, Volume 3 of The World of Mathematics. New York: Simon and Schuster, 1956.
- Halmos, Paul, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
External links
- "Cardinal number", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]